工程矩阵理论(-矩阵的广义逆).ppt

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1、主讲: 张小向,工程矩阵理论,东南大学硕士研究生学位课程,第六章 矩阵的广义逆,第一节 广义逆及其性质 第二节 A+的求法 第三节 广义逆的一个 应用,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,6.1 广义逆及其性质,一. Penrose方程与MP-逆,定义6.1.1,Penrose方程,设A sn.,若存在G ns满足,(1) AGA = A; (2) GAG = G; (3) (AG)H = AG; (4) (GA)H = GA, 则称G为A的广义逆 (或Moore-Penrose逆, 简称MP-逆).,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,二. 存在性与唯一性,定理6.1.1

2、,设A sn, 则A有唯一的广义逆.,证明:,(存在性),根据定理4.2.6 (奇值分解), 存在酉矩阵U与V使得,1, , r 0为AHA的特征值.,则可直接验证G为A的广义逆.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,设X, Y满足 (1) AXA = A = AYA; (2) XAX = X, YAY = Y; (3) (AX)H = AX, (AY)H = AY; (4) (XA)H = XA, (YA)H = YA, 则X = XAX,= X(AX)H,= XXHAH,= XXH(AYA)H,= XXHAH(AY)H,= X(AX)H(AY)H,= XAXAY,= XAY,=

3、XAYAY,= (XA)H(YA)HY,= (YAXA)HY,= (YA)HY,= YAY,= Y.,(唯一性),第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,注:,A的广义逆记为A+.,例1,(1) 若A为可逆阵, 则A+ = A1. (2) O+ = OT.,例2,(1),(2),= (A+, O),(A, O)+,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,1 1 0 0,例3,设A = , 求A+.,解:,令B = (1, 1),则,BB+B = B,= (1, 1),(x+y)(1, 1) =,(B+B)H = B+B,由此可得x = y = 1/2.,A+ =,= (B+, O)

4、,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,定理6.1.2,设A sn, 则,(1) (A+)+ = A; (2) (AH)+ = (A+)H; (3) (AT)+ = (A+)T; (4) (kA)+ = k+A+,三. A+的性质,其中k ,k1, k 0, 0, k = 0;,证明:,根据Penrose方程直接验证.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(5) AH = AHAA+ = A+AAH; (6) (AHA)+ = A+(AH)+, (AAH)+ = (AH)+A+;,证明:,(5) AHAA+ = AH(AA+)H = (AA+A)H = AH. A+AAH =

5、 (A+A)HAH = (AA+A)H = AH. (6) 利用定理4.2.6(奇值分解),或根据Penrose方程直接验证.,(AHA)A+(AH)+(AHA) = AHAA+(A+)HAHA,= AHAA+AA+A,= AHAA+(AA+)HA,= AHAA+A,= AHA;,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,A+(AH)+(AHA)A+(AH)+ = A+(A+)HAHAA+(AH)+,= A+AA+AA+(AH)+,= A+(AA+)HAA+(AH)+,= A+AA+(AH)+,= A+(AH)+;,(AHA)A+(AH)+H = (AH)+H(A+)HAH(AH)H,=

6、A+(AA+)HA,= A+(A+)HAHA,= (A+A)H,= A+(AA+)AH,= A+AA+A,= A+A,= AH(AA+)H(A+)H,= AHAA+(A+)H,= (AHA)A+(AH)+;,A+(AH)+(AHA)H = AH(AH)H(AH)+H(A+)H,= AH(AA+)H(A+)H,= AHAA+(A+)H,= (A+A)H,= A+(AA+)A,= A+(AA+)AH,= A+(AA+)HA,= A+(A+)HAHA,= A+(AH)+(AHA).,= A+A,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(7) A+ = (AHA)+AH = AH(AAH)+;

7、(8) (UAV)+ = VHA+UH, 其中U, V为酉矩阵; (9) A+AB = A+AC AB = AC.,证明:,(7) (AHA)+AH = A+(AH)+AH = A+(A+)HAH,= A+AA+,= A+(AA+)H,= A+.,AH(AAH)+ = AH(AH)+A+ = AH(A+)HA+ = ,(8) 利用定理4.2.6 (奇值分解), (9)() A+AB = A+AC, AB = AA+AB = AA+AC = AC.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,证明:,X R(A),定理6.1.3,设A sn, 则,(1) AA+X =,X, X R(A), 0

8、, X K(AH);, Y n s.t. X = AY, AA+X = AA+AY = AY = X.,X K(AH), AHX = 0, AA+X = (AA+)HX,= (A+)HAHX,= 0.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(2) A+AX =,X, X R(AH), 0, X K(A);,证明:,X R(AH), Y s s.t. X = AHY, A+AX = A+AAHY,X K(A), AX = 0, A+AX = 0.,= (A+A)HAHY = (AA+A)HY = AHY = X.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(3) R(A) = R(A

9、A+) = R(AAH) = K(IAA+);,证明:,X R(A), Y n s.t. X = AY, X = AA+AY R(AA+),可见R(A) R(AA+),X R(AA+), Y s s.t. X = AA+Y, X R(A),可见R(AA+) R(A),综合上述两个方面可得R(A) = R(AA+).,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,又因为 dimR(AAH) = r(AAH),可见R(AAH) = R(A).,X R(AAH), Y s s.t. X = AAHY, X R(A),可见R(AAH) R(A),= r(A),= dimR(A).,第六章 矩阵的广义逆

10、,6.1 广义逆及其性质,X R(A), X = AA+X (IAA+)X = 0 X K(IAA+),可见R(A) K(IAA+),X K(IAA+), (IAA+)X = 0 X = AA+X R(A),可见K(IAA+) R(A),综合上述两个方面可得R(A) = K(IAA+).,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(4) R(A+) = R(A+A) = R(AH) = R(AHA),证明:,用A+替换(3)中的A得 R(A+) = R(A+A) = RA+(A+)H,= K(IA+A);,= K(IA+A).,用AH替换(3)中的A得 R(AH) = RAH(AH)+ =

11、 R(AHA). 同时有 RAH(AH)+ = R(A+A)H = R(A+A).,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(5) R(A) = R(IAA+) = K(AA+) = K(AH),证明:,对(3)中的每一项取正交补得 R(A) = R(AA+) = K(AA+) = R(IAA+), R(A) = R(AAH) = K(AAH). 在2.2中已经得到R(A) = K(AH). 最后由 K(A+) K(AA+) K(A+AA+) = K(A+) 可得 K(A+) = K(AA+).,= K(A+) = K(AAH);,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,(6) R

12、(A+) = R(IA+A) = K(A+A),证明:,用A+替换(5)中的A得 R(A+) = R(IA+A) = K(A+A) = K(A). 又因为K(A) K(AHA)而且 dimK(A) = n r(A) = n r(AHA) = dimK(A+A), 故K(A) = K(AHA). 在2.2中已经得到R(AH) = K(A).,= K(A) = K(AHA) = R(AH);,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,定理6.1.4,AGX =,X, X R(A), 0, X R(A);,设A sn, G ns,则G = A+的充要条件为,GAX =,X, X R(G), 0,

13、 X R(G).,以及,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,证明: (),X R(A), Y n s.t. X = AY, AGX = AGAY,X R(A) = K(AH) AGX = (AG)HX = GHAHX = 0. 这就证明了,= AY = X.,AGX =,X, X R(A), 0, X R(A);,GAX =,X, X R(G), 0, X R(G).,类似地, 可以证明,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,() 对于e1 = (1, 0, , 0)T, e2 = (0, 1, , 0)T, en = (0, 0, , 1)T, 有Aei R(A), i =

14、 1, 2, , n, 故AGA = AGA(e1, , en),= (AGAe1, , AGAen) = (Ae1, , Aen) = A(e1, , en) = A,类似地, 可以证明GAG = G. 下面证明AG为Hermite阵, 即(AG)H = AG.,第六章 矩阵的广义逆,6.1 广义逆及其性质,事实上, s = R(A)R(A).,分别取R(A)和R(A)的标准正交基 X1, , Xr和Xr+1, , Xs , 则,令P = (X1, , Xs), 则P1 = PH,类似地, 可以证明GA为Hermite阵.,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,6.2 A+的求法,一.

15、利用矩阵的满秩分解,定理6.2.1,设A sn, r(A) = r 1.,若A = BC为A的满秩分解, 则A+ = CH(CCH)1(BHB)1BH. 特别地, 若r(A) = n, 则A+ = (AHA)1AH. 若r(A) = s, 则A+ = AH(AAH)1.,证明:,直接代入Penrose方程加以验证.,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,1 2 3 2 4 6,例1,设A = , 求A+.,解:,C = (1, 2, 3),则A = BC为A的满秩分解,BHB = 5,(BHB)1 = 1/5,CCH = 14,(CCH)1 = 1/14,A+ = CH(CCH)1(BHB

16、)1BH,根据定理6.2.1可知,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,二. 利用R(AH)和K(AH)的基,定理6.2.2,设A sn, r(A) = r 1.,若X1, , Xr为R(AH)的一组基, Yr+1, , Ys为K(AH)的一组基, 令B = (X1, , Xr, 0, , 0)ns, C = (AX1, , AXr, Yr+1, , Ys), 则A+ = BC1.,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,证明:,根据定理6.1.3(5)和(2)可知,A+Yj = 0 ( j = r+1, , s), A+AXi = Xi (i = 1, , r). 于是有 A+C =

17、A+(AX1, , AXr , Yr+1, , Ys) = (X1, , Xr , 0, , 0)ns = B. 注意到 r(AX1, , AXr) r(A+AX1, , A+AXr) = r(X1, , Xr) = r, 可见AX1, , AXr构成R(A)的一组基.,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,又因为 s = R(A)K(AH),故AX1, , AXr, Yr+1, , Ys构成 s的一组基.,因而C = (AX1, , AXr, Yr+1, , Ys)可逆, 于是由A+C = B得A+ = BC1.,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,例2,设A = , 求A+.,解

18、:,B = (X1, X2) = AH,1 1 2 2 1 3,为R(AH)的一组基,K(AH) = 0,取法不唯一,第六章 矩阵的广义逆,6.2 A+的求法,例3,设M = , 其中A = ,解:,A O O B,1 1 2 2 1 3,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,6.3 广义逆的一个应用,一. 最小二乘解的概念,定义6.3.1,设A sn,b s.,若X0 n 满足,则称X = X0为方程组AX = b的最小 二乘解.,|AX0b|2 = min|AXb|2 | X n,AX = b的最小二乘解中,长度最小的叫做极小最小二乘解.,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一

19、个应用,二. 正规方程,r(AHA) = r(A),= r(AH),r(AH(A, b) r(AH),r(AHA, AHb) =,r(AHA, AHb) r(AHA),r(AHA) ,r(AHA, AHb) = r(AHA), AHAx = AHb有解,Ax = b的正规方程,定理6.3.1,设A sn,b s,则TFAE:,(1) X0是AX = b的最小二乘解; (2) AX0 b R(A); (3) AHAX0 = AHb.,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,证明:,所以b可以唯一地分解为,因为 s = R(A)R(A),b = AY0 + (b AY0),其中AY0 R(

20、A), b AY0 R(A).,于是对于任意的X n, 有,由此可见,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,(1) X0是AX = b的最小二乘解 |AX0 b|2 = |AY0 b|2 |AX0 AY0|2 = 0 AX0 = AY0 (2) AX0 b = AY0 b R(A). (2) AX0 b R(A) AX0 = AY0 (1) X0是AX = b的最小二乘解. (2) AX0 b R(A) AX0 b K(AH) AH(AX0 b) = 0 (3) AHAX0 = AHb.,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,三. 最小二乘解的表达式,定理6.3.2,设A

21、sn,则AX = b的最小二乘解的通式为,X = A+b + (IA+A)Y (Y n),其中X = A+b是AX = b的唯一的 极小最小二乘解.,b s,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,(2) 根据定理6.1.3(6),故(IA+A)Y (Y n),K(AHA) = R(IA+A),所以AX = b的最小二乘解的通式为,X = A+b + (IA+A)Y (Y n),证明:,(1) A+b是AHAx = AHb的解.,事实上, 根据定理6.1.2(5), AHAA+ = AH, 故AHAA+b = AHb.,是AHAx = 0的通解.,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,(3) 根据定理6.1.3(6),R(IA+A) = R(A+).,因为A+b R(A+),所以,(IA+A)Y R(IA+A),其中等号成立当且仅当(IA+A)Y = 0.,可见X = A+b是AX = b的唯一的极小最小 二乘解.,第六章 矩阵的广义逆,6.3 广义逆的一个应用,注:,设A sn,则AX = b的最小二乘解就是AX = b的解,X = A+b + (IA+A)Y (Y n).,此时, AX = b的通解为,若AX = b有解,b s.,