数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013(4页).doc
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1、-数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013-第 4 页数值分析A-第3次作业李国轩,机研113,2011210287,13.11.201311. 用列主元消去法求解解:由已知可得到增广矩阵为消去运算第一步。选为第一次消去的主元,交换第1,2行,得到同时可以得到做消去运算可以得到消去运算第二步。此时,选主元为,再交换第2,3行,同时有做消去运算可以得到回代运算。通过回代可以得到解为12. 设 ,经过一步Gauss消去得到,其中试证明:(1) 若A对称正定,则A2也对称正定。(2) 若A严格对角占优,则A2也严格对角占优。(1)证明:由已知,A对称,则,如对A进行一步
2、高斯消去,有因此有同时有可见有,因此A2的对称性成立。A对称正定,因此有,若对A2进行n-1步高斯消元运算,它变为下面的形式于是A2的各顺序主子式,因此A2是正定的。综上所述,A2是对称正定矩阵。原题得证。(2)证明:由已知,A严格对角占优,于是有而同时那么因此可见A2也是严格的对角占优阵。13. 用平方根法解解:矩阵A是对称正定矩阵,且有,。因此于是,其中于是可以容易得到又,且其中于是可以容易得到16. 求下面两个方程组的解,并利用条件数估计 ,与实际的 比较。解:通过高斯消元法解两个方程,第一个方程对应的增广矩阵为高斯消元,得到求得第二个方程对应的增广矩阵为类似进行高斯消元,得到求得由于同时而,于是而由求得的方程可知实际的18. 给出定理3.2和定理3.3的证明。证明:(1)由已知的条件同时根据条件数的定义可知(2)A为正交矩阵,则,同时根据条件数的定义(3)U为正交矩阵,于是,又有,因此由矩阵相似的定义可知,与相似,根据矩阵相似的性质,它们具有相同的特征值另一方面于是,原题得证。(4)由定义,同时。而于是此外,如果A对称则,至此,原定理3.2整个得证。证明:由已知于是左侧得证。于是右侧得证,因此原题得证。
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