梁昆淼数学物理方法第3和4章.ppt

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1、第三章 幂级数展开,3.2 幂级数,3.3 泰勒级数展开,3.4 解析沿拓,3.1 复数项级数,3.5 洛朗级数展开,3.6 孤立奇点的分类,称级数,复数项级数和,前n 项和,若,有限,收敛于F,这时,也收敛,3.1 复数项级数,1、 复数项级数,科西收敛判据： (级数收敛必要条件),对于任意 0,有N，使得nN时,p 为任意正整数,绝对收敛：,收敛,2、复变函数项级数,各项都是z 的函数,对于B（或l 上）任意z,给定 0,总有N(z)，使得nN(z) 时,称为级数在B上一致收敛,此时，若每项连续，则和连续,令：,1、比值判别法,3.2 幂级数,讨论幂级数,为以z0 为中心的幂级数,考虑,绝

2、对收敛,发散,绝对收敛,2、根值判别法,发散,绝对收敛,发散,绝对收敛,发散,3、收敛圆与收敛半径,的收敛半径,例：求幂级数,以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称为收敛圆。R为收敛半径,事实上：,解：,收敛圆：以0为圆心半径为1,如,的收敛半径,例：求幂级数,公比为,解：,收敛圆：以0为圆心半径为1,如,的收敛半径,例：求幂级数,解：,定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展开为,其中：,3.3 泰勒级数展开,CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆,证：cauch公式,CR,CR1,而由cauch公式,展开,例：在z0=0邻域上把,公比为,解：

3、,展开,例：在z0=0邻域上把,解：,和,展开,例：在z0=0邻域上把,解：,展开,例：在z0=0邻域上把,展开,例：在z0=1邻域上把,解：,3.4 解析沿拓,比较两个函数：,除 z=1 以外,设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z),和,两者在较小区域等同,b,B,称F(z)为 f(z)的解析沿拓,1、解析沿拓概念,设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一子区域b 中f(z) F(z)，则在整个区域B上必有f(z) F(z)。,2、解析沿拓唯一性概念,3.5 洛朗级数展开,考虑如下幂级数,正幂部分

4、收敛半径为R1,负幂部分，记 =1/( z-z0 ),级数,的收敛圆半径为 1/R2= ,即在 z-z0 = R2圆外收敛圆,在圆环 R2z-z0 R1内绝对一致收敛圆,定理：设f(z)在圆环 R2z-z0 R1内单值解析，则对圆环内的任意z点，f(z)可展开为,其中：,C为圆环内按逆时针方向饶内圆一周的任意闭合曲线,证：由复通区域cauch公式,对于CR2,而,令 k = -(l+1),l = -(k +1),由复通区域cauch定理,上述洛朗级数展开唯一,其中：,或写为,展开,例：在z0=0邻域上把,解：,展开为洛朗级数,例：在 上把,解：,展开为洛朗级数,例：在 上把,解：,只有一个奇点

5、 -1,在z0=1的邻域,可展开为泰勒级数,展开为洛朗级数,例：在 上把,解：,有两个奇点 z=1, z=2,在z0=0 的邻域可在以下三个区域进行洛朗级数展开,（1）,（2）,（3）,展开为洛朗级数,例：在 上把,解：,上两项乘积中，令l=m+n, 有正幂部分zm为,与,的负幂部分z-h( h0), 可令 n=l+h,令 -h=m, n=l,Jm为m阶贝塞尔函数,3.6 孤立奇点的分类,f(z)在某点z0 不可导，而在z0的任意小邻域内处处可导，称z0为f(z)的孤立奇点,f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分,(z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数,若,称

6、z0为f(z)的可去奇点,若,称z0为f(z)的本性奇点,m为z0的阶，一阶极点简称为单极点,第四章 留数定理,4.2 利用留数定理计算实变函数定积分,4.1 留数定理,4.1 留数定理,若l所围区域解析，则,考虑积分,若l所围区域包围一个奇点z0 ，展开f(z)，则,由,(l不包围),(l包围),a-1称为f(z)在 奇点z0的留数,若l所围区域包围n个奇点b1 b2 b3 .， bn , 则,称为留数定理,如何求a-1？,若z0为单极点,若,若z0为f(z)的m阶极点,m阶极点,单极点,留数定理,求 Resf(0),例：,解：,求 Resf(1),例：,解：,的极点，求留数,例：确定函数,

7、解：,例：计算回路积分,解：,被积函数的奇点为,单位圆 z = 1 内的奇点为,4.2 利用留数定理计算实变函数定积分,(1)、无穷积分,若f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk (k=1,2,n) 外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当z 无穷时，zf(z)一致趋于零，则,则,至少高于 两阶,证明：,例：计算积分,解：,上半平面奇点为z0 = i,例：计算积分,解：,被积函数的奇点为,上半平面为n阶极点z0 = i,n为整数,(2)、三角函数有理积分积分,若R(cos, sin)为 cos, sin 的有理函数，且在0，2上连续，则,其中,表示f(z)在单位圆内所有奇点

8、的留数和,证明：,例：计算积分,解：,令,有两个一阶极点,(a1),z1在圆内,例：计算积分,解：,令,(a1),有两个一阶极点,为单极点，在圆内,例：计算积分,解：,令,(a1),有一个奇点z=0,为2n+1阶极点,(3)、含三角函数的无穷积分,其中F(z)为偶数，G(x)为奇数,若f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk (k=1,2,n) 外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当z 无穷时，f(z)一致趋于零，且m0则,证明：,由约定当引理,由约定当引理,z 无穷时，f(z)在包括实轴在内的上半平面中，一致趋于零，则,例：计算积分,解：,有两个一阶极点,上半平面极点 z=ai,例：计算积分,解：,有两个一阶极点,上半平面极点 z=ai,