弹性力学讲义.ppt

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1、第七章 空间问题的基本理论,例题,第五节 轴对称问题的基本方程,第四节 几何方程及物理方程,第三节 主应力 最大与最小的应力,第二节 物体内任一点的应力状态,第一节 平衡微分方程,习题的提示和答案,教学参考资料,第七章 空间问题的基本理论,在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。,空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。,取出微小的平行六面体，,考虑其平衡条件:,(a),(b),平衡条件,7-1 平微分方程,由x 轴向投影的平衡微分方程 ,平衡微分方程,得,因 x , y

2、, z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。,由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，,，,。,(x, y , z) (d),空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量,平衡微分方程,思考题,在图中，若点o的x向正应力分量为 ，试表示点A , B的正应力分量。,在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 ，来求出斜面(法线 ）上的应力。,斜面应力,7-2 物体内任一点的应力,斜面全应力p可表示为两种分量形式：,p沿坐标向分量:,p沿法向和切向分量:,斜面应力,取出如图的包含斜面的微分四

3、面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。,由四面体的平衡条件 ，得出坐标向的应力分量,1. 求,2. 求,将,向法向 投影，即得,从式(b)、(c )可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。,设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间问题的应力边界条件:,3. 在 上的应力边界条件,应力边界条件,式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；,注意:,式(d)只用于 边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力

4、之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。,1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上,斜面上沿坐标向的应力分量为 代入 , 得到,斜面应力,7-3 主应力 最大与最小的应力,考虑方向余弦关系式,有,式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。,(b),2. 求主应力,将式(a)改写为,求主应力,上式是求解l , m , n的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得,展开，即得求主应力的方程,求主应力,( c ),求主应力,3.应力主向,设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得,应力主向,由上两式解出 。然后由式(b)得出,应

5、力主向,再求出 及 。,4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力,（证明见书上）。,5.应力不变量,若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为，,因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出,应力不变量,(g),应力不变量,分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。,式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的； 而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。,6.关于一点应力状态的结论：,六个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要六个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求

6、出。,(2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及 主应力。,一点应力状态,(3) 三个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。,（4）一点存在三个应力不变量,（5）最大和最小切应力为 ， 作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。,设,思考题,1.试考虑：对于平面问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,2. 试考虑：对于空间问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：,(a),几何方程,7-4 几何方程及物理方程,从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：, 若位

7、移确定，则形变完全确定。,几何方程,从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。,沿x , y , z 向的刚体平移；, 若形变确定，则位移不完全确定。,由形变求位移，要通过积分，会出现待 定的函数。若 ，还存在对应的位移分量为,(b),几何方程,绕x , y , z轴的刚体转动角度。,若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为,( c ),位移边界条件,(d),其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。,体积应变,体积应变定义为,空间问题的物理方程 可表示为两种形式：, 应变用应力表示，用于按位移求解方法：,( x ,y ,z ) (e),物理方程, 应力用应

8、变表示，用于按应力求解方法：,(x ,y , z) ( f ),由物理方程可以导出,（g）,是第一应力不变量，又称为体积应力。, 称为体积模量。,结论： 空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。,结论,思考题,若形变分量为零， 试导出对应的位移分量（7-17）。,空间轴对称问题,采用柱坐标表示,轴对称问题,如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。,7-5 轴对称问题的基本方程,对于空间轴对称问题： 所

9、有物理量仅为(,z)的函数。,应力中只有,(a),形变中只有,位移中只有,轴对称问题,而由,得出为 。,平衡微分方程：,几何方程：,其中,几何方程为,物理方程：,应变用应力表示：,(d),应力用应变表示：,其中,边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。,在柱坐标中，坐标分量 的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。,思考题,试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。,第七章例题,例题1,例题2,例题3,例题,例题 1,设物体的边界面方程为,F（x, y, z) = 0 ,试求出边界面的应力边界条件；若面力

10、为法向的分布拉力q(x, y, z), 应力边界条件是什么形式？,（x, y, z),其中,解：当物体的边界面方程为F（x, y, z) = 0 时，它的表面法线的方向余弦 为,当面力为法向分布拉力q时，,(x, y, z),因此，应力边界条件为,代入应力边界条件，得,(x, y, z),例题 2 试求图示弹性体中的应力分量， (a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。,q,q,o,o,x,x,z,z,图7-4,解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即

11、等。 对于(a)，有约束条件，；对于(b)，有对称条件。而两者的，因此，由物理方程，,即可解出,例题 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。,x,y,o,b,b,a,a,z,图7-5,P,解：本题是空间问题，z=0的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是给定的， 因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；,而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正

12、负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。,对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括六个条件。对于图示问题这六个积分的边界条件是：,7-1 答案,7-2 提示： 原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。,7-3 见本书的叙述。,第七章 习题的提示和答案,7-4 空间轴对称问题比平面轴对称问题 增加了一些应力、形变和位移，应 考虑它们在导出方程时的贡献。,7-5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全 部应力、形变和位移分量都存在，且 它们均为 的函数。在列方程时 应考虑它们的贡献。,(一)本章学习的重点及要

13、求,1. 研究弹性力学问题,可以从一般问题到特殊问题,如从空间问题到平面问题。也可以由特殊问题到一般问题。本书就是先研究平面问题，然后再研究空间问题的。这样可以由浅入深，循序渐进，便于理解。,第七章 教学参考资料,弹性力学中的各种问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。,2. 直角坐标系(x,y,z)中一般的空间问题，包含有15个未知函数（6个应力分量，6个应变分量及3个位移分量），且它们均为三个坐标变量(x,y,z)的函数。区域内的基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。在边界上的应力边

14、界条件或位移边界条件均为3个。这些,方程和边界条件当然可以根据有关条件导出，但也可以从平面问题推广而来。,3.在柱坐标系 中的空间轴对称问题，也可以看成是平面轴对称问题的推广。空间轴对称问题包含有十个未知函数（4个应力分量，4个应变分量及2个位移分量）,它们都是 的函数。在空间轴对称问题中，区域内共有十个基本方程（2个平衡微分方程，4个几何方程及4个物理方程），在边界上个有两个应力或位移边界条件。,(二）本章内容提要,1. 直角坐标系(x,y,z)中的一般空间问题，其基本方程及边界条件具有对等性，可将下标、导数和物理量等按（ x,y,z ）轮换的方式得出其余表达式。,平衡微分方程，,几何方程，,物理方程：（1）应变用应力表示，,（2）应力用应变表示，,。,应力边界条件，,（在 上 ）,位移边界条件，,。,（在 上 ）,2. 一点的应力状态,斜面应力，,3. 柱坐标系（ ）中的空间轴对称问题（ 不具有对称性）,平衡微分方程，,几何方程,物理方程：（1）应变用应力表示，,（2）应变用应力表示，,