极坐标系(袁志军).ppt

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1、二 极坐标系,2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _对应的.,温故知新,平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系. 有时用别的坐标系比较方便.,还有什么坐标系呢？,1.与角终边相同的角：,=+2k,kZ,一一,思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学 在教学楼处，请回答下列问题： （1）他向东偏北60 方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向东走60米 ！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平

2、面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.,思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样 建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？,1、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点., 从极点O点引一条射线OX，叫做极轴.,再选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.,这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.,O,2、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标，记作M (,) .,特别规定：当点M为极点时，它的极坐标 为_,(0, ),

3、可为任意值.,一般地，不作特殊说明时，认为0， 可取任意实数.,例1、 如图，写出各点的极坐标：,x,A(4,0),E(4.5, ),1,例2、在极坐标系中描下列各点：,x,1,A,B,C,D,E,F,3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.,解:以点A为极点,AB所在 的射线为极轴(单位长 度为1 m),建立极坐标系. 则点A,B,C,D,E的极坐 标分别为, 平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,探究：极坐标系下的点与

4、它的极坐标的对应情况,本题点M的极坐标统一表达式：,极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况,(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M,(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应,原因在于：极角有无数个,一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)都可以作为它的极坐标.,如果限定 0, 02,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 0.,或 ,3.极坐标与直角坐标的互化,1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.,互化关系式,当点不在第一象限

5、内时，是否还成立？ 原理是什么？,互化前提,互化练习,极坐标系与直角坐标系的异同,相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点. 不同点： (x,y)与两坐标轴的距离有关;而(,)与极轴出发的角和极点的距离有关 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合 (x,y)|x、yR一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合 (,)|、R不是一一对应的（(, )与(,+2k )表示同一个点 ） 若规定0，0,2)，可使极坐标与平面内的点一一对应(极点除外),建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个 一

6、点的极坐标有否统一的表达式？ 有，(，2k+) 极坐标与直角坐标的互化,课堂小结,课后思考,A,B,C,D,2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中 的位置如图所示，求这个正六边形各顶点 的极坐标。,解：O(0, 0)，,C(2a, 0),变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点 是A(2, ) ,B(2, ) , 那么顶点C的坐标可能是( ),4、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值.,对于点M（，）负极径时的规定：,1作射线OP，使XOP= ,2在OP的反向延长 线上取一点M， 使OM= ,四、2、负极径的实例,在极坐标系中画出点 M（3，

7、/4）的位置,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3,说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：,四、3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,？,四、4、正、负极径时，点的确定过程比较,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的上取一点M，使OM= 3,画出点 （3，/4） 和（3，/4）,给定,在极坐标系中

8、描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。,四、5、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。,负极径小结：极径变为负，极角增加 。,答：（6， +）,或（6， +）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M（3，/4）的 所有极坐标,1极径是正的时候：,2极径是负的时候：,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1

9、给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标.,如果限定0,02或 ,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,题组三 1. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),3.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ),

10、A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,3一点的极坐标有否统一的表达式？,小结 1建立一个极坐标系需要哪些要素,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数，极径有正有负；极角有无数个。,有。（，2k+）,x,1,A,B,C,D,E,F,若极角取负值，则上例中的A，B，C，D，E，F的极坐标又可以表示为, M,(, ),作射线OP，使xOP=,P,在射线OP的反向延长线上取一点M ，使|OM|=|,当极径0时，点M(, )的位置按如下规则确定：,x,1,3、点的极坐标的表达式的研究,如图：OM的长度为4，,请说出点

11、M的极坐标的表达式？,(, ),(-, +),(, 2k+),(-, +(2k+1),小结,表示同一点的极坐标.,4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应,3如果规定0,02或 -,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,关于极坐标系的进一步思考,直角坐标系中，横坐标为1的点构成怎样的图形？纵坐标为4的点构成怎样的图形？ 极坐标系中，极径为5的点构成怎样的图形？,极角为 的动点A构成怎样的图形？极角为 的动点B构成怎样的图形？,有没有办法让B点的极角为 ？即改变一下方向？,拓展：负极径

12、的定义,在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值.,当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是坐标为 的点.,说出图中当极径取负值时各点的极坐标,完成课本12页13题,关于负极径的深入理解,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”. 而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的，这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”.,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 ，因为负极径只在极少数情况用.,1极径是正的时候：,2极径是负的时候：,以庆阳路为X轴 以静宁路为Y轴.,请问： 去省政府怎么走？,精神病！,从这向北 走1200米.,请问： 去省政府怎么走？,