变化率与导数的概念.ppt

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1、关于变化率与导数的概念现在学习的是第1页，共29页(2)在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5 5年时间年时间挣到挣到1010万元万元，乙用，乙用5 5个月时间个月时间挣到挣到2 2万元，如何比较和评价万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到万元，乙挣到2万万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？想一想想一想本题说明本题说明: :y y与与t t中仅比较一个量的变化是不中仅比较一个量的变化是不行的行的. .问题情境问题情境1 1现在学习的是第2页，共29页 过山

2、车过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。 问题情境问题情境3 3现在学习的是第3页，共29页o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出点容易看出点B,CB,C之间的曲线较点之间的曲线较点A,BA,B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡峭陡峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？该比值近似量化该比值近似量化B,CB,C之间这之间这一段曲线的陡峭程度一段曲线的陡峭程度. .称该比值为曲线在称该比值为曲线在B,CB,C之间之间这一段这一段平均变化率平

3、均变化率. .B BA AC C交流与讨论交流与讨论现在学习的是第4页，共29页平均变化率的定义：平均变化率的定义： )(xf一般地，函数在区间一般地，函数在区间 上的平均变化率为上的平均变化率为 12 ,x x2121()()fxfxxx(2)平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，或者说，或者说曲线陡峭程度是平均变化率曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化视觉化”建构数学理论建构数学理论说明说明:(1)平均变化率的实质就是平均变化率的实质就是:两点两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线连线的斜率的斜率.yx（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数

4、形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微数离形时难直观，形离数时难入微”华罗庚华罗庚现在学习的是第5页，共29页平均变化率平均变化率 )(xf一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 ,21xx 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。的割线）的斜率。结论：结论：yx2121()()fxfxxx现在学习的是第6页，共29页例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分别计算在区分别计算在区间间-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均变化率的平均变化率. 数学应用数

5、学应用思考思考: :一次函数一次函数y=kx+by=kx+b在区间在区间m,nm,n上的平均变上的平均变化率有什么特点？化率有什么特点？现在学习的是第7页，共29页例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列区间在下列区间上的平均变化率：上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.变题变题: :1.991.91.999课后思考课后思考: :为什么趋近于为什么趋近于2 2呢？呢？2 2的几何意义是什么的几何意义是什么？数学应用数学应用xyp p

6、13现在学习的是第8页，共29页3.1.2导数的概念导数的概念高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用现在学习的是第9页，共29页 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s )存在函数存在函数关系关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？20时时20时时2二二.新授课学习新授课学习2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度 可以得到如下表格现在学习的是第10页，共29页t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时

7、间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻

8、画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均速平均速度有什么变化趋势度有什么变化趋势?现在学习的是第11页，共29页 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时时的的极极限限趋趋近近于于当当是是我我们们称称确确定定值值022113tthth 瞬时速度0limt(2)(2)13.1htht 现在学习的是第12页，共29页 示？处的瞬时变化率怎么表在、函数xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函数的平均变化率怎么表示？、函数

9、的平均变化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或记作：处的导数，在我们称它为函数现在学习的是第13页，共29页定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数

10、是同. 3现在学习的是第14页，共29页导数的作用：导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率现在学习的是第15页，共29页 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基处的导数的基本方法是本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导数数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的

11、形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限现在学习的是第16页，共29页例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化附近的平均变化率，并求出在该点处的导数率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质，求质点在点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数现在学习的是第17页，共29页例例1. (1)求函数求函数y

12、=3x2在在x=1处的导数处的导数.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x /00(1)limlim(63)6xxyfxx现在学习的是第18页，共29页例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率附近的平均变化率，并求出在该点处的导数，并求出在该点处的导数 三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx 2()3xx 2()3yxxxx平均变化率3x /0

13、0( 1)limlim(3)3xxyfxx现在学习的是第19页，共29页例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬的瞬时速度时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt现在学习的是第20页，共29页例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy

14、 . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy现在学习的是第21页，共29页.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由现在学习的是第22页，共29页.yxy已知

15、，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习练习:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：现在学习的是第23页，共29页.)0( |2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 当时.0101 xxy0,xyx当时()1,yxxxxx 则0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx 现在学习的是第24页，共29页现在学习的是第25页，共29页 .,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原

16、油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 现在学习的是第26页，共29页, 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运运算算过过程程请请同同学学们们自自己己完完成成具具体体0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近 原油温度大约以的速率下降在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况现在学习的是第27页，共29页计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。 35f 13f）（，解：这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第的速率下降，在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。练习：练习：现在学习的是第28页，共29页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第29页，共29页