微积分上深刻复习下.ppt

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1、,总 复 习,1.多元函数的导数,设二元函数 则因变量对某一个变量的偏 导是将其余变量视为常量的导数.,例1 设 求,解 由定义得,一、多元微分,例2 设 求,解 由复合函数的导数公式, 得,在偏导计算过程中, 要注意的是如何按定义计算函数 在一点的导数.,例3 求函数,的偏导.,解 当 时,当 时,同理:,2.高阶偏导,由于偏导本质上是一元函数的导数, 故偏导函数仍然是 多元函数, 由此可以定义高阶导数. 对二元函数 高阶导数为,例4 设 求二阶偏导.,解 由例2, 知,所以,在上例中看到, 在二阶偏导连续的条件下,有,3.全微分,定义 对函数 对自变量的增量 相应的因变量的全增量为,若全增

2、量具有表达式,其中 则称函数为可微的, 相应的微 分记为,可微的条件,微分计算公式,若函数有连续偏导, 则,例5 设 求,解 由例2知,故,例6 讨论例3中的函数在原点的可微分性.,解 由例3知, 从而有,由此得,即有函数在原点可微分, 且有,4.复合函数的导数,设二元复合函数 其中函数 均有所需要的各阶偏导数, 则,例7 设 求,解 令 则,由导数公式,例8 设 其中 为 类函数, 求二阶偏导.,解 令 则,所以,5.隐函数的导数,一个方程确定的隐函数,隐函数存在定理 若函数 满足 函数有对各个变量的连续偏导数; 则在点 的某一邻域, 由方程 可 确定一个 类函数 且有,例9 设二元函数 由

3、方程 确 定, 求,解 令 则,故有公式,方程组确定的隐函数,隐函数存在定理 设四元函数 满足,函数对各个变量具有连续的偏导, ,则方程组 在点 的某个邻,域内能唯一地确定一组 函数组 满足条,件 并有相应的导数公 式.,例10 设方程 确定隐函数,求,解 方程两边对 求导, 则有,上式的第二式乘 再两式相减得,从而有 由对称性得,二、多元微分的应用,1.几何应用,曲线的切线与法平面方程,设曲线由参数方程给出:,点 则曲线在该点处的切线和法平 面方程为,切线,法平面,若曲线有一般方程给出, 则切线可视为两切平面的交线.,曲面的切平面与法线,设曲面方程为 点 则切平面方程与法线方程为,切平面,法

4、线,例11 在曲线 上, 求与平面 平行的切线.,解 设切点所对应的参数值为 故相应的切向量为 由已知条件得切向量与平面的法向垂直, 即有,即,故切点为 和 切向量为,和 相应的切线方程为,和,例12 设椭球面 上某点处的切平面 过已知直线 求平面的方程.,解 设切点为,例13 求球面 与椭球面,的交线对应于 的交点的,切线方程和法平面方程.,二元函数的极值,设二元函数 为 蕾类函数, 求极值.,1.求函数的一阶和二阶偏导;,2.令 求函数的所有驻点;,3.对函数的所有驻点, 计算 的符号, 若,极小值,极大值,非极值,例14 设 由 确定, 求函数的极值.,解 方程两边求导, 得,令 则有方

5、程组,解此方程组, 得 再代入原方程, 有驻点 在上面两个方程中, 继续求导, 得,对上述驻点, 解此方程组, 并注意到一阶偏导为零, 有,此时 所以 是,的极小值点, 极小值为,此时 所以 是,的极大值点, 极大值为,条件极值,问题 求函数 在条件 下 的极值.,方法 1.构造函数,2.解方程组,3.对方程的解进行讨论.,例15 求椭圆 的长半轴和短半轴之 长.,解 椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短 距离. 故作函数,相应的方程组为,由条件容易知道: 于是有,令 即有,解之得 再代入曲线方程, 得,故两半轴之长分别为,二、重积分,1.二重积分的计算,在直角坐标下的计算,在极坐标下

6、的计算,一般坐标变换,例16 计算积分,解 积分区域如图. 因被积函数的原函数不是初等函数, 故不能直接积分. 首先交换积分次序:,例17 计算积分 其中 由双曲线,及直线 围成的平面区域.,解,例18 计算积分 其中,解,2.三重积分的计算,在直角坐标下三重积分的计算,先1后2的积分:,先2后1的积分,利用柱面坐标计算三重积分,利用球面坐标计算三重积分,例18 计算积分 其中 由,绕 轴旋转一周所成的曲面再与 所围成的立体.,解1,所以, 积分,解2 利用柱面坐标,例19 计算积分 其中 是由曲面,及 所围成的区域.,解 利用球面坐标,3.重积分的应用,曲面面积 设空间曲面 则曲面的面积为,

7、空间立体的质量与重心坐标的计算: 设空间几何形 体 密度函数为 则质量 和重心坐标 分别为,三、曲线积分与曲面积分,1.曲线积分,第一类曲线积分,计算方法: 若,则有,第二类曲线积分,计算方法 若,则有,例20 求积分 其中,解,例21 求八分之一的球面 的边界曲线的重心（ ）.,解 曲线弧的质量为,设中心坐标为 则,由对称性知 即重心坐标为,例22 求,其中 取逆时针方向.,解 由积分公式得,所以, 原积分为,2.曲面积分,第一类曲面积分,计算方法:,第二类曲面积分,积分方法:,其中, 上侧取正, 下侧取负.,例22 设 为椭球面 的上半部分, 点,为 在点 处的切平面, 为点,到平面的距离

8、, 求,解 由条件知切平面方程为,则,因曲面方程为 所以,因而,例23 计算积分 其中 为,上半球面 取上侧.,解,所以,三个重要公式,格林公式,并且曲线积分与路径无关,高斯公式,斯托克斯公式,例24 设函数 在 平面上有一阶连续偏导数,曲线积分 与路径无关, 且对任意 恒有,求,解 由曲线积分与路径无关的条件, 得,故,又,两边求导, 得,故 即,例25 求,其中 为正的常数, 为从点 沿 到点 的一段弧.,解 添加弧段 因,由格林公式,所以,例26 计算积分,其中 取上侧.,解 作辅助曲面 并取下侧, 则,所以,例28 求 其中,解 作 取下侧, 则,其法向与 轴的正向夹角为锐角.,所以,

9、而,由此得到,例29 求 其中,是曲线 从 轴正向看是顺时针方向.,解 取曲面为平面 被柱面所割下部分, 并 取下侧, 则有,四、无穷级数,1.数项级数,设级数 部分和 若,则级数是收敛的, 且,正项级数,正项级数收敛性的判定,比较判别法及极限形式;,比值判别法;,根值法.,交错级数,交错级数收敛性判定定理.,绝对收敛性,例30 讨论级数 的收敛性.,解 因,故级数收敛.,例31 讨论级数 的收敛性.,解 因,又,所以级数 绝对收敛.,例32 讨论级数 的收敛性.,解 因,考虑级数 显然有,又,从而级数 收敛, 又 发散, 故原级数,发散.,例33 讨论级数 的收敛性.,解 令,又,故原级数条

10、件收敛.,2.幂级数,求幂级数的收敛半径,比值法 设幂级数 则收敛半径为,根值法,泰勒级数和麦克劳林级数,基本展开式,函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数,求和函数.,例34 求幂级数 的收敛域和和函数.,解 容易得到收敛域为 在收敛范围中令和函数 为 即,所以,由此得到,例35 求 的收敛域及和函数.,解 容易得到收敛域为 令和函数为 则,例36 将函数 展开成 及 的 幂级数.,解 因,又,故,所以,例37 将函数,展开成 的幂级数.,解 因,所以,两边积分, 得,例38 求 的收敛区间及和函数.,解 利用比值法直接求出相应的收敛半径. 因,故当 级数收敛, 当 时级数发散, 所 以收敛区间为 .在端点处, 级数收敛. 令,则,两端求导后得,3.傅立叶级数,将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数,其中,将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数,正弦级数与余弦级数,例39 将函数 展开成周期为 2的傅立叶级数.,解 注意到函数为偶函数, 且满足收敛条件.,所以,