多元函数及隐函数求导.ppt

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1、,第七章 多元微分学,空间曲面与曲线,多元复合函数及隐函数求导法则,多元函数的极值和最优化问题,偏微商与全微分,多元函数的基本概念,1,教学目的:,本章重点:,本章难点:,偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.,二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.,2,目的要求 掌握复合函数求偏导法则，隐函数求偏导法则。 重点 复合函数求偏导法则 难点 复合函数求偏导法则,7.4 多元复合函数及隐函数求导法则,3,一、复合函数求导法则 定理 (1) u=(x,y),v= (x,y)的偏导数在点 (x，y) 处连续; (2) 函数z= f(u,v)的偏导数在(x,y)的对应点

2、(u,v)处连续. 则复合函数 z= f(x,y), (x,y) 在(x,y)处存在连续的偏导数，且,7.4 多元复合函数及隐函数求导法则,4,z=f,u,v,x,y,x,y,链式法则,复合函数求导法则 z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y),5,注: 此题可不用链式法则来解,导数,6,幂指函数,注: 此题必须用链式法则来解,导数,7,解：,练习,8,9,考研题目,10,几种常见的形式 （1）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x) 只有一个自变量,u,v,x,z= f,则,这时,11,(2)若z= f(u), u=u(x,y), u是一个中间变量,z=f,

3、u,12,(3)若z=f (u,x,y), u=(x,y),z=f,u,x,y,对于本形式，要注意以下几点：,13,注意 这里x, y具有双重身份：既作为自变量，也作为中间变量。 2.,前一个把x看作自变量， 后一个把x看作中间变量。,z=f,u,x,y,14,例 设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求,解,15,例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求,u=f,x,y,解,练习,16,例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数求,z=f,u,v,解,17,例 设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求,z=f,u,v,解,z=f,u

4、,v,18,例,解,f,u,v,19,例,20,解法二,例,21,隐函数微分法(1.二元方程确定的一元隐函数) 设F(x,y)=0确定y是x的可微函数y=y(x),则 Fx,y(x)0 ,可知，F通过y是x的函数。,F,x,y,x,二、复合函数微分法的应用,利用复合函数微分法,22,导数,23,练习,24,2. 三元方程确定的二元隐函数 设F(x,y,z)=0确定z是x,y的函数,根据链式法则有,F,x,y,z,x,y,25,26,27,小节,复合函数求导法则,隐函数求导法则 设F(x,y,z)=0确定z是x,y的函数,根据链式法则有,作业: 5.3节 1, 3(1), 5, 9,28,补充： 关于齐次函数的欧拉定理,欧拉定理：,导数,29,