定积分的应用(面积).ppt

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1、1,第七节 定积分的应用,一.求平面图形的面积,二.求几何体的体积,三.在经济问题中的应用,2,复习：定积分的几何意义,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,一.求平面图形的面积,3,1.以x轴为底边的曲边梯形的面积,4,若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为,5,2.以y轴为底边的曲边梯形的面积,6,3. 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积,7,3. 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积,8,特别， 时,9,面积元素:,由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0)

2、, 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,10,由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积,面积元素:,11,围成的平面图形的面积为,12,解,先求两曲线的交点,选x为积分变量,例1,能否选y为积分变量?,13,解,先求两曲线的交点,选y为积分变量,例1,14,解,两曲线的交点,例2,选x为积分变量,15,此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)尽量少分块； (2)积分容易。,16,例3,围成的平面图形的面积.,解,由对称性,交点,17,解,3,18,解,例5,19,练习写出下列给定曲线所围成的

3、图形面积的定积分表达式。,（1）,（2）,20,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（4）,（5）,21,一般地：如右图中的阴影部分的面积为,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（6）,或,22,法一：以 y 作积分变量,法二：以 x 作积分变量,（7）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,23,例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。,星形线,解由图形的对称性可得,即,24,作业：,1.(3)(5)(8),2.,1.选择积分变量的原则：,(1)尽量少分块(2)积分容易。,总结：,2.准确的作图.,25,备用题1.,26,解答,两边同时对 求导,27,积分得,所以所求曲线为,28,2.,解,为确定积分限，解方程组,29,此题如果选 作积分变量，,必须分成两个部分，即,30,3.,解,解得,于是有,31,又,从而有,于是,