奥数：4-3-3圆与扇形题库.pdf
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1、研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积 2 r；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2 r ；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n 比如：扇形的面积所在圆的面积 3
2、60 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径 ( 易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积 - 三角形面积( 除了半圆 ) ”弯角”：如图：弯角的面积正方形 - 扇形 ”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法： 转化思想 ( 复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形 ( 割补、平移、旋转等) 借来还去 ( 加减法 ) 外围入手 ( 从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例1
3、】下图中每一个小正方形的面积是1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 例题精讲 圆与扇形 【解析】 割补法如右图，格线部分的面积是36 平方厘米 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】 割补法如右图，格线部分的面积是36 平方厘米 【例2】如图，在 188 的方格纸上，画有1，9，9， 8四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积 的几分之几？ 【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654 个，其中部分有6+6+820 个， 部分有 6+6+820( 个) ，而 1 个和 1 个正好组成一个完整的小正方
4、形， 所以阴影部分共包含54+2074( 个) 完整小正方形，而整个方格纸包含818144(个 ) 完整小正方 形所以图中阴影面积占整个方格纸面积的 74 144 ，即 37 72 【巩固】在4 7 的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几 分之几？ 【解析】 矩形纸板共28 个小正方格， 其中弧线都是 1 4 圆周， 非阴影部分有3 个完整的小正方形，其余部分可 拼成 6 个小正方格因此阴影部分共2863=19 个小正方格所以，阴影面积占纸板面积的 19 28 【例3】( 2019 年西城实验考题) 在一个边长为2 厘米的正方形内， 分别以它的三条边
5、为直径向内作三个半圆， 则图中阴影部分的面积为平方厘米 【解析】 采用割补法如果将阴影半圆中的2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的 等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半， 所以阴影部分的面积等于 21 22 2 平方厘米 【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积 【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4428 【例4】( 人大附中分班考试题) 如图，正方形边长为1，正方形的4 个顶点和4 条边分别为4 个圆的圆心和 半径，求阴影部
6、分面积(取 3.14 ) 【解析】 把中间正方形里面的4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四 个正方形面积与四个90 的扇形的面积之和，所以， 22 1 4 44441 14 7.14SSSSS圆 阴影 圆 【例5】图中的 4 个圆的圆心是正方形的4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都 是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【解析】 如下图所示： 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为1 1240.542（）（平方厘 米） ，所以阴影部分的总面积为248 （平方厘米） 【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均
7、为2m，阴影部分的面积是 2m2m 或 2m 【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公 式 也 可 以 求 出 阴 影 部 分 面 积 如 图 ， 割 补 后 阴 影 部 分 的 面 积 与 正 方 形 的 面 积 相 等 ， 等 于 22 2216 m（）（ ） 【例6】如右图，有8 个半径为1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这 些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (取 3) 【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解 如右上图，连接顶角上的4 个圆心，可得到一个边长为4 的
8、正方形可以看出，与原图相比，正方 形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地 方，这样得到一个正方形，还剩下4 个 1 4 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 22 4 119( 平方厘米 ) 【总结】 在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形， 从而利用面积公式进行求解这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需 要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、 【例7】如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和( 圆周率取 3.14 ) 【解析】 将原图
9、割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 2 553.14239.25(cm ) 【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1 S ，空白部分面积为 2 S ，那么这两个部分 的面积之比是多少？( 圆周率取 3.14 ) 【解析】 如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设 大圆半径为r ，则 2 2 2S r ， 22 1 2Srr ，所以 12 :3.142 : 257:100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 【例8】计算图中阴影部分的面积( 单位：分米 ) 5 10 AA 5 【解析】 将右
10、边的扇形向左平移，如图所示两个阴影部分拼成个直角梯形 5105275237.5( 平方分米 ) 【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？ 2 2 2 4 【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积， 那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！ 观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长 为4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积则阴影部分面积 (222)4(22)48 【例9】请计算图中阴影部分的面积 3 10 【解析】 法一： 为了
11、求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了 =- 要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样如此一来，就会出现一 个长方形的面积 半圆半圆 10 3 -= 因此，所求的面积为 2 10330 cm（ ） 法二： 由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形： 如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移3cm 就会得到右上图中的组合图形，而 这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积 显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积 因此，所求的面积是 2 10330 cm（ ） 【例10】求图中阴影部分的面积
12、 12 12 D CB A 12 12 D CB A 【解析】 如图，连接BD，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为 11 121236 22 【例11】求如图中阴影部分的面积( 圆周率取 3.14 ) 4 4 【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90 ，则阴影部分转化为四分之一圆减去一 个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 211 4444.56 42 【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值 22 7 【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内 的等腰直角三角形面积
13、即为所求因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为： 221122 7738.5 447 四 分 之 一 大 圆 内 的 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 的 面 积 为 1 7724. 5 2 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 38. 524. 514 【例12】求下列各图中阴影部分的面积 (1) 10 10 (2) b a 【解析】 在图 ( 1) 中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可 以求得 110 1025 22 S阴影 ； 在图 ( 2) 中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以 求
14、得 Sabab 阴影 【巩固】求下列各图中阴影部分的面积( 图中长度单位为cm，圆周率按3 计算 ) ： 3 4 11 1 2 2 45 6 【解析】 4.54121.5 4.5 【例13】如图， ABCD 是正方形，且 1FAADDE ，求阴影部分的面积( 取 3) F ED CB A W N M F ED CB A 【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、 补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现由于对称性，我 们可以发现，弓形BMF 的面积和弓形BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图
15、 形 BDWC 的面积因为ABCD 是正方形，且FAADDE1，则有 CDDE那么四边形BDEC 为平行四边形，且E45我们再在平行四边形BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形BDWC 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC - 扇 形 DEW 2455 1 1 1 3608 方法二：先看总的面积为 1 4 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总 面积扣除一个等腰直角三角形，一个 1 4 圆，一个45 的扇形那么最终效果等于一个正方形扣除一 个 45 的扇形面积为 215 1 13 1 88 【巩固】求图中阴影部分的面积(
16、 单位：cm) 4 3 2 【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积， 所以阴影部分面积为 21 (24)39cm 2 【例14】如图，长方形ABCD 的长是 8cm ，则阴影部分的面积是 2 cm ( 3.14 ) 【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2 即 可 长方形的长等于两个圆直径，宽等于1 个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于： 2 882822 26.88 所以左图阴影部分的面积等于6.8823.44平方厘米 【例15】( 2019 年西城实验期末考试题) 如图所示， 在半径为 4cm 的图中有两条互相
17、垂直的线段，阴影部 分面积A与其它部分面积B之差 ( 大减小 ) 是 2 cm 2 1 B B A A 丙 丙 乙 乙 乙 乙 甲甲 1 2 【解析】 如图，将圆对称分割后，B与A中的部分区域能对应，B仅比A少了一块矩形，所以两部分的面积 差为： 2 22128cm 【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺 寸的四块现甲取、两块，乙取、两块如果这种金属板每平方厘米价值1000 元，问：甲 应偿付给乙多少元？ 5cm 7.5cm 3cm 2cm 2cm 5cm 3cm 2cm 3cm 7.5cm 5cm 【解析】 如右上图所示，的面积与的面积相
18、等，的面积等于与的面积之和可见甲比乙多拿的部 分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： 2 537.5225.511 cm（）（）（） ，而原本应是两 人平分，所以甲应付给乙： 11 10005500 2 ( 元) 【例16】求右图中阴影部分的面积(取 3) 4545 20cm 【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积， 因为阴影部分非常不规则，无法入手 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法 ( 法 1) 我们只用将两个半径为10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积之和即可，其中、 面积相等 易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角
19、边AB 的长度未知 单独求 部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示，则、部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC10两个四分之一圆的面积 和为150，而、部分的面积和为 1 10 1050 2 ，所以阴影部分的面积为15050100 ( 平方厘 米) ( 法 2) 欲求图中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180，使 A 与 C 重合， 从而构成如右图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积 所以阴影部分面积为 211 101010100 22 ( 平方厘米 ) 4545 D CB A A
20、 C B 【例17】( 第四届走美决赛试题)如图，边长为3 的两个正方形BDKE、正方形DCFK 并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以 B、C 为圆心， BK、CK 为半径画弧 求阴影部分面积( 3.14 ) K F E D C B A A B C D E F K 【解析】 根据题意可知扇形的半径r 恰是正方形的对角线，所以 22 3218r，如右图将左边的阴影翻转右 边阴影下部，SSS 阴影扇形柳叶 11 18 2(18 33) 34 183 8.58 板块二曲线型面积计算 【例18】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB面积的 3 4 倍，则角 CAB 的度数是 _ D C
21、BA 【解析】 设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为 21 1 22 ，扇形 BAC 的面积为 42 233 因为扇形 BAC 的面积为 2 360 n r，所以， 22 2 3603 n ，得到60n，即角 CAB 的度数是 60 度 【例19】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6 和 7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已 知图中阴影部分的面积是17 ，那么角A是多少度 ( 3) 6 7 C B A 【解析】 1 6721 2 ABC S , 三角形 ABC 内两扇形面积和为21174 ， 根据扇形面积公式两扇形面积和为 2 24 360 BC , 所以120BC ,60A
22、 . 【例20】如图，大小两圆的相交部分( 即阴影区域 ) 的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积的 3 5 如果量得 小圆的半径是5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 【解析】 小 圆 的 面 积 为 2 525， 则 大 小 圆 相 交 部 分 面 积 为 3 2515 5 , 那 么 大 圆 的 面 积 为 4225 15 154 ，而 2251515 422 ，所以大圆半径为7.5 厘米 【例21】有七根直径5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆( 如图 ) ，此时橡皮筋的长度是多 少厘米？ (取 3) C BA 【解析】 由右图知，绳长等于6 个线段 AB与 6 个 BC
23、弧长之和 将图中与BC 弧相似的6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6 个角的和是360 ， 所以 BC 弧所对的圆心角是60 ，6 个 BC 弧合起来等于直径5 厘米的圆的周长 而线段AB等于塑料管的直径， 由此知绳长为：565 45 ( 厘米 ) 【例22】如图，边长为12 厘米的正五边形，分别以正五边形的5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧， 请问：中间阴影部分的周长是多少？( 3.14) 【解析】 如图，点 C 是在以B为中心的扇形上，所以ABCB ，同理 CBAC ，则ABC 是正三角形，同理， 有CDE 是正三角形有60ACBECD，正五边形的一个内角是1803605108 ，
24、因此 60210812ECA，也就是说圆弧AE的长度是半径为12 厘米的圆周的一部分，这样相同 的圆弧有5 个，所以中间阴影部分的周长是 12 23.14 12512.56 cm 360 【例23】如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积_ 灰色部分面积 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 1 4 ，则 4 个小圆的面 积之和等于大圆的面积而4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两 部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等 【例24】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1 S
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