自然数平方数列和立方数列求和公式(2页).doc

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1、-自然数平方数列和立方数列求和公式-第 2 页自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即：(1) 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6(2) 13+23+33+n3=n(n+1)/22推导过程如下：一. 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式n3-(n-1)3=1*n2+(n-1)2+n(n-1)=n2+(n-1)2+n2-n=2*n2+(n-1)2-n23-13=2*22+12-233-23=2*32+22-343-33=2*42+32-4n3-(n-1)3=2*n2+(n-1)2-n各等式全相加n3-13=2*(22+32+.+n2)+12+

2、22+.+(n-1)2-(2+3+4+.+n)n3-1=2*(12+22+32+.+n2)-2+12+22+.+(n-1)2+n2-n2-(2+3+4+.+n)n3-1=3*(12+22+32+.+n2)-2-n2-(1+2+3+.+n)+1n3-1=3(12+22+.+n2)-1-n2-n(n+1)/23(12+22+.+n2)=n3+n2+n(n+1)/2=(n/2)(2n2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)故：12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6二. 13+23+33+n3=n(n+1)/22 证明如下：(n+1)4-n4=(n+1)2+n2(n+1)2-n2=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+124-14=4*13+6*12+4*1+134-24=4*23+6*22+4*2+144-34=4*33+6*32+4*3+1(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1各式相加有(n+1)4-1=4*(13+23+33.+n3)+6*(12+22+.+n2)+4*(1+2+3+.+n)+n4*(13+23+33+.+n3)=(n+1)4-1+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*(1+n)n/2+n=n(n+1)2 13+23+.+n3=n(n+1)/22