函数的插值.ppt

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1、函数的插值现在学习的是第1页，共60页选取多项式选取多项式 Pn(x) ，使得使得niyxPiin, 2, 1, 0,)(（6.2） 作为作为 f (x) 的近似。的近似。 满足关系满足关系（6.2）的函数的函数Pn(x)为为f (x)的一个插值函数，的一个插值函数，x0, x1, xn 为插值节点为插值节点，关系关系（6.2）为插值原则。为插值原则。这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值代数插值设设 x0 x1 xn记记 a = x0, b = xn，则，则 a, b 为插值区间。为插值区间。现在学习的是第2页，共60页插值多项式的存

2、在唯一性：插值多项式的存在唯一性：设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为： nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值条件由插值条件 niyxPiin, 1, 0)( 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组： nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111现在学习的是第3页，共60页此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式 ！当当 jixx 时时， ;, 2, 1ninj, 2, 1D 0，因此，因此，Pn(x)由由a0, a1

3、, , an唯一确定。唯一确定。现在学习的是第4页，共60页定理定理 (唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值niyxPii,., 0,)( 多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。6.2 拉格朗日拉格朗日（Lagrange) 插值插值1线性插值线性插值 x0 x1(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(x)f(x)可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直线。两点的直线。xyo现在学习的是第5页，共60页x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)2抛物插值抛物插值因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，

4、故称为抛物插值。 xyo现在学习的是第6页，共60页nnnxaxaaxP 10)(要求：要求：无重合节点，即无重合节点，即jixx ji 3拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式设连续函数设连续函数y = f(x)在在a, b上对给定上对给定n + 1个不同插值节点个不同插值节点：x0, x1, , xn分别取函数值分别取函数值y0, y1, , yn其中其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2, n试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i = 0, 1, 2, niinyxP )(现在学习的是第7页，共60页求求n次多项式次多项式l

5、k (x) k = 0, 1, n ikikxlik, 0, 1)(iinkkkinyxlyxP )()(1则则 i = 0, 1, 2, n即即Pn (x)满足插值条件满足插值条件（6.2） 根据根据lk (x)的表达式的表达式，xk以外所有的节点都是以外所有的节点都是lk (x)的根的根，现在学习的是第8页，共60页)()()()(1110nkkkxxxxxxxxxxxl nkjjjxx0)( 又由又由lk (xk) = 1，得得： )()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令现在学习的是第9页，共60页knknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000

6、)()()()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0从而得从而得n 阶拉格朗日（阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：）插值公式：现在学习的是第10页，共60页4 插值余项插值余项)1( nf在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差)()()(xLxfxRnn 设节点设节点, baCfn bxxxan 10，且，且 f 满足条件满足条件 ,0)( 0)()(10 xx ),(10 xx 存在存在 使得使得 。且且推广：推广：若若0)()()(210 xxx ),(),(211100 x

7、xxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( )(x 10, xx),(10 xx罗尔定理罗尔定理 : 若若 在在 连续，在连续，在 充分光滑，充分光滑，现在学习的是第11页，共60页注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估计而是估计 , x (a,b) 将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。1)1()( nnMxfniinxxnM01|)!1(当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时， , 可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式多项式是是精确精确的。的。0)()1( xfn0)( xRn现在学习的是第12

8、页，共60页LagrangeLagrange插值多项式的算法插值多项式的算法：输入：插值节点控制数n, 插值点序列 n, , 1, 0,i )y,(iix要计算的函数点 x .2: FOR i:=0, 1, ,ntemp:=1; 2.1 FOR j:=0, 1, , i-1, i+1, n temp:=temp);/()(jijxxxx2.2 fx:=fx+temp iy 3: 输出Ln(x)的计算结果fx现在学习的是第13页，共60页6.3 牛顿插值牛顿插值Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x) 都需重新算过

9、。都需重新算过。1差商的定义差商的定义定义定义1：设有函数设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等以及自变量的一系列互不相等的的x0, x1, xn （即在即在i j时时，x i xj）的值的值 f(xi) , 称称),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf 为为f (x)在点在点xi , xi处的处的一阶差商一阶差商，并记作并记作f xi , xj， 现在学习的是第14页，共60页)(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji 又称又称为为f (x)在点在点xi, xj, xk处的处的二阶差商二阶差商 称称 nnnnxxxxxfxxxfxxxf 02111010,为

10、为f (x)在点在点x0, x1, xn处的处的n阶差商阶差商。现在学习的是第15页，共60页f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1差商可列表计算：差商可列表计算： xi yi 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 n 阶差商阶差商 由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。由差商定义可知：高阶差商

11、是两个低一阶差商的差商。x0 x1x2xn-1xn现在学习的是第16页，共60页2 牛顿插值公式牛顿插值公式,)()()(000 xxfxxxfxf ,)(,101100 xxxfxxxxfxxf ,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf 12 n 1 (x x0) ,2 (x x0)(x xn 1) n 1.)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,100 nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 现在学习的是第17页，共60页)(!) 1()()(

12、,.,)1(0 xnfxxxxfnxnnn),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式一项就行了，即有递推式: : ,)()()()(10101 kkkkkxxxfxxxxxxxNxN由插值的由插值的唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 故其余项也相同，即故其余项也相同，即差商与导数的关系公式差商与导数的关系公式 现在学习的是第18页，共60页6.4 差分及其性质，等距节点插值公式差分及其性质，等距节点插值公式1微商的离散化微商的离散化hxfhxf

13、xfiihi)()(lim)( 0 hhxfxfiih)()(lim0 hhxfhxfiih 22lim0 jijixxxxxfxfij lim现在学习的是第19页，共60页引入符号引入符号)()()(iiixfhxfxf )()()(hxfxfxfiii 22)(hxfhxfxfiii jijijixxxfxfxxf)()(,向前差分向前差分 向后差分向后差分 中心差分中心差分 一阶差商一阶差商现在学习的是第20页，共60页当当 h 充分小或当充分小或当xj充分靠近充分靠近xi时，有时，有hxfxfii)()( hxfxfii)()( hxfxfii)()( ,)( jiixxfxf现在学习

14、的是第21页，共60页等距节点公式等距节点公式向前差分向前差分 iiifff 1ikikikikffff1111)( 向后差分向后差分 111 ikikikfffi 1iifff 中心差分中心差分 212111 ikikikfff 其中其中)(221hiixff 当节点当节点等距等距分布时分布时:),.,0(0nihixxi iy（k 个差分因子）个差分因子）现在学习的是第22页，共60页 差分的重要性质：差分的重要性质：gbfaxgbxfa )()(性质性质1：常数的差分等于零常数的差分等于零性质性质2：差分算子为线性算子差分算子为线性算子性质性质3：若：若 f (x)是是 m 次多项式，则

15、次多项式，则 是是)0()(mkxfk km )(0)(mkxfk 次多项式，且次多项式，且 性质性质4： kkkkkkfggfgf 1)(),()(0khxgxggkk )()(0khxfxffkk 这个性质类比于这个性质类比于 gdffdggfd )(现在学习的是第23页，共60页性质性质5： 1010010NkkkNNkNkkfggfgfgf（类比于分部积分法则类比于分部积分法则 ）性质性质6：当节点当节点xk是等距时是等距时，差分差商存在着关系：差分差商存在着关系： kkkhkfxxxf!,010 差分值可由函数值算出：差分值可由函数值算出： njjknjknfjnf0)1(!)1).

16、(1(jjnnnjn 其中其中 njnjkjnknfjnf0) 1(现在学习的是第24页，共60页牛顿公式牛顿公式).(,.,.)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN 牛顿前差公式牛顿前差公式 牛顿后差公式牛顿后差公式将节点顺序倒置：将节点顺序倒置：).(,.,.)(,)()(101xxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnn 设设htxx 0，则，则)()()(000 xfkthtxNxNknknn ),(,).(1()!1()()(01)1(nnnnxxhntttnfxR 设设htxxn ，则，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN 注：

17、注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，故两时用后插，故两种公式亦称为种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。现在学习的是第25页，共60页例：例：设设 x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多项式求多项式 P(x)模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数 =3213)()()()()(0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1, x2，且且 h0(x1) = 0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxx

18、xCxh 又又: h0(x0) = 1 C0 )()()()()(202102210 xxxxxxxxxh h2(x)h1(x)有根有根 x0, x2 )()()(201xxxxBAxxh 由余下条件由余下条件 h1(x1) = 1 和和 h1(x1) = 0 可解。可解。与与h0(x) 完全类似。完全类似。 (x) h1有根有根 x0, x1, x2 h1)()()(2101xxxxxxCx h1又又: (x1) = 1 C1 可解。可解。其中其中 hi(xj) = ij , hi(x1) = 0, (xi) = 0, (x1) = 1 h1 h1),()()()()()(221033xxx

19、xxxxKxPxfxR !4)()()4(xfxK 与与 Lagrange 分析完分析完全类似全类似满足满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且且 P(x1) = f (x1), 并估计误差。并估计误差。现在学习的是第26页，共60页一般地，已知一般地，已知 x0 , , xn 处有处有 y0 , , yn 和和 m0 , , mn ，求，求 H2n+1(x)解：解：设设ni)()()(0iixhxhyixH2n+1 n0iyi其中其中 hi(xj) = ij , hi(xj) = 0, (xj) = 0, (xj) = ij hi hihi(x)有根有根 x0 , ,

20、xi , , xn且都是且都是2重根重根 )()()(2xlBxAxhiiii ijjijixxxxxl)()()(由余下条件由余下条件 hi(xi) = 1 和和 hi(xi) = 0 可解可解Ai 和和 Bi )()(21 )(2xlxxxlxhiiiii (x) hi有根有根 x0 , , xn, 除了除了xi 外都是外都是2重根重根 hi)()(iili2(x)xxCx hi又又: (xi) = 1 Ci = 1 hi)(x)(ili2(x)xx 设设,.210baCfbxxxann 则则20)22()()!22()()( niixnnxxnfxR 这样的这样的Hermite 插值唯一

21、插值唯一满足满足 H2n+1(xi) = yi ， H2n+1(xi) = yi。现在学习的是第27页，共60页6.5 Hermite 插值多项式插值多项式要求函数值重合，而且要求若干阶要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 P (x) 满足满足 p (xi) = f (xi), P (xi) = f (xi), P(m) (xi) = f (m) (xi). 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅把此类插值多项式称为埃米尔特把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，

22、记为插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 现在学习的是第28页，共60页注：注： N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插值阶导数都重合的插值多项式即为多项式即为Taylor多项式多项式00)(!)(.)()()(000)(000mmxxmxfxxxfxfx 其余项为其余项为)1(00)1(00)()!1()()()()(mmxxmfxxfxR N 1现在学习的是第29页，共60页埃尔米特插值的一般提法为：埃尔米特插值的一般提法为： 设函数在节点设函数在节点 的函数值与导数值为：的函数值与导数值为：

23、其中其中 是正整数，是正整数，寻求一个次数尽可能低的多寻求一个次数尽可能低的多项式项式 ，满足：，满足：埃尔米特插值的一般提法01,nxxx( ),iif xf( ),iifxf ,(1)(1)( ),iimmiifxf0,1,in01,nm mm( )H x( )( )( ),kkiiHxf0,1,in0,1,1;ikm现在学习的是第30页，共60页 以如下数据构建埃尔米特插值以如下数据构建埃尔米特插值 埃尔米特插值算例算例现在学习的是第31页，共60页 以如下数据构建埃尔米特插值以如下数据构建埃尔米特插值 埃尔米特插值算例算例共有共有 个条件，可唯一确定一个次数个条件，可唯一确定一个次数不

24、超过不超过 的多项式的多项式 ，其形式，其形式为：为：目标：求出所有的目标：求出所有的 , ,方法：基函数法方法：基函数法. .22n21n21( )nHx21210121( )nnnHxaa xaxia(0,1, )in现在学习的是第32页，共60页可如下构造：可如下构造： 2100( )( )( )nnniiiiiiHxyxyx ( ),( )iixx 均为均为 2 n+1 次插值基函数次插值基函数. . (),()0ikikikxx()0,()ikikikxx 这样这样 可表示为：可表示为：21( )nHx210( )( )( )nniiiiiHxyxyx 显然有：显然有：21()nkk

25、Hxy21()nkkHxy现在学习的是第33页，共60页现在求现在求 及及 ，令令其中其中从而有：从而有：由此得：由此得： ，故：故： ，( )ix ( )ix 2( )() ( )iixaxb lx 011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx2( )() ( )1iiiiixaxb lx ()()()2() ()0iiiiiiiiixl xal xaxb l x ()1iaxb2 ( )1iial x2 ( )iial x 12( )i iibxl x 现在学习的是第34页，共60页由由 的表达式可得：的表达式可得：于是得到

26、：于是得到：同理可得同理可得( )il x01( )niikikk il xxx201( )12()( )niiikikk ixxxlxxx 2( )() ( )iiixxx lx 现在学习的是第35页，共60页牛顿牛顿埃米尔特多项式的构造方法埃米尔特多项式的构造方法: : 已知函数表已知函数表nmxxxxxx210nmyyyyyy210myyyyy210求一个插值多项式求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件：，使其满足如下条件：插值条件的个数插值条件的个数：m+n+2 H (x) 的次数的次数：不超过不超过m+n+1次次 iiyxH )(i = 0, 1, 2, n （6.3）iiyx

27、H)( i = 0, 1, 2, m （6.4）现在学习的是第36页，共60页按牛顿插值的构造思想，设按牛顿插值的构造思想，设 其中其中Nn (x)是牛顿基本插值多项式是牛顿基本插值多项式；Pm(x)为特定的为特定的m次多项式次多项式。显然：显然： iiniyxNxH )()(i = 0, 1, 2, n 为确定为确定Pm (x)，对对（6.5）求导求导 )()()()()(10nmnxxxxxxxPxNxH （6.5）)()()()()()( 11xxPxxPxNxHnmnmn （6.6）令令 x = xi, i = 0, 1, 2, m，将将条件条件（6.46.4），），代入代入（6.66

28、.6）得得 iinimimiyxxPxNxH )()()()( 1 现在学习的是第37页，共60页所以所以)()()(1ininiimxxNyxP i = 0, 1, 2, 于是，求于是，求Pm (x)的问题，变成已知的问题，变成已知Pm (x)的函数表的函数表xx0 x1x2xmPm(x)Pm(x0)Pm(x1)Pm(x2) Pm(xm)确定一个次数不超过确定一个次数不超过m的插值多项式的插值多项式Lm(x)，使其满足使其满足)()(imimxPxL i = 0, 1, 2, m现在学习的是第38页，共60页因为因为Pm(x)为小于等于为小于等于m次多项式。所以，次多项式。所以， )()(x

29、PxLmm )(,)()(0100 xxxxPxPxPmmm)()(,100 mmmxxxxxxP)()(,10100 iimimxxxxxxxP令令x x-1 = 1，将上式代入（，将上式代入（6.5），便得到满足插值条件），便得到满足插值条件niyxHii, 1, 0)( miyxHii, 1, 0)( 的埃米尔特插值多项式的埃米尔特插值多项式 现在学习的是第39页，共60页6.6 分段低次插值分段低次插值例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1

30、 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值现在学习的是第40页，共60页 分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf, 1 iixxx记记 ，易证：当，易证：当 时，时，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。yxoy= f(x)y=p(x)现在学习的是第41页，共60页分段分段He

31、rmite插值插值给定给定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,000在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数,1 iixx导数一般不易得到。导数一般不易得到。现在学习的是第42页，共60页上机实习题上机实习题利用分段三次利用分段三次Hermite插值计算插插值计算插值点处的函数近似值。值点处的函数近似值。 已知已知ln(x)在在x1=0.30,x2=0.40,x3=0.50,x4=0.60处的处的函数值及导数值函数值及导数值,使用分段三次使用分段三次Hermite插值公式计算插值公式计算ln(x)在在x=0.45处的函数值。处的函数值。现在学习的

32、是第43页，共60页6.7 样条函数插值样条函数插值要求：要求：插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为这样条件的插值函数，称为样条插值函数样条插值函数，它所对应的曲线，它所对应的曲线称为称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节点称为样点样点，这种插值方法称为，这种插值方法称为样条插值样条插值。现在学习的是第44页，共60页定义：

33、定义：设对设对y = f (x)在区间在区间a, b上给定一组节点上给定一组节点 a = x0 x1 x2 xn = b和相应的函数值和相应的函数值y0, y1, yn，如果如果s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xi-1, xi (i = 1, 2, n)上上s (x)是不高于是不高于三次的多项式；三次的多项式；（2）s (x)，s (x)，s (x)在在 a, b上连续；则称上连续；则称s (x)为三次为三次样条函数。如再有样条函数。如再有（3）s(xi)=yi (i = 0, 1, 2, n)，则称则称s (x)为为y = f (x)的三次样条的三次样条插值

34、函数。插值函数。)(xs现在学习的是第45页，共60页f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别插值的根本区别 在于在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值的导数值 （除了在（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）；而Hermite 插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。现在学习的是第46页，共60页三次样条插值的存在唯一性和计算方法三次样条插值的存在唯一性和计算方法设设f (x)是定义在是定义在 a, b区间上的一个二次连续可微函数区间上的一个二次连续可微函数， 为分划：为分划：b

35、xxxxan 2100S (x)在在 xi-1, xi 上的表达式为：上的表达式为：令令 i = 0, 1, 2, n)(iiixSM 在每一个小区间在每一个小区间xi-1, xi i = 1, n 上都是三次多项式，上都是三次多项式， )(xSiiiiiiihxxMhxxMxS11)( （6.7）现在学习的是第47页，共60页其中其中 ，将（将（6. 7）两次积分得）两次积分得：1 iiixxhiiiiiiiiAhxxMhxxMxS 2)(2)()(2121iiiiiiiiiiBxxAhxxMhxxMxS )(6)(6)()(3131Ai 和和Bi 为积分常数。为积分常数。 因为因为iiii

36、iiyxSyxS )(,)(11所以它满足方程：所以它满足方程： 121266iiiiiiiiiiyBhAhMyBhM现在学习的是第48页，共60页 2116)(6iiiiiiiiiiihMyBMMhhyyA), 2, 1(6612211nihxxhMyhxxhMyiiiiiiiiii iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131 （6.8）求求 Mi，确定确定S (x)的表达式的表达式。微分微分（6.8）式式iiiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS6)(2)(2)()(112121 现在学习的是第49页，共60页)(62)(2)()(11111211211ii

37、iiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS 于是于是 1163)( iiiiiiiiiMhhyyMhxS11111163)( iiiiiiiiiMhhyyMhxS)()(1iiiixSxS 由由 得得现在学习的是第50页，共60页各项除以各项除以hi + hi+1，并记，并记 )(11 iiiihhh ii 1 11116 iiiiiiiiihhhyyhyyd则则（6.9）可以写为可以写为)1, 2, 1(211 nidMMMiiiiii 1, 2, 1 ni iiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111116)(2（6.9）现在学习的是第51页，共60页端点条件

38、端点条件最后一个方程。若取最后一个方程。若取 M0 = Mn=0，称为三次自然样条。称为三次自然样条。nnyMyM ,00（1）给定）给定补充补充（6.9）的第一个和的第一个和有有011011010163)(yMhMhhyyxS nnnnnnnnnnyMhMhhyyxS 36)(11（2）给定两端点导数值给定两端点导数值 nnyxSyxS )()(00现在学习的是第52页，共60页 010111062yhyyhMM nnnnnnnhyyyhMM1162分别补充为方程组分别补充为方程组（6. 9）的第一个和最后一个方程组。的第一个和最后一个方程组。 现在学习的是第53页，共60页解方程组解方程组

39、经补充后的方程组经补充后的方程组（6. 9）为为其中，对端点条件其中，对端点条件（1），有，有00020Md nnnMd20 nnnnnddddMMMM110110n-1n221102 2 2 22 （6.9）现在学习的是第54页，共60页对端点条件对端点条件（2），），有有 01011006, 1yhyyhd nnnnnnnhyyyhd16, 1 （6. 10 ）是一个三对角方程组是一个三对角方程组，可用追赶法解之。可用追赶法解之。此方程组系数严格对角占优此方程组系数严格对角占优 ！从而存在唯一解！从而存在唯一解。求出了求出了Mi (i = 0, 1, n)，也就求得了也就求得了S (x)在

40、各个在各个小区间的表达式小区间的表达式Si (x)（i = 0, 1, 2, n）现在学习的是第55页，共60页若取等距节点若取等距节点 hi = h, i = 1, n 121121 iiihhh )2(322611311 iiiiiiiyyyhhyyyhdni, 2, 1 现在学习的是第56页，共60页算算 法：法： （1） i = 1, 2, , nhi = xi xi-1 （2） i = 1, 2, n 1111)(6 iiiiiiiiihhhyyhyyd2 iC 11 iiiihhh ii 1现在学习的是第57页，共60页（3）解解n 1阶三对角方程组阶三对角方程组，得得M1 , M

41、2 , Mn-1 代入端点条件计算代入端点条件计算M0 , Mn（4） iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131 iiiiiiiiiihxxhMyhxxhMy1221166 若取若取 ，计算计算ixx )(xSi现在学习的是第58页，共60页上机实习题上机实习题设函数设函数 112511)(2 xxxf试用三次样条函数作插值，并与试用三次样条函数作插值，并与L10(x)或或N10(x)作比较。作比较。取等距节点取等距节点 xi = x0 + ih i = 0, 1, 2020210 NNhx端点条件端点条件 )1()(01 fxS)1()( fxSnn现在学习的是第59页，共60页输出格式输出格式： x f(x) S20(x) L10 (x) -0.95 -0.85 -0.75 -0.65 0.65 0.75 0.85 0.95现在学习的是第60页，共60页