聚类分析(数学建模).ppt

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1、聚类分析,分类,俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项指标来分类。,一、聚类分析的基本概念,研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。 聚类分析把分类对象按一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。 职能是建立一种能按照样品或变量的相

2、似程度进行分类的方法。,聚类分析,对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。 比如学生成绩数据就可以对学生按照理科或文科成绩（或者综合考虑各科成绩）分类， 当然，并不一定事先假定有多少类，完全可以按照数据本身的规律来分类。 本章要介绍的分类的方法称为聚类分析（cluster analysis）。对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为Q型聚类。这两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。,聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。于是根据一批样本的

3、多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。,饮料数据（drink.sav ）,16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量,如何度量远近？,如果想要对100个学生进行分类，如果仅仅知道他们的数学成绩，则只好按照数学成绩

4、来分类；这些成绩在直线上形成100个点。这样就可以把接近的点放到一类。 如果还知道他们的物理成绩，这样数学和物理成绩就形成二维平面上的100个点，也可以按照距离远近来分类。 三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以上的图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中，每种饮料都有四个变量值。这就是四维空间点的问题了。,两个距离概念,按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点之间的距离，一个是类和类之间的距离。 点间距离有很多定义方式。最简单的是歐氏距离，还有其他的距离。 当然还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性等，两点越相似度越大，就相当于距离越短。 由一个点组成的类是最基本的类；如

5、果每一类都由一个点组成，那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一类包含不止一个点，那么就要确定类间距离， 类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点之间的距离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类中最远点之间的距离作为这两类之间的距离；当然也可以用各类的中心之间的距离来作为类间距离。在计算时，各种点间距离和类间距离的选择是通过统计软件的选项实现的。不同的选择的结果会不同，但一般不会差太多。,二、距离,用 表示第i个样本与第j个样本之间的距离。一切距离应满足以下条件：,每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成p维空间中的一个点，n个样本就组成p维空间中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n

6、个样本间的接近程度。,常见的距离有：,minkowski distance （明氏距离）：,当 q=1 block distance 绝对值距离:,当 q=2 squared euclidean distance 平方欧式距离,当q= chebychev distance 切比雪夫距离,明氏距离在实际中应用的很多，但也存在一些缺点：,处理办法：标准化,2、指标间的相关问题；,1、量纲的问题；,Mahalanobis 马氏距离,改进的办法，采用马氏距离,相似系数,夹角余弦,相关系数, 夹角余弦 两变量的夹角余弦定义为：, 相关系数 两变量的相关系数定义为：,16,系统聚类方法,1 、最短距离（N

7、earest Neighbor),三、系统聚类法基本步骤,1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义； 2. 计算n个样本两两之间的距离，得到距离矩阵 3. 构造个类，每类只含有一个样本； 4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类； 5. 计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1，则转到步骤6，否则回到步骤4; 6.画出聚类图； 7.决定类的个数和类。,系统聚类分析的方法,系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以及类间距离的定义，类间距离的不同定义就产生了不同的系统聚类分析方法。 以下用dij表示样品X(i)和X(j)之间的距离，当样品间的亲疏关系采用相似系数Cij时，令 ； 以下用D(

8、p,q)表示类Gp和Gq之间的距离。,3.重心法(CENtroid method),4.类平均法(AVErage method),例,为了研究辽宁等5省1991年城镇居民生活消费情况的分布规律，根据调查资料做类型分类，用最短距离做类间分类。数据如下：,将每一个省区视为一个样本，先计算5个省区之间的欧式距离，用D0表示距离矩阵（对称阵，故给出下三角阵） 因此将3.4合并为一类，为类6，替代了3、4两类 类6与剩余的1、2、5之间的距离分别为： d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24

9、.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21,得到新矩阵 合并类6和类5，得到新类7 类7与剩余的1、2之间的距离分别为： d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54,得到新矩阵 合并类1和类2，得到新类8 此时，我们有两个不同的类：类7和类8。 它们的最近距离 d(7,8) =min(d71,d72)=min(12.80,23.54)=12.80,得到矩阵 最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离

10、的系统聚类方法。最长距离法类似！,26,最长距离（Furthest Neighbor ）,27,组间平均连接（Between-group Linkage),28,组内平均连接法（Within-group Linkage),29,重心法（Centroid clustering):均值点的距离,类的个数的确定,由适当的阈值确定； 根据数据点的散布直观地确定类的个数； 根据统计量确定分类个数；,类的个数的确定,根据谱系图确定分类个数的准则： 各类重心间的距离必须很大； 类中保包含的元素不要太多； 类的个数必须符合实际应用； 如果采用几种不同的聚类方法处理，则在各种聚类图中应该发现相同的类。,聚类分析

11、,1、系统聚类法-（分层聚类）系统聚类法是应用最广泛的一种（Hierarchical Cluster过程） 1）、 聚类原则：都是相近的聚为一类，即距离最近或最相似的聚为 一类。 2）、 分层聚类的方法可以用于样本聚类（Q）型，也可以用于变量聚类（R型）。 2、非系统聚类法-（快速聚类法-K-均值聚类法）（K-means Cluster) 3、两步聚类法-一种探索性的聚类方法（TwoStep Cluster）,四、系统聚类的参数选择 聚类类别： 统计 图：树型谱系图 冰柱谱系图 聚类方法 1.Between-groups linkage 类间平均法 两类距离为两类元素两两之间平均平方距离 2.

12、Within-groups linkage 类内平均法 两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离 3.Nearest neighbor 最短距离法 4. Furthest neighbor 最长距离法 5.Centroid clustering 重心法 (欧式距离) 6.Median clustering 中间距离法 (欧式距离) 7.Ward Method 离差平方法 (欧式距离),数据标准化处理：,存储中间过程数据,数据标准化处理，并存储。,指定5类,收敛标准值,存储最终结果输出情况，在数据文件中（QCL-1、QCL-2）,初始聚心选项，输出方差分析表,初始聚类中心表,具体城市看后

13、表,最终聚类中心表,聚类结果：QCL-1说明聚类结果，QCL-2说明聚类的长度情况,主要城市日照时数,注：连续变量,SPSS提供不同类间距离的测量方法 1、组间连接法 2、组内连接法 3、最近距离法 4、最远距离法 5、重心法 6、中位数法 7、Ward最小偏差平方和法,观测量概述表,聚类步骤，与图结合看！,研究各种饮料在市场消费的分配规律，试确定各种饮料消费类型,聚类分析的第几步,哪两个样本或小类聚成一类,相应的样本距离或小类距离,指明是样本(0)还是小类(n),下面第几步用到,垂直冰柱图显示层次聚类分析,从冰柱图最后一行开始观察，第一列表示类数,两步聚类法 TwoStep Cluster,

14、一种探索性的聚类方法，是随着人工智能的发展起来的智能聚类方法中的一种。用于解决海量数据或具有复杂类别结构的聚类分析问题。,两步聚类法特点： 1、同时处理离散变量和连续变量的能力 2、自动选择聚类数 3、通过预先选取样本中的部分数据构建聚类模型 4、可以处理超大样本量的数据,简单介绍基本原理 分两步进行 第一步：预聚类。对记录进行初始的归类，用户自定义最大类别数。通过构建和修改特征树（CT Free）完成。 第二步：正式聚类。对第一步完成的初步聚类进行再聚类并确定最终的聚类方案，系统根据一定的统计标准确定聚类的类别数目。 以后，可以通过传统的聚类方法进行聚类（SPSS中采用合并型分层聚类法）。,输出各变量在聚类中比重图,输出出聚类饼分图,每个变量做一张条图,每一各类别做两张,分别为连续与离散聚类,重要性测度,1、质心表和频数表 2、聚类分析表 3、自动聚类结果表,聚类数目,数值越小效果越好,BIC相邻两项差值,看数据的峰值，看聚类效果。4、8、10、14类。,BIC准则-Schwartz Bayesian Criterion,离散变量频数表的图形表示,连续变量在各个类别中的误差图,