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1、-预测类数学模型-第 11 页第二章 预测类数学模型本章重点:预测类数学模型的基本思想,掌握基本的数据拟合方法多项式数据拟合,灰色预测模型等。学习要求1能用基本的数学模型方法解决一些简单的预测类问题。2掌握基本拟合方法的原理与优缺点。2.1.1 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,m)误差 (i=0,1,m)的大小,常用的方法有以下三种:一是误差 (i=0,1,m)绝对值的最大值,即误差 向量的范数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的1范数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量r的2范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算 ,后一种方法相当于考虑 2范数的
2、平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差 (i=0,1,m)的整体大小。数据拟合的具体作法是:对给定数据 (i=0,1,,m),在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小,即从几何意义上讲,就是寻求与给定点 (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线(图6-1)。函数称为拟合 函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中,函数类可有不同的选取方法.212.1.2 多项式拟合 所谓多项式数据拟合,主要是采用多项式函数形式来进行拟合、逼近数据所呈现出来的趋势。多项式的系数可以由最小二乘法计算出来。假设给定数据点 (i=0,1,m),为所有次数不
3、超过的多项式构成的函数类,现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的称为最小二乘拟合多项式。特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数,因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件,得 (2)即 (3)(3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为 (4)式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(4)中解出 (k=0,1,,n),从而可得多项式 (5)可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作由式(2)可得
4、(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步: (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图,确定拟合多项式的次数n;(2) 列表计算和;(3) 写出正规方程组,求出;(4) 写出拟合多项式。在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点互异,则法方程组(4)的解存在唯一。定理2 设是正规方程组(4)的解,则是满足式(1)的最小二乘拟合多项式。*2.1.4 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且:正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重;拟合节点分布的区间偏离原点越
5、远,病态越严重; (i=0,1,,m)的数量级相差越大,病态越严重。为了克服以上缺点,一般采用以下措施:尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合;不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平移,使新的节点关于原 点对称,可大大降低正规方程组的条件数,从而减低病态程度。平移公式为: (9)对平移后的节点(i=0,1,,m),再作压缩或扩张处理: (10)其中,(r是拟合次数) (11) 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小,特别对于等距节点,作式(10)和式(11)两项变换后,其正规方程组的系数矩阵设 为A,则对14次多项式拟合,条件数都不太大,都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如
6、下:拟合次数1234=1 format long; X0=98.6,104.4,107.3,120.1,115.9,109.7,98.7; %原始数据输入 n=length(X0); %定义原始数据长度 X1(1)=X0(1); %一次累加向量的第一个分量 for i=2:n %一次累加向量的其他分量X1(i)=X1(i-1)+X0(i)end for i=1:n-1 %计算B与YB(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1);B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);end alpha=(B*B)(-1)*B*Y; a=alpha(1,1); %灰微分方程或白化方程的系数估计 b=a
7、lpha(2,1); d=b/a; c=X1(1)-d; X2(1)=X0(1); X(1)=X0(1); for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);end %时间相应序列 for i=(n+1):(n+3)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1); %预测序列end for i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i); %残差error2(i)=error1(i)/X0(i); %相对误差end c=std(error1)/std(X0); %相对误差的平方和通过上述程序求解有:时间响应序列为:还原后的数据:相对误差:误差平方和:图3 预测效果图表3.4 20082010年上海房地产价格指数预测表年份200820092010上海后验差检验:0.35,效果为优(我自己算的,计算结果不一定准确)。具体计算方式请同学自己练习。模型评价:此题中数据较少,采用灰色模型效果较好,但实际模拟效果不太理想(图3),同学可自行采用累减的模式联系。
限制150内