理论力学知识点基本概括.pdf

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1、第 5页 共 44页 参照物有限大，参照空间无限大;描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间 （2）坐标系 在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系（极坐标系） 、球坐标系、自然轴系等。 （3）运动的描述 由运动方程（含时间）或运动轨迹（不含时间）描述。 1.矢量法：在参考空间中选定原点，描述物体上某点任意时刻的矢径r .简单、直观，矢量方程、结论只 与参考空间有关： 点的运动方程：)(trr =，点的速度、加速度： dt rd tv =)(， dt vd ta =)( 2.分析法：在参考空间中建立坐标系，描述物体上某点任意时刻的坐标（如 x,y,z）.复杂，但便于上机， 标量方程，结论还依赖

2、于坐标系： 点的运动方程：)(),(),(tzztyytxx= 点的速度、加速度： dt dv ta dt dv ta dt dv ta dt dz tv dt dy tv dt dx tv z z y y x x zyx = = )(,)(,)( )(,)(,)( （4）约束 约束即物体的运动所受到的几何限制条件。 几种典型的约束几种典型的约束 1. 柔绳约束和刚性杆约束 2. 光滑面约束 All Edited By wjfbit 第 6页 共 44页 3. 光滑圆柱铰链约束 所联系的物体可绕柱铰链在平面内转动 4. 光滑球铰链约束 5. 固定铰支座 6. 活动铰链支座 7. 固定端（固支端

3、）约束 8. 套筒与滑块 （5）广义坐标与自由度 广义坐标 i q：确定物体在空间中位置的一组i个独立参数 例：在平面内任意运动的圆轮，再加一个固定铰支座 1 个广义坐标，即自由度为 1。自由度数S广义坐标的个数。 第 7页 共 44页 不同研究对象、运动形式与自由度数 研究对象 运动形式 空间运动平面运动 质点 自由S=3S=2 非自由S3S2 质点系 （n 个质点） 自由S=3nS=2n 非自由S3nS2n 刚体 （无穷多质点） 自由S=6S=3 非自由S6S3 例 1.1 分析以下各系统的自由度，并选择一组广义坐标 （1）杆 AB，在杆所在的平面内作平面运动 S=3，广义坐标：, AA

4、yx （2）若对（1）中杆的平面运动加以如下的约束： S=1，广义坐标：S=1，广义坐标： （3）刚体系统 S=2,广义坐标：, 1.21.2 点的运动描述点的运动描述运动方程的建立运动方程的建立 1.2.1 点的运动的矢量描述，矢量法 1.点的运动方程 研究对象：点 M，选定参考空间及一参考点，点的运动方程：)(trr =（1.1） 点的运动轨迹：r 的矢端图 第 8页 共 44页 2.点的速度、加速度： 速度 ：r dt rd v =（1.2） 速度大小： dt rd vv =，速度方向：沿轨迹切线，指向运动方向 加速度：r dt vd a =（1.3） 加速度大小：rva =，加速度方向

5、：速度矢端图的切线方向 注意：1）)(),(),(tatvtr 都与参考空间有关 2）avr ,都是矢量，应以矢量符号（带箭头）表示 1.2.2 点的运动的坐标描述，分析法 选定参考空间，建立坐标系 运动方程)(txx=平面 运动轨迹)(tyy=运动（1.4） )(tzz= 若平面内质点 B 为非自由质点，S OR MF 右手力螺旋 0 OR MF R F O M 左手力螺旋 O M O M O R F O M O O M R F O M B R F B R F O M O x y z A B C D E O G H 1 F 4 F 3 F 2 F 第 27页 共 44页 0 )( 321 +

6、= += jFaiFa Fkaj ai aFj aFi a 显然 OR MF / 计算第二不变量02 2 =aFMF OR 故力系简化结果为一个左手力螺旋。 若题中要求“简化结果” ，则还应计算力螺旋参数：a F aF F MF p R OR = = = 2 2 2 )2( 2 力螺旋中心轴（力的作用线）方程 B Rz B Ry B Rx zz F yy F xx F = = ，B 为合力作用点，即 zy F x F0 = = 第六章第六章 力系的平衡力系的平衡 6.16.1 力系的平衡条件及平衡方程力系的平衡条件及平衡方程 1. 空间力系的平衡方程 任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢

7、R F 和对任一确定点O的主矩 O M 全为零。 即0 1 = = n i iR FF （6.1） 0)( 1 = = n i iOO FmM 在O点建立 Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为 6 个独立的代数方程： 0, 0, 0 0, 0, 0 111 111 = = = = n i iz n i iy n i ix n i iz n i iy n i ix MMM FFF （6.2） 注意注意： （1）解题时，矩心 O 可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致， 但要保证 6 个方程是独立的。 （2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免

8、解联立方程组。 （3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有 3 个，但矩方程最多可有 6 个。 特殊的空间力系及独立平衡方程个数： （1）空间汇交力系3 个独立方程 （2）空间力偶系3 个独立方程 （3）空间平行力系3 个独立方程 2.平面任意力系的平衡方程 各力均位于 Oxy 平面内，故平衡方程（6.1）中0, 0, 0 iyixiz MMF 故平面任意力系的独立平衡方程为 3 个：0, 0, 0= iziyix MFF（6.3） 平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式： 第 28页 共 44页 （1）在平面内任取点 A：一矩式：0 1 = = n i ix F0 1 = = n i i

9、y F0)( 1 = = n i iA FM （6.4） 称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一个力矩式，故常称一矩式。 （2）在平面上任取 A,B 两点及不垂直于 AB 连线的l轴： 二矩式：0)( 1 = = n i iA FM 0)( 1 = = n i iB FM 0 1 = = n i il F（6.5） (3)在平面上任取三点 A，B，C 不共线: 三矩式：0)( 1 = = n i iA FM 0)( 1 = = n i iB FM 0)( 1 = = n i iC FM （6.6） 上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为 3，若找到第 4 个方程，则必是前 3

10、个方程的线性组 合，不是独立的。因此，对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出 3 个独立的平衡方程，求 解 3 个未知量；当未知量超过 3 个时，问题无法求解。 3.特殊平面力系的平衡方程 (1)平面汇交力系：设汇交点为 A 0 1 = = n i ix F0 1 = = n i iy F两个独立方程！ (2)平面力偶系：(各力偶 i M 作用面相互平行即可)0 1 = = n i i M一个独立方程！ (3)平面平行力系：设各力与 y 轴平行,0 1 = = n i iy F0)( 1 = = n i iA FM 两个独立方程！ 例题例题 1.1.求一端固支、一端自由的梁(悬臂梁

11、)固支端的约束力。 解：取 AB 为分离体，画出受力图。 均布载荷(同向平行力系)合力为Q 由0 1 = = n i ix F0= Ax F 由0 1 = = n i iy F0=QFAyqlQFAy=方向如图 由0)( 1 = = n i iA FM 0 2 = l QMA 2 2 1 2 1 qlQlMA=方向如图 例题例题 2 2 图示支架结构，AB=AC=BC=2l，D，E 分别为 AB，AC 的中点，杆 DE 上作用有三角形分布载荷，B 点作用有铅垂集中力，qlP 12 5 =，试求 DE 杆在 D，E 两处的约束力。 l q A B A B A M Ay F Ax F Q 第 29

12、页 共 44页 解：1.取整体为研究对象： 00= Axix FF 0= iA M0 6 7 2 2= lql PllFC 2 ql FC= 0 2 0=+= CAyiy F ql PFFPFAy= 2.以杆 DE 为研究对象取分离体：4 个未知力，3 个方程； 3.再以 BC 杆为研究对象取分离体：增加 2 个未知力、3 个方程； 4.以 DE 杆为研究对象列出平衡方程： 0= iD M，0 3 2 2 =l ql lFEy 3 ql FEy= 632 , 0 2 , 0 qlqlql F ql FFF DyEyDyiy =+= ExDxExDxix FFFFF=+= , 0, 0（1） 5

13、.以 BC 杆为研究对象： 0 22 3 , 0= l FlFlFM EyExCiB qlFqlF EyEx 9 32 )( 3 1 =（）qlFEx 9 32 =（） 代入（1）式qlFF ExDx 9 32 =（负号表示方向） 从此题的求解过程可见，对多个刚体组成的物体系统，可以通过分别取每个刚体（或几个刚体一起） 为分离体、列平衡方程，从而解出全部未知约束力。 第七章第七章 虚位移原理虚位移原理 7.17.1 位形、约束方程及约束分类位形、约束方程及约束分类 1.质点系的位形 n 个 自 由 质 点 组 成 的 质 点 系 ： 任 一 质 点 i D的)1(,nizyx iii =位 置

14、 可 由 其 直 角 坐 标 确定(3n 个独立参数)，称这 3n 个坐标的集合为该质点系的位形。 n 个质点的非自由质点系设自由度nk3 可用 k 个广义坐标 k qq 1 确定质点系的位形： 则nitqqqrr kii ,.,1),( 21 = （7.1） A B C DE q P A B C DE Ax F Ay F C F ql/ 2 P DE Dx F Dy F q Ey F Ex F B C E Bx F By F C F Ey F Ex F Dx F Dy F Ey F Ex F DE ql/2 第 30页 共 44页 nitqqqxx kii 3,.,1),( 21 =（7.2

15、） 位形给定则质点系中每一质点的位置就可确定 2.约束方程及分类 用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。 n 个质点的非自由质点系，若系统的自由度为 k（nk3） ，则： 系统自由度lnk= 3，其中l为独立的完整约束方程数。 约束分类：几何约束、运动约束、双面约束、单面约束、完整约束、非完整约束、 定常约束（不显含时间 t） 、非定常约束（显含时间 t） 7.27.2 实位移实位移虚位移虚位移 1.实位移：若质点系的位移或广义位移满足以下 2 个条件： （1）满足质点系的约束条件， （2）满足质点系的动力学方程及初始条件 则称其为实位移或广义实位移。实位移是惟一确定的真实位移。 2.虚位

16、移：若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件，就称为虚位移或广义虚位移。 虚位移是系统约束允许的任意假想位移，与主动力无关，与时间无关，且不惟一。 实位移dt t r dq q r rd i k i j j i i + = = 1 ), 2 , 1(ni= 表示为：)3 , 2 , 1( , 1 nidt t x dq q x dx i k i j j i i = + = = 虚位移), 2 , 1( , 1 niq q r r j k j j i i = = = 表示为：)3 , 2 , 1( , 1 niq q x x j k j j i i = = = 虚位移 ji qr , 又称

17、为 ji qr, 的变分（等时变分） 实位移与虚位移之间的关系：例如：当质点在某瞬时处于静止时，0= i rd，但 i r 不一定为 0。 第八章第八章动能定理动能定理 1.1. 质点系质量分布的特征量:质心 C（质量中心） 、转动惯量J 质点系的总质量 = = n i i mm 1 ，质心坐标的表达式： m rm r n i ii C = = 1 m xm x n i ii C = = 1 m ym y n i ii C = = 1 m zm z n i ii C = = 1 注意：质心只是质点系所在空间中的一个几何点，不一定与质点系中某个质点重合；各质点位置变化时， 质心的位置一般也改变。

18、 2.2.质点系及刚体对某l轴的转动惯量 l J 第 31页 共 44页 定义：质点系质点系对l轴的转动惯量 = = n i iil mJ 1 2 刚体对l轴的转动惯量为 mJ m l d 2 = 转动惯量的特点：与运动状态无关，仅与质量分布 有关，恒大于或等于零。 定义：回转半径（惯量半径） z 。 若某刚体对 z 轴的转动惯量为 z J,令 2 zz mJ=， z 可视为将刚体的全部质量都集中于距 z 轴距离为 的某一点时，该质点对 z 轴的转动惯量为 z J 刚体对直角坐标 3 个轴的转动惯量：()mzyJ m x d 22 +=()mxzJ m y d 22 +=()myxJ m z

19、d 22 += 3.3. 转动惯量的平行轴定理(用于计算任意刚体的转动惯量) 对某刚体：建立平行的两个直角坐标系Oxyz和 CCC zyCx，点),(cbaC为该刚体的质心，则 axx C +=byy C +=czz C += 平行轴定理： 2 mdJJ C zz +=，其中 222 bad+= 4.4.刚体系转动惯量的叠加原理 刚体系对某轴的转动惯量符合叠加原理，复杂形状物体的可分解为形状简单的几部分，分别求对同一轴 的转动惯量后再相加。 例题例题 1 1求以下刚体对 z 轴的转动惯量 （1）空心圆环板，内半径 r ，外半径 R，板的质量为 m 解：设半径 R 的大圆板质量为 R m，半径

20、r 的小圆板质量为 r m 则圆环板 22 2 1 2 1 rmRmJJJ rR r z R zz =，又mmm R r m m rR R r +=, 2 2 m rR r mm rR R m rR 22 2 22 2 , = =)( 2 1 22 rRmJz+= x y R r z 第 32页 共 44页 例题例题 2 2均质细杆 AB，长度为l，质量为m，求杆 AB 滑倒时，杆对过速度瞬心 P 轴的转动惯量 P J 解：利用转动惯量的平行轴定理 2 22 2 3 1 ) 2 ( 12 1 )( ml l mml PCmJJ CP = += += 5.5.质点系整体运动学特征量：动能质点系整

21、体运动学特征量：动能, ,动量动量, ,动量矩的计算动量矩的计算 （1）动能的计算 1）计算质点系动能的柯尼希定理柯尼希定理： 2 r 1 2 2 1 2 1 ii n i C vmmvT = += 质点系的动能等于将质点系的质量全部都集中于质心时质心的动能，再加上质点系相对于质心平移坐标 系的动能，称为柯尼希定理。 2）刚体的动能的计算 2.1）平移刚体的动能：以速度v 作平移的刚体，由于其上各点的速度都相同，因而根据定义其动能 为 22 1 2 1 2 1 mvvmT ii n i = = 式中 22 1 2 1 2 1 mvvmT ii n i = = 为平移刚体的总质量。 2.2） 定

22、轴转动刚体的动能： 以角速度绕z 轴作定轴转动的刚体， 设其上质点 i D至 z 轴的距离为 i ， 则i i v=，根据质点系动能的定义得：() 222 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 z v n i ii JdmmT= = 式中dmJ v z = 2 为刚体对定轴转动转轴的转动惯量。 2.3）一般平面运动的刚体的动能：xy 平面内一般平面运动的刚体,角速度为，质心为 C，可应用 柯尼希定理计算一般平面运动刚体的动能：建立定系Oxy，动系：yxC；刚体上的微元 i D 到zC轴的距离为 i ，则微元的相对速度 ii v= r ，由柯尼希定理： 2 r 1 2 2 1 2 1 ii n

23、i C vmmvT = += () 2 2 1 2 r 1 2 1 2 1 2 1 Cii n i ii n i Jmvm= = ，式中()2 1 ii n i C mJ= = 为一般平面运动刚体对过 质心 C 轴的转动惯量。 故一般平面运动刚体的动能计算公式为： 22 2 1 2 1 CC JmvT+= 刚体动能=质心平动动能+绕质心定轴转动的动能 一般平面运动刚体的动能的计算公式： 若能找出一般平面运动刚体的速度瞬心 P，则：=PCvC B A C P 第 33页 共 44页 则()() 222 2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 PCmJJPCmJmvT CCCC +=+=

24、+=， 2 2 1 P JT= 3）刚体系统的动能的计算 动能的计算可用叠加原理，总动能为各部分动能之和： = i i TT 3.1）动能并不陌生，但求动能极易出错，应特别注意刚体具有的运动状态，不要一律计算为 2 2 1 mvT= 3.2） 求一般平面运动刚体的动能时， 要先求质心速度及刚体的角速度， 常用到运动学中的两点速度关系， 速度瞬心法或点的速度合成关系式。 3.3）动能表达式中常需要计算 2 C v,可利用余弦定理、矢量的点积或投影法。 例题例题 3 3滑块O：质量M，均质杆 OA：长l，质量m，小球 A：质量 A m，求系统任意时刻的动能T。 解：系统有两个自由度，取广义坐标,x

25、，系统包含三部分。 1.滑块O：平移， 22 1 2 1 2 1 xMMvT O = 2.均质杆 OA：一般平面运动，质心为杆的中点 C 22 2 2 1 2 1 CC JmvT+= （1）求杆 OA 的：= （2）求 C v ：由 O，C 两点速度关系 COOC vvv += 大小？x 2 l 方向？ cos 2 2 4 2 )()( 2 2 222 2 l x l xvvvv vvvvvvv COCCOO COOCOOCCC +=+= += 222 2 222 2 12 1 2 1 )cos 2 2 4 ( 2 1 2 1 2 1 ml l x l xmJmvT CC +=+= 3.小球

26、A：质点， 2 3 2 1 AAv mT= A v 应为小球的绝对速度 求 A v ： AOOA vvv += cos2 2 222 222 += += lxlx vvvvv AOOAOOA2222 3 )cos2( 2 1 x llxmT A += 系统任意时刻的动能为：cos)2( 2 1 ) 26 ()( 2 1 222 321 xlmml mm xmmMTTTT A A A +=+= x O O x A CO v O v 第 34页 共 44页 第九章第九章 动量原理动量原理 1.1.动量的计算动量的计算 1.1 质点的动量：vmp =； 质点动量的本质：表示质点机械运动的强弱程度，是

27、一个矢量，方向与速度的方向一致。 1.2 质点系的动量：定义为各质点动量的矢量和： ii n i vmp = = 1 1.3 刚体的动量 = m ii dmvvmp m dmr r m C = ，对时间求导： m dmv v m C = ， = m C dmvvm ，刚体的动量 C m vmdmvp = 刚体的动量等于想象地将刚体的质量都集中于质心时质心的动量。 例题例题 1.1.均质杆 OD 长l，质量为 1 m，均质杆 AB 长l2，质量为 1 2m，滑块 A，B 质量均为 2 m，D 为 AB 的 中点，OD 杆绕 O 轴以角速度转动，当 OD 杆与水平方向的夹角为时，求该瞬时系统的动量

28、。 解：系统包括四部分：滑块 A，B，杆 AB，OD， CDBA vmvmvmvmp 1122 2+= 1.求各刚体质心的速度 OD 杆定轴转动： 2 l vC=，lvD= AB 杆一般平面运动，速度瞬心为 P： = l l PD vD AB =cos2lAPv ABA =sin2lBPv ABB 2.求系统的动量 CDBA vmvmvmvmp 1122 2+= sin) 2 5 2(sinsin2 12112 lmmvmvmvmp CDBx += cos) 2 5 2(coscos2 12112 lmmvmvmvmp CDAy +=+= cossin) 2 5 2( 12 jilmmp +=

29、 2.2.动量矩的计算动量矩的计算 2.1 质点的动量矩 (类比于力对点之矩、力对轴之矩) 质点的动量对某点之矩()vmrvmLO = 若在点 O 建立直角坐标系 Oxyz，则 O y x A B D C PD v C v A v B v AB O y x A B D C 第 35页 共 44页 ()()()()kLjLiLkyvxvmjxvxvmizvyvm mvmvmv zyx kji vmL zyxxyzxyz zyx O +=+= )(vmLO 质点对点的动量矩定位矢量 zyx LLL,质点对轴的动量矩代数量 2.2 质点系的动量矩 1)质点系对固定点或固定轴的动量矩 设质点系中质点

30、i D相对于某一固定点 O 的矢径为 i r ，动量为()nivm ii , 2 , 1 =，质点系对某固定点 O 的动量矩为：() iii n i iiO n i O vmrvmLL = =11 质点系对某一固定轴l的动量矩 l L 为：() iil n i l vmLL = = 1 2)对惯性系中不同的两点 A,O 的动量矩之关系 类比于力对不同两点的力矩之间的关系，力对 A，O 两点之矩关系为FAOFmFm OA +=)()( 故质点系对不同的 A，O 两点的动量矩的关系为：pAOLL OA += 注意注意质点系对某点的动量矩不等于不等于质点系动量对该点之矩 即 i n i iCCii

31、n i iO vmrprvmrL = = 11 2.3 刚体的动量矩 1)平移刚体的动量矩 刚体平移时，建立质心平移坐标系，各质点的相对速0 r = i v ，故平移刚体对其质心的动量矩： 0 r = CC LL ， 平移刚体对任意固定点 A 的动量矩为：pACLL CA +=，() CA vmACL = 平移刚体对任意固定点 A 的动量矩等于将平移刚体的质量视为全部集中在质心C 上时对点 A 的动量矩(即 平移刚体相当于一个质点)。 2)定轴转动刚体的动量矩 在转轴上任取一点 O，使 z 轴与转轴重合，建立惯性参考空间中的直角坐标系 Oxyz，则定轴转动刚体 的角速度为k =，设质量为dm的

32、微元，相对于点 O 的矢径为r ，在直角坐标系 Oxyz 中的坐标为 ()zyx,，kzjyi xr +=，其速度为rv = 定轴转动刚体对定点 O 的动量矩为： 第 36页 共 44页 ()() ()()() ()()()() kJjJiJ kmyxjmyzimxz mkzjyi xzkzyx mrrrmrrmvrL zyzxz mmm m mmm O += += += = ddd d ddd 22 222 2 由上式可知，定轴转动的任意形状刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向。 作为特例，当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时，才有：0, 0= yzxz JJ zzO JkJL= 此

33、时动量矩矢量才沿转轴方向！ 3)一般平面运动刚体的动量矩 建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质心平移坐标系zyxC， 使三对坐标轴分别平行,且使zCOz,轴 垂直于刚体的运动平面，则一般平面运动刚体相对质心平移坐标系的相对运动为绕zC轴的定轴转动： kJjJiJLL zzyzxCC += r 若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，则zC轴为刚体对质心的惯量主轴，即0= zyzx JJ 则有： CC JL=， C J为刚体对中心惯量主轴zC的转动惯量 对空间中任意固定点 A，则有： CCA vmACLL += 例题例题 2.2.均质圆柱，半径为 r，质量为 m，绕有细绳，A 端固定，圆柱质

34、心 C 以速度 vC 向下运动，求圆柱对质 心 C 及定点 A 的动量矩。 解：圆柱作一般平面运动： r vC = 圆柱对其质心 C 的动量矩为： CCC mrvmrJL 2 1 2 1 2 =（负号表示方向指向面内） 利用圆柱对 A，C 两点的动量矩关系：hvmLL CCA = CCCCCA mvmrvmrvrmvLL 2 3 2 1 =（负号表示方向指向面内） A C r m C v 第 37页 共 44页 例题例题 3 3圆盘 O 半径为 r，质量 m，以角速度w转动，均质杆 AB,BD 的质量均为 m，长均为 2r，滑块 B ,D 质 量均为 m， 分别在水平和铅垂滑道内运动， A,B

35、,D 处为铰接， 某瞬时杆 AB 水平,杆 BD 与铅垂方向夹角为 30， 求此瞬时系统的动能,动量，以及系统对 O 点的动量矩。 解：圆盘定轴转动，两滑块平移，杆 BD 一般平面运动， 杆 AB 此时刻为瞬时平动)( =rvvv CBA 3 3 2 2 3 = = r r BP vB BD rrvrrv BDEBDD 3 3 ),( 3 3 = 系统此时动能： 22222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 BD BD PDBCO JmvmvmvJT+= 轮 222222222 36 59 ) 3 3 )( 3 4 ( 2 1 ) 3 3 ( 2 1 2 1 2) 2 1 ( 2 1 m

36、rmrrmmrmr=+= 由rvE 3 3 =，)( 3 3 2 3 ),( 3 3 2 1 =rvrv ExEy 系统此时的动量： Ci i iv mp = = 5 1 )( 2 5 =+=mrmvmvmvp ExBCx )( 2 3 =+=mrmvmvp DEyy 系统该瞬时对定点 O 的动量矩： 2 2 ) 6 37 9 28 ( ) 2 3 ( 2 5 )2( 12 1 3 mr rrmv r mvrmrmvrmvrmvJL ExEyBDDBCOO += += 盘 3.3.质心运动定理质心运动定理 3.1 质点系的质心运动定理 质点系动量定理的微分形式 ( ) tFpdd e R =

37、C vmp =() ( ) tFvm C dd e R =对总质量不变的质点系const=m ( ) tFvm C dd e R = ( )e R d d F t v m C =即 ( )e R Fam C =（质心运动定理） 物理意义物理意义：质量不变质点系的总质量与其质心加速度的乘积等于作用于其上外力系的主矢。 质点系质心的运动不仅与质点系的内力和外力偶无关质点系质心的运动不仅与质点系的内力和外力偶无关, ,而且与作用于质点系上各外力的作用点位而且与作用于质点系上各外力的作用点位 置也无关。置也无关。 O A B D 30 P E v E D v B v A v C C v Ey v Ex

38、 v 第 38页 共 44页 若质点系由 n 个刚体组成，则质心运动定理可表示为： ( )e R 1 Fam Cii n i = = 质心运动定理的投影式为： )(e RxCx Fma= )( 1 e RxCix n i i Fam= = 3.2 质心运动守恒定律 当一个质点系由 n 个刚体组成时，若作用于其上的外力系主矢： ( ) 0 e R F 且初始时系统的质心速度为零, 则根据 ( )e R Fam C =，系统的质心相对于某固定点 O 的矢径守恒：常矢量= C r 设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位移 Ci r ，则由上式及系统的质心矢径公式可得： () CiCii n

39、i Cii n i C rrmrmrm += =11 0 1 = = Cii n i rm 若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的固定坐标轴如 x 轴上的投影为零，即 ( ) 0 e R F ,且初始时系统质 心速度在该轴上的投影等于零，则 ( ) 0 e R = xCx Fmaconst= C x 假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生有限改变量 Ci x： () CiCii n i Cii n i C xxmxmmx+= =11 0 1 = = Cii n i xm 以上结论均称为质心运动的守恒定律。 第十章第十章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 1.1.惯性力的概念惯性力的概念 惯性力

40、人为引入的假想力，无施力者，与观察者有关，与真实力同样有运动、变形效应。 我们要研究的是第二类惯性力第二类惯性力: 在惯性系中引入，使动力学形式上转化为静力学问题: amFF N =+ 0)(=+amFF N 达朗贝尔惯性力amFI = x y z m F a N F 第 39页 共 44页 2.2.达朗贝尔原理达朗贝尔原理 2.1 质点的达朗贝尔原理 0)(=+amFF N 达朗贝尔惯性力amFI = 共点力系平衡方程0=+ IN FFF 质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力组成一个形式上的平 衡共点力系。 2.2 质点系的达朗贝尔原理 对质点系任意质点)

41、,.,1(0)(niamFF iiNii =+ 每个质点的达朗贝尔惯性力),.,1(niamF iiIi = n 个平衡的共点力系:),.,1(0niFFF IiNii =+ 其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。 质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平 衡力系。 达朗贝尔原理平衡方程达朗贝尔原理平衡方程0 )( =+ i Ii i e i FF 0)()( )( =+ i IiA e i i A FMFM 记： = i e i e R FF )()( = i IiIR FF = i e iA e A FMM)( )()( = i

42、IiAIA FMM)( 则达朗贝尔原理平衡方程则达朗贝尔原理平衡方程 可写为：0 )( =+ IR e R FF 0 )( =+ IA e A MM 达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方程的矩心 A 点可以任意选取。 3.3.质点系的达朗贝尔惯性力系的简化质点系的达朗贝尔惯性力系的简化 3.13.1 质点系达朗贝尔惯性力系的简化质点系达朗贝尔惯性力系的简化 (1)达朗贝尔惯性力系的主矢 c i ii i IiIR amamFF = )( 代入达朗贝尔原理平衡方程之一：0 )()( =+=+ i Ii i e iIR e R FFFF c i e i e R amFF = )()( 即质心运动定理 (

43、2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O 点的主矩： 第 40页 共 44页 ()() = iiiIiOIO amrFmM 根据动量矩的定义()() = iiiiii O amrvmr dt d dt Ld 达朗贝尔惯性力系对固定的 O 点主矩： dt Ld M O IO = 代入达朗贝尔原理平衡方程之二，取 O 点为矩心： ( ) 0 I e =+ OO MM dt Ld M O e O = )( 即对固定点的动量矩定理 (3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C(可为动点)的主矩： ()() = iiiIiCIC amrFmM 利用对不同点的动量矩之关系：() CCO vmOCLL +=，求导，

44、并利用 C v dt OCd = () += += t v mOCvvm t L t v mOCvm t OC t L t L C CC CC C CO d d d d d d d d d d d d 即 C CO amOC t L t L += d d d d 由于 cIR amF = t L M O O d d I = 由力系对某点主矩的定义： ( )( ) () e 1 e iC n i C FMM = =() iC n i C FMM I 1 I = = 根据力系对不同点主矩之关系： IRICIO FOCMM += 达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C 的主矩： t L M C IC d

45、d = 代入达朗贝尔原理平衡方程之二，取质心 C 点为矩心： ( ) 0 I e =+ CC MM ( )e d d C C M t L =即对质心 C 的动量矩定理 第 41页 共 44页 3.23.2平面运动的单个刚体达朗贝尔惯性力系的简化平面运动的单个刚体达朗贝尔惯性力系的简化 若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在平面运动，此时 C L 的方向恒垂直于其质 量对称面，且 CC JL=，可用代数量表示： CC JL=（ C L转向与相同） 由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C 的简化结果： cIC amF = dt Ld M C IC = 得平面运动单个刚体达朗贝尔惯性力系

46、向质心 C 简化的结果： cIC amF = CIC JM= 可用公式直接表示出惯性力和惯性力偶的大小，并在图中画出其方向： CIC maF= CIC JM= （ IC F 方向与 C a 方向相反） （ IC M转向与转向相反） 对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动） ，达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便： （1）刚体平面平移 由于0, 0= 0 , = ICCIC MmaF 仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢，此结果也适用于刚体作空间平移运动。 （2）刚体定轴转动 质心 C 点的加速度可表为切向、法向两个分量： n C t CC aaa += 惯性力也可表为切向、法向两个分量： n IC

47、t IC n C t CIC FFamamF += a.达朗贝尔惯性力系向质心 C 简化的结果为： CIC CC t C t C JM maF maF = = = nn I I C C a IC F IC M CC a IC F O C t IC F n IC F t C a n C a IC M 第 42页 共 44页 b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O 简化的结果为： OIO CO t C t O JM maF maF = = = nn I I OCFMM FF FF t ICICIO n IC n IO t IC t IO += = = 注意注意： （1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的这两种简化方法是等价的，最容易犯的错误是，将达 朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶按式 OIC JM=写出。 （2）以上图图示箭头表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，表示其大小时就不要再将 对应矢量式前的“负号”带入，因为“负号”所表示的方向（或转向）已在图中标出。以后在列写平衡方程 时，就是按图示方向（或转向）来列写的。 4.4. 动静法及应用动静法及应用 利用达朗贝尔原理,按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题动静法。 用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤(