理论力学点的合成运动.ppt

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1、,第八章 点的合成运动,动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。 简称动系（Oxyz） 。,前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动，坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。,运动学,本章研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。,8-1 相对运动牵连运动绝对运动,一. 坐标系：,静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系（Oxyz）。,运动学,例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的，但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。,同一物体的运动对于不同的参考体

2、来说是不同的。,又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点，其轨迹则是一个圆。,1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。,绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 与绝对加速度 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 与相对加速度 牵连运动中牵连点的速度和加速度称牵连速度与牵连加速度,运动学,二. 动点：,三. 三种运动及三种速度与三种加速度,在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。,所要研究的运动着的点。,运动学,选择对动系、静系都为运动的点，例如主

3、动件与从动件的连接点。,动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者是能直接看出的。,四. 动点的选择原则：,五. 动系的选择原则：,下面举例说明以上概念：,运动学,绝对运动：直线运动,相对运动：圆弧运动,牵连运动：直线平动,牵连速度 ：,绝对速度 ：,运动学,相对速度 ：,绝对加速度：,运动学,相对加速度：,牵连加速度：,运动学,动点：摆杆上 A1点 动系：圆盘 静系：机架,动点：圆盘上 A点 动系：OA 摆杆 静系：机架,绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动,绝对运动：圆弧运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：定轴转动,注意：要指明动点在哪个物体上，且动点不能选

4、在动系上。,运动学,动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面,绝对运动：直线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动,若动点A在偏心轮上时,A（在偏心轮上） AB杆 地面,圆周运动（红虚线） 曲线运动（未知） 平动,当t t+t 时 ABA B ， MM 也可看成M M M,8-2 点的速度合成定理,点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。,运动学,设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz运动。, 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出

5、其它两个。,即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,运动学,将上式两边同除以t，取t 0时的极限，得,说明：, 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为任何运动的情况。,应用举例,运动学,例1 桥式吊车。已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。,运动学,动点：物块A 动系：小车 静系：地面,相对运动：直线； 相对速度 vr =v 方向 牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向 绝对运动：曲线； 绝对速度 va 的大小、方向待求。,解：,选取,运动学,作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小

6、和方向为,由速度合成定理：,相对速度vr = ? 方向/O1B,运动学,例2 曲柄摆杆机构。已知：OA= r 、 、 OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求：摆杆O1B的角速度1。,解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。,绝对速度va = r ，方向 OA,牵连速度ve = ? 方向O1B,由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。,（翻页请看动画）,运动学,例3 圆盘凸轮机构 已知：OCe , , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。,解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。,绝对速度 va = ? 待求，

7、方向/AB,相对速度 vr = ? 未知，方向CA,牵连速度 ve = OA =2e, 方向 OA,由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。,运动学,运动学,动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。 动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断（除已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题外）。,由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤为：,动点、动系和静系的选择原则：,恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。,选取动点、动系和静系。,对三种运动及其速度进行分析。,根据速度平行四边形，求出未知量。,根据速度合成定理

8、 作出速度平行四边形。,运动学,例4 已知： 凸轮半径 r , 图示时速度 v ，q = 300 ；杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。,分析：相接触的两个物体的接触点位置在各自物体上都随时间而变化，因此若选两物体的接触点为动点，则相对运动的分析会较困难。根据上述动点、动系和静系的选择原则，在此情况下，可选择满足上述两条原则的非接触点为动点。,解：取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。,绝对运动： 直线运动， 绝对速度： va =v ，方向 相对运动： 直线运动， 相对速度： vr 未知，方向 OA 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度：,运动学,根据速度合成定理 作出速

9、度平行四边形如图所示。,8-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理,两边对 t 求导：,运动学,设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。,由速度合成定理,注意到牵连运动为平动，故,其中， 为动系坐标轴的单位矢量，由于动系为平动，故其方向不变是常矢量，所以 。,运动学,即牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,又可写为：,运动学,例5 图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA0.1m，绕O轴转动。当 时，其角速度 w 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s

10、2，求导杆AB的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。,取OA上的A点为动点，导杆AB为动系，定系固连在地面上。,2）分析三种运动和三种加速度。, 绝对运动：即动点A的圆周运动，绝对加速度可分解为切向加速度和法向加速度 ，大小为,解： 1）选取动点和动系。,运动学,方向如图 b）所示。, 相对运动 即沿滑道的往复直线运动，故相对加速度 的方向为水平，大小为未知。, 牵连运动 即导杆的直线平动，动点A的牵连加速度 为铅垂方向，大小为待求。,作加速度合成图，如图b）。,3）根据牵连运动为平动时的加速度合成定理,运动学,求出的 为正值，说明图示方向即为实际方向，而 即为导杆AB在此瞬时的平动加速度。,

11、代入,将其分别投影到x 和h 轴上,得,最后得:,注意：不要将加速度合成定理的投影式写成“投影的代数和为零”的平衡式。,解：取顶杆AB上的A点为动点， 动系与凸轮固连。,运动学,例6 已知：凸轮半径 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。,请看动画,运动学,由速度合成定理,做出速度平行四边形,如图示。,相对速度vr = ? , 方向CA； 相对加速度art = ? 方向CA , 方向沿CA指向C,绝对速度va = ? , 方向 AB ；绝对加速度aa= ?, 方向 AB，待求。,牵连速度ve=v0 , 方向 ； 牵连加速度 ae=a0 , 方向,运动学,因牵连运动为平动， 故有,作加速度矢量

12、图如图示，将上式投影到法线 n 上，得,整理得,8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理,上一节我们证明了牵连运动为平动时点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,运动学,设如图圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内一点M以大小不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？,相对运动为匀速圆周运动，,（方向如图）,由速度合成定理可得出,运动学,选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动。,（方向如图）,即绝对运动也为匀速圆周运动，所以,方向指向圆心点。,运动学,可见，当牵连运动

13、为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么它们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,分析上式：,还多出一项 2 vr 。,运动学,速度分析,可以看出，经过Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小、方向都发生了变化。,设杆OA在图示平面内以匀角速度 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。,运动学, 相对速度：由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取 长度后， 分解为 和,其中 在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转

14、动无关。 在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关 。, 牵连速度： 由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取 长度后，将 分解为 和 ，,Dt 时间间隔内的速度变化分析,运动学,其中: 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。 表示Dt内由于相对运动而引起的牵连速度大小的改 变量，与相对速度 有关。,加速度分析,上式中各项的物理意义如下：,运动学,第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。,第三项恰是瞬时动点的相对加速度 。,第二项大小：,该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。,第四项大小：,这一项表明由于牵连

15、转动而引起相对速度方向改变的加速度。,运动学,最后，有加速度合成定理,即牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,或写成,一般情况下，科氏加速度可以表示为,由于第二项和第四项表示的加速度的大小、方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科氏加速度。,方向：按右手螺旋法则确定。,（常见）,运动学,例7 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，试计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并标明方向。,点M2 的科氏加速度:,垂直板面向里。,解：科氏加速度为,点

16、M1的科氏加速度:,解：,根据 作出速度平行四边形,方向与 相同。,运动学,例8曲柄摆杆机构。已知O1Ar， 1， ；取O1A杆上A点为动点，动系固结在O2A上，试求动点A的科氏加速度。,解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮； 静系: 地面。,运动学,例9 凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点处曲率半径为 ， 为已知。求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。,绝对运动: 直线运动; 绝对速度: va= ? 待求, 方向/AB;,牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。,相对运动: 曲线运动; 相对速度: vr= ? 方向n;,运动学,根据速度合成

17、定理,作速度平行四边形。,运动学,由牵连运动为转动时的加速度合成定理,作出加速度矢量图如图示。,向 n 轴投影：,代入：,牵连运动为转动时,运动学,第八章点的合成运动习题课,一概念及公式,点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成。,2. 速度合成定理,3. 加速度合成定理,牵连运动为平动时,1. 一点、二系、三运动,运动学,4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。,二解题步骤,1. 选择动点、动系、静系。,2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。,3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度、 角速度）。,2. 牵连运动为转动时作

18、加速度分析不要丢掉科氏加速度 。,运动学,三注意问题,1. 牵连速度及加速度是牵连点相对静系的速度及加速度。,3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程 的投影式不同。,4. 圆周运动时，,牵连运动：平动，,运动学,解：动点：OA杆上 A点; 动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。,绝对运动：圆周运动，,相对运动：直线运动，,小车的速度：,根据速度合成定理 作速度平行四边形, 如图示。,向x轴投影：,方向如图示。,小车的加速度：,根据牵连平动的加速度合成定理,作出加速度矢量图如图示。,运动学,牵连运动：定轴转动，,运动学,例2 摇杆滑道机构。已知 h、q 、v、a，求OA杆

19、的w、e 。,解：动点: BC上销子D ; 动系: 固结于OA；静系: 固结于机架。,绝对运动：直线运动，,沿OA 线,相对运动：直线运动，,向 轴投影：,根据牵连转动的加速度合成定理,运动学,根据速度合成定理 作速度平行四边形，如图所示。,请看动画,运动学,解：动点: O1A上A点; 动系: 固结于BCD上, 静系固结于机架上。,作出速度平行四边形。,再选动点：BCD上F点， 动系：固结于O2E上， 静系固结于机架上。,根据作速度平行四边形。,运动学,根据,绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动， 牵连运动：定轴转动，,绝对运动: 直线运动， 相对运动: 直线运动， 牵连运动: 定轴转动，

20、,例4 凸轮机构。已知凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上，q 、v 、a 已知。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。,由于两个物体上的接触点位置均是变化的，故不宜选接触点为动点。,方向,请看动画,运动学,解: 取凸轮上C点为动点， 动系固结于OA杆上， 静系固结于地面上。,分析:,作出速度平行四边形，知,根据,根据,作出加速度矢量图。,向 轴投影：,运动学,（请看动画）,例5 刨床机构。 已知主动轮 O 转速 n = 30 r/min， OA=150mm ，图示瞬时 OAOO1。 求O1D杆的 1、1和滑块B的vB、aB 。,运动学,运动学,其中,解：动点：轮O上A点 动系：O1D , 静系：机架,根据 作出速度平行四边形 。,根据,作出加速度矢量图,向 方向投影：,运动学,再选动点: 滑块B; 动系: O1D; 静系: 机架。,根据 作出速度矢量图。,向 x 轴投影：,根据,作出加速度矢量图。,运动学,其中,由于,A点作直线运动,代入图示瞬时的已知量，得,请看动画,运动学,例6 套筒滑道机构。 已知 h 及图示瞬时q 、v 、a 。 求套筒O的w 、e 。,解：方法1：应用“点的运动学”求解。,知两种方法结果一致。,向方向投影：,方法2：动点: CD上A点， 动系: 套筒O，静系: 机架,运动学,其中,运动学,本章结束,