微积分(不定积分).ppt

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1、第四章 不定积分,不定积分的概念和性质 基本积分公式 换元积分法 分部积分,微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上 学期我们已经学习了微分学，即已知一个函数 ，如 何求出其导数 的问题。本章我们开始学习微分的 反运算，亦即已知一个函数的导数 ，如何求出 的问题，这一过程称为积分。,例如，已知某工厂生产 单位某种产品的边际成本为,求总成本函数,这个问题就是求 的积分的过程,4-1 不定积分的概念和性质,又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的一个原函数.,定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x

2、) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.,1 原函数的概念,例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.,(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个,(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在,例如,在 上 是 的原函数,也是它的原函数,即 加任意常数都是 的原函数.,(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,而,注:,定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数， 那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任

3、意常数)称为 f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作,其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称 为被积表达式，x 称为积分变量，C为积分常数.,即,2.不定积分的概念,注意：不定积分为全体原函数F(x) C,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,3 不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算.,特别地，有,4 不定积分的性质,性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,例4 求,解,注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意

4、 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可,4-2 基本积分公式,基本积分公式,练习：计算下列积分,解,(3),例5 某公司测定出生产 件某种产品的边际成本 为,求总成本函数,解：,应用积分来求成本函数,解,例6 求,例7求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果,练习：计算下列积分,解,(3),作业：P138 1，（3）（8）（12）,作业：计算下列积分,解,(3),4-3 换元积分法,换元积分法,直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，

5、需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。,在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,说明结果正确,定理1,设,该公式称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法,凑微分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑

6、微分；换元求出积分；回代原变量,应用定理1求不定积分的步骤为,微分的基本公式：,例1 求,解,一般地,例2 求,解,已知某公司出售现x单位产品的边际利润函数是,求总利润函数.,例3,解：由不定积分的性质可知,练习：求下列不定积分,解,解,解,例4,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,练习：求下列不定积分,解,解,解,解,解,(1),(2),(3),(4),(5),事实上 ，凑微分就是把中间变量省略，从而简化计算,过程，这种方法需要一定的技巧，请同学们熟识下列公式,(6),(7),(8),(9),(10),(11),问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即

7、可求出结果）,二、第二类换元法,例8 求,解,令,例9 求,解,令,例10 求,解,令,练习：求下列不定积分,解,令,解,令,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,（三角代换很繁琐）,解,令,说明(3),当分母的次数较高时, 可采用倒代换,例12 求,解,令,例13 求,解,令,练习：求下列不定积分,解,令,解,令,（分母的阶较高）,解,令,基本积分表 ,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（

8、二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),4-4 分部积分法,分部积分法,前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,注：,分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置,分部积分公式的作用：,容易求得,利用分部积分公式化难为易,例1 求积分,解,显然， 选择不当，积分更难进行.,求得，,当左边的积分 不易,而右边的积分,令,解,令,分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u, v 一般来说， u

9、, v 选取的原则是：,（1）积分容易者选为v,（2）求导简单者选为u,用来求v,用来求du,例2 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为,练习：求下列不定积分,解,解,（再次使用分部积分法）,例3 求积分,解,令,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例4 求积分,解,总结,目的、宗旨只有一个：容易积分,解,例5 求积分,例6 求积分,解,注：本题也可令,分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C,练习：求下列不定积分,解,解,解,