消费者行为理论(2010年).pdf

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1、1 第第7章 不确定条件下的个人选择章 不确定条件下的个人选择 7.1 期望效用理论期望效用理论 7.2 风险态度风险态度 2 7.1 期望效用理论期望效用理论 一、不确定条件下的选择对象和彩票一、不确定条件下的选择对象和彩票 1、几个基本概念 （ 、几个基本概念 （1）选择或行动集合 （ ）选择或行动集合 （2）（自然）状态集合 状态集合的特征： ）（自然）状态集合 状态集合的特征： 穷尽所有可能的状态穷尽所有可能的状态 不受行动者的控制不受行动者的控制 集合中各个元素之间均表示互相排斥的事件 （即状态） 集合中各个元素之间均表示互相排斥的事件 （即状态） 状态集合可以是连续的，也可以是离散

2、的状态集合可以是连续的，也可以是离散的 i aA i sS 3 7.1 期望效用理论期望效用理论 1、几个基本概念、几个基本概念 （3）结果函数）结果函数 （4）随机状态的概率分布）随机状态的概率分布 (,) ij x asxX且 0,1 ( )0,( )1 ii ss S S PP P sP s ds = = 状态集合离散时： 有概率 状态集合连续时：有概率密度函数 4 7.1 期望效用理论期望效用理论 2、分布和分布集合 令：某一个行动面临 、分布和分布集合 令：某一个行动面临n种状态 对应 种状态 对应n种概率 对应 种概率 对应n种结果 由此定义： 对于行动， 且有 于是，在不确定的条

3、件下，有 种结果 由此定义： 对于行动， 且有 于是，在不确定的条件下，有 12, , n sss 11 (;)(,) i nn pppxxp x=?为一个分布。 ( )( , )u au p x 12, , n ppp 12 , n xxx i a i pP i a 5 7.1 期望效用理论期望效用理论 3、彩票的表达方式、彩票的表达方式 （1）一般表达方式）一般表达方式 (1) (;,) pxpy orLp x y = ? 6 7.1 期望效用理论 （ 期望效用理论 （2）复合彩票 复合彩票：即彩票的奖励仍是彩票。 例如，某消费者以 ）复合彩票 复合彩票：即彩票的奖励仍是彩票。 例如，某消

4、费者以1/2的概率获得第一张彩票， 以 的概率获得第一张彩票， 以1/2的概率获得第二张彩票。 其中，第一张彩票以 的概率获得第二张彩票。 其中，第一张彩票以1/4的概率得到， 以 的概率得到， 以3/4的概率得到； 第二张彩票以 的概率得到； 第二张彩票以1/2的概率得到， 以 的概率得到， 以1/2的概率得到。的概率得到。 1 x 2 x 2 x 1 x 7 7.1 期望效用理论期望效用理论 则记为： 整理得：以净概率表示 则记为： 整理得：以净概率表示 1212 113111 ()() 244222 xxxx? 12 35 88 xx? 8 7.1 期望效用理论期望效用理论 二、彩票空间

5、（二、彩票空间（L）上的偏好公理）上的偏好公理 1、假设、假设 假设假设1 假设假设2 假设假设3 1(11)1xyx? (1)(1)p xpypyp x? (1)(1)()(1)qp xpyqyqpxqp y? 9 7.1 期望效用理论期望效用理论 2、公理、公理 公理公理1： 完备性： 完备性 公理公理2： 反身性： 反身性 公理公理3： 传递性： 传递性 , , ij ijji LL LLLL L ? ? 对 于 任 意 两 张 彩 票消 费 者 的 偏 好 序 必 定 是， 或 者或 者 两 者 同 时 成 立 。 , iii LLL L? ? 对于任意的一张彩票消费者必有。 , ,

6、, ijk ijjkik LLL LLLLLL L ? ? 对于任意的三张彩票若消费者 偏好是则必有。 10 7.1 期望效用理论期望效用理论 公理公理4 连续性连续性 公理公理5 独立性独立性 , 01 (1-) bwx wxb p xp bpw ? ? 令 为最好的结果， 为最坏的结果， 为 给定的任意一个结果，且则一定存 在一个唯一的概率,使得 。 ,(1)(1) ,(1)(1) xyp xpzp ypz xyp xpzp ypz ? ? 如果则。 如果则。 11 7.1 期望效用理论期望效用理论 公理公理6 单调性或不等概率公理 三、冯 单调性或不等概率公理 三、冯纽曼摩根斯坦期望效用

7、函数定理 （ 纽曼摩根斯坦期望效用函数定理 （von Neumann and Morgenstein） 简称 ） 简称:vNM期望效用函数定理期望效用函数定理 ,(1-)(1- )pqp bpwq bqw?如果概率则有。 12 7.1 期望效用理论期望效用理论 三、冯三、冯纽曼摩根斯坦期望效用函数定理纽曼摩根斯坦期望效用函数定理 定理 假定满足以上的公理，则存在一个定义在 上的效用函数，满足期望效用的性质： 在多种结果的条件下，则有 定理 假定满足以上的公理，则存在一个定义在 上的效用函数，满足期望效用的性质： 在多种结果的条件下，则有 , )L ? ( L 1,2 ,12 1122 1 ;,

8、 ()()() ()() nn nn n ii i Upppxxx pu xpu xpu x pu xEu x = + = ? ii?i i () = (1)( ) (1) ( )U p xpyp u xp u y+?ii()= 13 7.1 期望效用理论期望效用理论 三、冯三、冯纽曼摩根斯坦期望效用函数定理纽曼摩根斯坦期望效用函数定理 证明：第一步 建立一种表达结构 令 证明：第一步 建立一种表达结构 令u(b)=1,u(w)=0,则可将任意一张彩票的效用函数 规定为： 在此，需检验的存在性和唯一性。 检验一：的存在性 根据连续性的假定，对应任何给的的结果 则可将任意一张彩票的效用函数 规定

9、为： 在此，需检验的存在性和唯一性。 检验一：的存在性 根据连续性的假定，对应任何给的的结果Z, 总存在一个 概率，使得（ 总存在一个 概率，使得（1）成立。）成立。 ()( ),1(1) zzz u zppbpwz=?且满足: z p z p z p 14 7.1 期望效用理论期望效用理论 三、冯三、冯纽曼摩根斯坦期望效用函数定理纽曼摩根斯坦期望效用函数定理 证明：第一步 建立一种表达结构 检验二：的唯一性 反证法： 证明：第一步 建立一种表达结构 检验二：的唯一性 反证法： z p ( ) ( ) ,1 1 zzz zzzz zz z ppp pppp pp p ? ? ? 令任意两张彩票

10、且 满足 满足 根据不等概率公理,有 于是有 17 7.1 期望效用理论期望效用理论 四、四、vNM期望效用函数的单调变换期望效用函数的单调变换 1、 vNM期望效用函数的单调变换：期望效用函数的单调变换： Key: 线性变换及偏好序的保持线性变换及偏好序的保持 18 7.1 期望效用理论期望效用理论 1、 vNM期望效用函数的单调变换： （ 期望效用函数的单调变换： （1）不能随意进行单调变换，因为可能会改变偏好序。 例： ）不能随意进行单调变换，因为可能会改变偏好序。 例： 112234 1234 11212 23434 :(0.5,),(0.4,) :()25,()64,()36,()4

11、9 :(1)0.5 ()0.5 () 0.5250.56444.5 :(1)0.4 ()0.6 () 0 LxxLxx u xu xu xu x Lu pxp xu xu x Lu pxp xu xu x = = =+ =+= =+ = ? ? 令 其中 12 0.5 0.50.5 11212 0.50.5 23434 12 .4360.64943.8 :,: : (1)0.5 ()0.5 ()6.5 : (1)0.4 ()0.6 ()6.6 LL vu Lv pxp xu xu x Lv pxp xu xu x LL += = =+= =+= ? ? ? 令单调变换则有 偏好序发生改变 19

12、 7.1 期望效用理论期望效用理论 （2）证明：对）证明：对 vNM期望效用函数进行线性单调变换， 则偏好序不变。 期望效用函数进行线性单调变换， 则偏好序不变。 1111222212 11111111 22222222 11111111 :(,),(,), :(1)()(1) () (1)()(1) () ( )( ),0 : (1)(1) LpxyLpxyLL u pxpyp u xpu y u pxpypu xpu y vauba v pxpyau pxpyb = =+ =+ =+ =+ ? ?i ?i ii ? 令且 即 若进行线性变换 有 1111 1111 22222222 222

13、2 22 ()(1)() ()(1) () (1)(1) ()(1)() () pau xbpau yb a p u xpu yb v pxpyau pxpyb pau xbpau yb a p u x =+ =+ =+ =+ =+ ? 22 11112222 12 (1) () (1)(1) pu yb v pxpyv pxpy LL + ? ? 偏好序不发生改变 20 7.1 期望效用理论期望效用理论 2、关于、关于vNM期望效用函数的线性变换期望效用函数的线性变换 （或仿射变换）（或仿射变换） 命题命题1 一个期望效用函数的任意仿射变换仍然为一 个期望效用函数。 一个期望效用函数的任意仿

14、射变换仍然为一 个期望效用函数。 其中，仿射变换为：其中，仿射变换为：v()=au()+b a0 ( )( ) (1)(1) ( )(1)( ) ( )(1) ( ) vaub v p xpyau p xpy p au xbp au yb pv xp v y =+ = =+ =+ ii ? 令 则有: 21 命题命题2 如果一个期望效用函数如果一个期望效用函数u()进行单调变换 后仍然保持了期望效用函数的特征，那么， 所进行的单调变化一定是一个仿射变换。 附： 进行单调变换 后仍然保持了期望效用函数的特征，那么， 所进行的单调变化一定是一个仿射变换。 附： 1 ( ) ( )0 ( )1 (1

15、) )( )(1)( )( ) f f fp fpup vpf upf vf = +=+ i i i i 定理 一个可微函数是一个仿射函数，当且 仅当。 定理2 如果一个函数对于所有的0满足 ，则 是一个仿射函数。 22 7.1 期望效用理论期望效用理论 证明命题证明命题2 :( ) : ( (1)( ( )(1)( ( ) ( )(1) ( )( ( )(1)( ( ) ( )0 ( ) fRRu f u p xpyp f u xpf u y f pu xp u yp f u xpf u y Pfp f + + + = i ?ii ii i 令是对保持期望效用特征的一个单调变换, 则有 =

16、即= 关于 的二阶导数 是一个仿射变换 23 7.1 期望效用理论期望效用理论 命题命题3 对期望效用函数的任意一个仿射变换的结 果是唯一的。 对期望效用函数的任意一个仿射变换的结 果是唯一的。 24 第第7章 不确定条件下的个人选择章 不确定条件下的个人选择 7.1 期望效用理论期望效用理论 7.2 风险态度风险态度 25 7.2 风险态度风险态度 一、消费者风险态度的判断 令彩票 一、消费者风险态度的判断 令彩票L: 1、判断方法一：利用期望值的效用和期望效用、判断方法一：利用期望值的效用和期望效用 12 (1)p wp w ? 1212 (1)()(1) (),( )( ( ) () (

17、) u pwp wpu wp u wu E wE u w risk loving risk neutral risk averse +=+= 若即 消费者为风险回避者。（ ） 则消费者为风险中立者。 消费者为风险爱好者。 w u(w) u(w) u(Ew) Eu(w) ww1 w2 C w- 26 7.2 风险态度风险态度 2、判断方法二：利用确定性等价、判断方法二：利用确定性等价 一张彩票的确定性等价是指一个确定的收入水 平 一张彩票的确定性等价是指一个确定的收入水 平 判断条件 令期望收入为，确定性等价为 判断条件 令期望收入为，确定性等价为 ? ,( )( ( )wu wE u w=使得

18、。 w ? ww 则消费者为风险爱好者。 ?, w u(w) u(Ew) Eu(w) w1 w2 C ? ww w u(w) 27 7.2 风险态度风险态度 3、判断方法三：利用风险溢价、判断方法三：利用风险溢价 令令C为风险溢价，则其定义为为风险溢价，则其定义为 判断条件判断条件 ? Cw w= 则消费者为风险回避者。 如果风险溢价0, 则消费者为风险中立者。 = 如果，则 比 更怕风险。 ,wAB AB 如果对于所有的都有，则 比 更怕风险。 , ( )( ) AB G uwG uwAB= 如果对于某一递增的严格凹函数有 ，则 比 更怕风险。 35 7.2 风险态度风险态度 （3）普拉德定

19、理）普拉德定理(Pratts Theorm) 令令UA(w) 和和UB(w)为两个可微的、递增的、严 格凹的期望效用函数。那么，以下三个性质是等 价的： 为两个可微的、递增的、严 格凹的期望效用函数。那么，以下三个性质是等 价的： 证明证明 ( )( ) (1),; ( )( ) (2),( )( ); (3)0, AB AB AB AB uwuw w uwuw G uwG uw Exx CC = = AB 对于所有的（即） 对于某一递增的严格凹函数 对于所有的的随机变量。 36 7.2 风险态度风险态度 普拉德定理普拉德定理(Pratts Theorm) 证明：从（）到（）证明：从（）到（）

20、 2 ( )( ) ( )( )( )(1)( )0 ( )( )( )( )( )(2) ( )( )( ) (2)(1)( ) ( )( )( ) ( ) ( ( ) AB ABBB ABBBB ABB B ABB B B B uwG uw uwG uw uwG uw uwG uwuwG uw uw uwG uwuw uw uwG uwuw G uw uw G uw = = =+ =+ 令 则 得: 整理有: )0 ( )( ) ( )( () ) (0 AB AB B uwuw uw G uw G uw = 有:是一个递增的严格凹函数 37 7.2 风险态度风险态度 普拉德定理普拉德定理

21、(Pratts Theorm) 证明：从（ ）到（）证明：从（ ）到（） ()() () () () () ( AAA B B B AB B AB AB uwcEuwx EG uwx G Euwx G uwc uwc u w wc c w c c =+ =+ + = = 由于）单调递增函数，因此有 即有 38 7.2 风险态度风险态度 普拉德定理普拉德定理(Pratts Theorm) 证明：从（）到（）证明：从（）到（） 22 22 11 22 11 22 A AA A B BB B AB A A AB B B u c u u c u cc uu uu = = = = 且 ，即 39 7.2

22、 风险态度风险态度 2、阿罗普拉德相对风险回避系数、阿罗普拉德相对风险回避系数 ? 2 00 2 2 00 ( ) ( ) 1 2 ( ) ()() ( ) 1 2()() RA R u w u w Cw w u w wwww u w C c wwww = = =+=+ = + A A 已知：绝对风险回避系数为 风险收入的绝对成本（即溢价） 则可以推导得到 相对风险回避系数为 风险收入的相对成本（即溢价） 40 7.2 风险态度风险态度 2、阿罗普拉德相对风险回避系数 推导 、阿罗普拉德相对风险回避系数 推导: ? 2 0 2 2 00 22 0 22 00 00 1( ) , 2( ) :

23、() 1 1( )1 2 : 2( )()() 1( )1 () 2( )2()() ( ) :()() ( ) R RA u w Cww u w C c ww u w c u wwwww u w ww u wwwww u w wwww u w = = + = + =+= + =+=+ AA A 已知： 令 风险收入的相对成本 则有 其中 41 7.2 风险态度风险态度 3、具有固定风险回避系数的效用函数、具有固定风险回避系数的效用函数 负指数效用函数：固定的负指数效用函数：固定的 窄幂效用函数： 固定的窄幂效用函数： 固定的 1 1 1 1 ( )(01) 1 ( ),( ) R u ww u wwu ww uw ww uw = = = = （ 、） 推导: