流体力学(7)动量方程及其应用及动量矩方程1.ppt

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1、本次课主要内容 动量方程式及其应用,一、动量方程能解决运动流体中的什么问题,N-S方程根据牛顿第二定律导出,N-S方程是微分形式，积分可以得到流场中的压强、速度分布，进而得到流体受力F。,很难得到,把牛顿第二定律改写,并用之于具有一定质量的流体质点系，由于各个质点速度不尽相同，故质点系的动量定理为,作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。,由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。,质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉格朗日法表示的动量变化

2、率改换成用欧拉法表示，这样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。,取控制体的时候注意： 控制表面一部分与固体壁面重合，按照作用力与反作用力大小相等方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。,二、用欧拉方法表示的动量方程式 在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,一部分与固体边界重合,（为什么这么选？）,在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度为v, 密度为。在t瞬时的初动量为：,经过t，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+t 瞬时的末动量为：,原来质点系尚留在控制体中的部分及新流入控制体的总动量。,（I）部分通过A1面非原质点系的

3、流入动量,（II）部分通过A2面流出的动量,对于控制体的全部控制面A：,这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况，也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体上加上虚构的惯性力。,动量方程式中，需注意 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体内流体的重力。 2. 控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此项为零。是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。 3. 是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入动量之差，是流出动量与流入动量不等而产

4、生的力。,末动量,初动量,特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。 如图所示，把流线方向取为自然坐标s，取如图控制体，则总控制面上只有A1，A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩情况下，,为0,在三个坐标轴上的投影式为,本书应用的公式,式中 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，,1、受力对象：动量方程式的受力对象是流体质点系。,对于遇到的问题：方程左边的外力一般只包括 (1)管壁对流体的作用力F; (2)截面上流体的表面力p1A1,p2A2。 （3）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略） 对（1）（2）（3）在坐标方向求合力即可 对

5、于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以计算出来。,是外界作用在流体上的力。如果实际问题要求流体对固体的作用力，则相应的应加以负号。,使用时要注意以下几点：,2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公式右边的减号是固定的。,三 、动量方程式的应用（重点）,1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题,1、流体对管道的作用力问题动量方程式的应用之,取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括,假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1,X方向：,管壁对流体的作用力,则，X方向上流体所受合力为,对于y

6、方向同样得到,X方向上流体速度合分量为,表面力:,根据动量定理，得到x方向的动量方程,解方程组得到,这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到,要注意力的方向。,弯管多种多样，下面介绍几个特例,【特例1】直角变径弯管,代入公式,得：,【特例2】直角等径弯管,【特例3】:反向等径弯管,【特例4】逐渐收缩管,【特例5】等径直管,等径直管中流体对管道的作用力FRx实质上就是作用在管壁上的摩擦力，用力FRx处以管壁面积 ,可得管壁上的平均切应力,说明：只有测出相距为L的两断面上的压强差，切应力和摩擦力都可以计算出来 管壁上的摩擦力导致管中的压强沿流动方向逐渐下降。 对1，2两断面列伯努利

7、方程：,说明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力损失hf与管长成正比，与管直径成反比。,【特例6】突然扩大管,突然扩大处流线不能折转，在“死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2A1上的静压力，方向向左。,（1）,（2）,连续方程,（3）,式（1） 、（2）、 （3）联立，解得,此公式虽然由突然扩大管推出，但适用于一切局部阻力损失的普遍公式,称为局部阻力系数,式中,此式称为（Borda）包达定理，即突然扩大的水头损失等于差速（v1-v2)的速度水头。 利用连续性方程v1A1=v2A2代入包达定理得

8、到：,可得，突然扩大管的局部水头损失hf,在列1、2断面上的伯努利方程,从有压喷管或孔口射入大气的一股流束叫作自由射流，自由射流的特点是流束上的流体压强到处是大气压，速度和射程可按伯努利方程计算，射流对挡板或叶片的冲击力可按动量方程计算。,如图，假设速度为v, 流量为qv的自由射流冲击到固定的二向曲面后，左右对称的分为两段，两股流量均为原流量之半。假设射流在同一水平面上，动量修正系数为1，求射流对曲面的冲击力FRx：,2、自由射流的冲击力,为射流对曲面的冲击力,则曲面作用在流体上的力Fx为,【特例1】射流对平面挡板的冲击力,【特例2 】,这种反向曲面受到的冲击力是平面挡板的两倍，为了充分发挥射

9、流的动力性能，在冲击式水轮上就是采用这种反向曲面作为其叶片形状的。为了回水方便，其反向的角不是180度，而是160-170度。,平面挡板是实际中最常见的。,射流对曲面的冲击力,动量方程求解步骤: 建立坐标系, 选定控制体 分析控制体所受到的力 分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有正负)，列动量方程。 对于实际问题，还要借助于伯努利方程和连续方程。,例1 一股水平方向上的射流冲击一斜置的光滑平板。已知射流来流速度为v，流量为Q，密度为p，平板倾角为 。不计重力及流动损失，求射流对斜置平板的作用力F。,解 取控制体如图。因射流处于大气之中，射流中压强都近似等于大气压。又由伯努利方程知 V1

10、= V2 = V。因忽略流动损失，液流与平板间的摩擦力略去不计，则F必垂直于板面,x 方向动量方程：,y 方向动量方程：,由连续性条件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的动量方程还可以解出,2.射流对平板的作用力,如图所示，流股以45角自一窄缝射出冲击在一平板上，若出流的流量为，不计阻力及重力，求平面上流体流量与的比值。,例 2,有一沿铅垂放置的弯管如图3所示，弯头转角为90，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差z为2m，已知断面1-1中心处动水压强 为117.6 ，两断面之间水头损失为0.1m，管径d为0.2m。试求当管中通过流量Q为0.06 时，水流对弯头的作用力。,解题步骤,（2）求断面2-2中心处水的压强,解：,（1）求管中流速,以断面2-2为基准面，对断面1-1与2-2写能量方程,于是,解题步骤,将,代入上式,得,（3）弯头内水重,（4）计算作用于断面1-1与2-2上水的总压力,解题步骤,（5）对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式,令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力为 及 ，沿x方向动量方程为,沿y方向动量方程为,得,得,解题步骤,管壁对水流的总作用力,作用力R与水平轴x的夹角,水流对管壁的作用力与R大小相等，方向相反。,写出欧拉法表示动量方程式各项物理意义 34，36,