离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2.ppt

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1、1,3.4 DFT的快速算法快速傅里叶变换(FFT),DFT使计算机在频域处理信号成为可能，但是当N很大时，直接计算N点DFT的计算量非常大。 快速傅里叶变换（FFT，Fast Fourier Transform）可使实现DFT的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处理的速度大大提高，工程应用成为可能。 人们已经研究出多种FFT算法，它们的复杂度和运算效率各不相同。 本章主要介绍最基本的基2 FFT算法及其编程方法。,2,3.4.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径,DFT计算量： 长度为N的序列x(n)的N点DFT为 计算X(k)的每一个值需要计算N次复数乘法和N-1次复数 加法，

2、那么计算X(k)的N个值需要N2次复数乘法和(N-1)N 次复数加法运算。当N1时，N点DFT的复数乘法和复数加 法运算次数均与N2成正比。,3,DFT减少运算量的基本途径： 长序列分为短序列： 由于N点DFT的运算量随N2增长，因此，当N较大时， 减少运算量的途径之一就是将N点DFT分解为几个较 短的DFT进行计算，则可大大减少其运算量。 的周期性和对称性： 的周期性： 的对称性：,4,快速傅里叶变换就是不断地将长序列的DFT分解为短序列 的DFT，并利用 的周期性和对称性及其一些特殊值来 减少DFT运算量的快速算法。,5,时间域抽取： 频率域抽取：,基2时间抽取(Decimation in

3、 time)DIT-FFT算法,基2频率抽取(Decimation in frequency)DIF-FFT算法,长序列分解为短序列的方法,6,3.4.2 基2 DIT-FFT 算法,基2FFT要求DFT变换区间长度N=2M，M为自然数。 DIT-FFT算法 序列x(n)的N点DFT为 将上面的和式按n的奇偶性分解为,7,上式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的序列 x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。,(3.4.4),(3.4.5),(3.4.6),8,将式(3.4.5)和式(3.4.6)代入式(3.4.4)，并利用 X1(k)、X2(k)的隐含

4、周期性可得到 这样，就将N点DFT的计算分解为计算两个N/2点离散傅里 叶变换X1(k)和X2(k)，再计算式(3.4.7)。,(3.4.7),(3.4.4),(3.4.5),(3.4.6),9,蝶形图,蝶形图及运算功能,8点DFT一次时域抽取分解运算流图,10,运算量讨论,两个N/2点DFT、N/2个蝶形 N/2点DFT (N/2)2次复数乘法 (N/2-1)(N/2)次复数加法 蝶形 1次复数乘法和两次复数加法,可见,经过一次抽取分解,当N1时，N点DFT运算量近似下降一半。,11,8点DIT-FFT运算流图 N=8,12,2. DIT-FFT的运算效率,DIT-FFT与DFT所需乘法次数

5、比较曲线,13,由8点DIT-FFT运算流图可见，N=2M时，其DIT-FFT运算流图 由M级蝶形构成，每级有N/2个蝶形。因此，每级需要N/2 次复数乘法运算和N次复数加法运算，M级蝶形所需复数乘 法次数CM(2)和复数加法次数CA(2)分别为 直接计算N点DFT的复数乘法次数为N2，复数加法次数为(N- 1)N。当N1时，N2/CM(2) 1，所以N越大，DIT-FFT运算 效率越高。DIT-FFT算法与DFT所需乘法次数与N的关系曲 线见前页图示。,14,例如 N=210=1024时，DIT-FFT的运算效率为 而当N =211=2048时有,DFT的乘法次数 DIT-FFT的乘法次数,

6、15,3. DIT-FFT的运算规律及编程思想 （1）原位计算 （2）旋转因子的变化规律 （3）蝶形运算规律 （4）序列的倒序 （5）编程思想,16,（1）原位计算 N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个 蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数 据节点又同在一条水平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数 据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这样，经过M级运算后，原 来存放输入序列数据的N个存储单元(A(0),A(1),A(N-1)中便依次存放 X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方 法称为原

7、位（址）计算。 节约内存单元，降低设备成本,17,（2）旋转因子的变化规律 N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶 形都要乘以因子，称其为旋转因子，p称为旋转因子的 指数。由于各级的旋转因子和循环方式都有所不同。为 了编写计算程序，应先找出旋转因子 与运算级数的 关系。用L表示从左到右的运算级数（L=1,2,M）。,18,由8点DIT-FFT运算流图可以发现，第L级共有2L-1个 不同的旋转因子。 N=23=8时的各级旋转因子表示如下: L=1时 L=2时 L=3时 对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为,这样，就可按上面两个式子确定第L级运算的旋转因子。 实际编程序时，

8、L为最外层循环变量,19,（3）蝶形运算规律 设序列x(n)经时域抽选（倒序）后，存入数组A中。 如果蝶形运算的两个输入数据相距B(B=2L-1)个点，应用 原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式: 式中 下标L表示第L级运算，AL(J)则表示第L级运算后数组元素 A(J)的值（即第L级蝶形的输出数据）。而AL-1(J)表示第 L级运算前A(J)的值（即第L级蝶形的输入数据）。,一般来说，复数运算要转成实数运算,20,（4）序列的倒序 DIT-FFT算法的输出X(k)为自然顺序，但为了适应原位计 算，其输入序列不是按x(n)的自然顺序排序，这种经过M-1次 偶奇抽选后的排序称为序列x(n)的倒序

9、（倒位）。 因此，在运算之前应先对序列x(n)进行倒序。,21,不按顺序排列,按顺序输出,22,（5）编程思想 先从输入端（第1级）开始，逐级进行，共进行M级运算。在进 行第L级运算时，依次求出B=2L-1个不同的旋转因子，每求出一 个旋转因子，就计算完它对应的所有2M-L个蝶形。这样，我们可 用三重循环程序实现DIT-FFT运算。,23,蝶形运算的两个输入数据相距B(B=2L-1)个点,24,思考 对于N=8，一共有几级运算？ 每一级一共有多少个蝶形？ 每一级运算各有几个不同的旋转因子？ 每一级的每一个旋转因子用在几个蝶形上？ N=16呢？,25,4. IDFT的高效算法 上述FFT算法流图

10、也可以用于IDFT。比较DFT和IDFT的运算 公式: 只要将DFT运算式中的因子 改为 ，最后乘以 1/N，就是IDFT的运算公式。所以，只要将上述的DIT-FFT 算法中的旋转因子改为 ，最后的输出再乘以1/N，就 可以用来计算IDFT。 如果流图的输入是X(k)，则输出就是x(n)。,26,我们还可以直接调用FFT子程序计算IFFT ： 由于 对上式两边同时取共轭，得到 这样，可以先将X(k)取共轭，然后直接调用FFT子程序， 或者送入FFT专用硬件设备进行FFT运算，最后对FFT结果 取共轭并乘以1/N得到序列x(n)。,27,写出直接调用FFT程序计算IFFT的算法 1 将X(k)取共轭 2 调用FFT 3 对结果取共轭 4 上一步的结果乘以1/N，就得到了x(n),28,%1 2 3 4 5 6 7 8的fft就是Xk Xk=36.0000 -4.0000+9.6569i -4.0000+4.0000i -4.0000+1.6569i -4.0000 . -4.0000-1.6569i -4.0000-4.0000i -4.0000- 9.6569i; N=length(Xk); Xk=conj(Xk); XN=fft(Xk); XN=conj(XN); XN=XN/N,