复变函数.ppt

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1、复变函数课件现在学习的是第1页，共58页&1. 导数的几何意义导数的几何意义& 2. 共形映射的概念共形映射的概念第一节第一节 共形映射的概念共形映射的概念现在学习的是第2页，共58页定理定理7.1 (保域定理保域定理)设设w=f(z)在区域在区域D内解析且内解析且不恒为常数不恒为常数,则则D的象的象G=f(D)也是一个区域也是一个区域. 0|)(|0wzf证证 首先首先证明证明G的每一点都是内点的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察 f(

2、z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.17.1.1解析变换的保域性解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有|0*ww. |)(|0*0wwwzf对在邻域9/3/20223现在学习的是第3页，共58页因此根据儒歇定理因此根据儒歇定理, ,在在C的内部的内部*00*)()(wwwzfwzf与与f(z)-w0有相同零点的个数有相同零点的个数. .于是于是w*=f(z)在在D内有解内有解. . 由于

3、由于D是区域是区域, ,可在可在D内部取一条联结内部取一条联结z1,z2的折线的折线C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是于是：)(:21ttttzfw就是联结就是联结w1,w2的并且完全含于的并且完全含于D的一条曲线的一条曲线. .从而从而, ,参照柯西积分定理的古莎证明第三步参照柯西积分定理的古莎证明第三步, ,可以找到可以找到 其次其次, ,要证明要证明G中任意两点中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一均可以用一条完全含于条完全含于G的折线联结起来的折线联结起来. .（连通性）（连通性）一条连接一条连接w1,w2,内接于内接于 且完全含于且

4、完全含于G的折线的折线 1总结以上两点总结以上两点, ,即知即知G=f(D)是区域是区域. .9/3/20224现在学习的是第4页，共58页证证 因因f(z)在区域在区域D内单叶内单叶, ,必必f(z)在在D内不恒为常数内不恒为常数. .定理定理7.2 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析, ,则则D的象的象G=f(D)也是一个区域.注注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.注注 满足定理满足定理7.2和7.3的条件的解析变换的条件的解析变换w=f(z)

5、将将z0的一个充的一个充分小的邻域内变成分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域的一个曲边邻域. .定理定理7.3 设函数设函数w=f(z)在点在点z0解析解析, ,且且f (z0)0,则则f(z)在在z0的一个邻域内单叶解析的一个邻域内单叶解析. .9/3/20225现在学习的是第5页，共58页P26 P26 光滑曲线的定义光滑曲线的定义7.1.27.1.2、解析函数导数的几何意义、解析函数导数的几何意义yx0C.0pp)(0tz)(0ttz 两曲线的夹角现在学习的是第6页，共58页)(, )( ttzz正向正向: t 增大时增大时, 点点 z 移动的方向移动的方向.如果如果规定规定:

6、 : tpp正正向向对对应应于于割割线线0pp0 , 那么那么增大的方向增大的方向. )()( 00同向同向与与ttzttz 平面内的有向连续曲线平面内的有向连续曲线C可表示为可表示为:zyx0C.0pp)(0tz)(0ttz 两曲线的夹角现在学习的是第7页，共58页)()()(lim0000tzttzttzt 当当 p, 0时时ppp0处切线处切线上上 0pC, 0)( 00 ttz如如果果的的向向量量那那么么表表示示)(0tz ).( 0tzzC 相相切切于于点点与与方向与方向与 C 一致一致.C.0pp)(0tz)(0ttz )(0tz yx0C沿沿两曲线的夹角现在学习的是第8页，共58

7、页000)()(zCztz上上点点为为起起点点为为的的方方向向若若规规定定 处切线的正向处切线的正向, 则有则有x 轴正向之间的夹角轴正向之间的夹角.处的切线的正向与上点就是00)(Arg .zCtzaC.0zyx0)(0tz )(Arg0tz 两曲线的夹角现在学习的是第9页，共58页2C1C正向之间与相交于一点的两条曲线21 .CCb之间的夹角之间的夹角. .)(Arg)(Arg0102tztz .0z),(:11tzzC ; )(:22tzzC ).()(02010tztzz 向向在在交交点点处处的的两两条条切切线线正正与与就就是是的的夹夹角角21 ,CC两曲线的夹角现在学习的是第10页，

8、共58页的的几几何何意意义义 )( Arg.10zf : , :0参参数数方方程程的的有有向向光光滑滑曲曲线线平平面面内内过过 zzC);(, )( ttzz正向正向: t 增大的方向增大的方向;, )( 00tzz 且且.,0)(0 ztzC0z.yx0)(z ,)(内内解解析析在在区区域域设设Dzfw )(0tz . 0)(,00 zfDz且且解析函数导数的几何意义现在学习的是第11页，共58页, 的有向光滑曲线的有向光滑曲线其参数方程为其参数方程为,)( ztzfw正向正向: t 增大的方向增大的方向.)( )( 00zfwwCzfw 平面内过平面内过映射成映射成将将映射映射C0z.yx

9、0)(z)(0tz yx0)(w0w. )(zfw 解析函数导数的几何意义现在学习的是第12页，共58页)()( ttzfw因因为为0)()(0tttwtw 所所以以, 0 ) (0处切线存在处切线存在上点上点即即w )(Arg)(Arg)(Arg000tztwzf )(Arg)(Arg)(Arg000tzzftw 或或处切线的倾角处切线的倾角在在0w 处切线的倾角处切线的倾角在在0zC的的转转动动角角映映射射后后在在经经曲曲线线定定义义为为0)(:zzfwC )()(00tzzf 解析函数导数的几何意义现在学习的是第13页，共58页2 1 1C说明说明: 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小

10、与方向跟曲线C的形状无关的形状无关.映射映射 w=f(z) 具有转动角的不变性具有转动角的不变性. .0w 映射映射经经)(zfw 1C1 )(Arg)(Arg)(Arg01010tztwzf 2C2 2C0z.)(Arg)(Arg)(Arg02020tztwzf 解析函数导数的几何意义现在学习的是第14页，共58页则有则有的夹角的夹角在在与与 021w 的夹角的夹角在在与与 021zCC结论结论:)(zfw 的夹角在其大小和方向上都等同于经过的夹角在其大小和方向上都等同于经过. 2121之之间间的的夹夹角角与与对对应应的的曲曲线线与与映映射射后后跟跟 CC方向不变的性质方向不变的性质, .

11、的的大大小小和和具具有有保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角映映射射 )( zfw 之之间间与与的的任任意意两两条条曲曲线线相相交交于于点点210 CCz解析函数导数的几何意义)(Arg)(Arg)(Arg)(Arg01020102twtwtztz现在学习的是第15页，共58页的的几几何何意意义义)( . 20zf 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因为为,0 irezz 令令 Cyx0)(wyx0)(zs R)(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww 现在学习的是第16页，共58页0000)()(zzzfzfzzww iire

12、e s )(0zf所以所以.lim0szz )(0lim izzerss的的伸伸缩缩率率在在称称为为曲曲线线 0zC结论结论: 的的后通过点后通过点是经过映射是经过映射 )( )(00zzfwzf 的形状及的形状及它与曲线它与曲线的伸缩率的伸缩率在在的任何曲线的任何曲线CzC , 0方向无关方向无关. 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性. ,)( iers现在学习的是第17页，共58页综上所述综上所述, 有有具具有有两两个个性性在在那那末末映映射射且且0)(,0)(zzfwzf 质质: (1) : (1) ; (2) ; (2) 伸缩率不变性伸缩率不变性. .定理

13、定理 , ,)(0内内一一点点为为内内解解析析在在区区域域设设函函数数DzDzfw 现在学习的是第18页，共58页部分缩小？哪一平面的哪一部分放大？转动角，并说明它将处的在试求映射zizzzzfw212)(2例7.1例7.1解解, 22)( zzf因因izzf21)(arg 转动角转动角,2 ,21处处故在故在iz izz21)22arg( )4arg( i 现在学习的是第19页，共58页)(zf 伸伸缩缩率率, 1)( zf当当,)1(222yx )(iyxz ,21,1的的圆圆内内缩缩小小半半径径为为为为中中心心故故在在以以 z,41)1(22时时即即 yx反之放大反之放大.21,1的的圆

14、圆外外放放大大半半径径为为为为中中心心以以 z,缩缩小小现在学习的是第20页，共58页经点经点z0的两条有向曲线的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的的切线方向所构成的角称为角称为两曲线在该点的夹角两曲线在该点的夹角. .Ox(z)z01C2C定义定义7.1 若函数若函数w=f(z)在点在点 的邻域内的邻域内有定义有定义,且在点且在点 具有具有:(1)伸缩率不变性伸缩率不变性;(2)过过 的任意两曲线的夹角在的任意两曲线的夹角在变换变换w=f(z)下下,既保持大小既保持大小,又又z0z0z0保持方向保持方向;则称函数则称函数w=f(z)在点在点 是是保角的保角的,或称或称w=f(z)在点在

15、点 是是保角变换保角变换. 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处都是保角的，则称内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域在区域D内是内是保角的保角的，或称，或称w=f(z)在区域在区域D内是内是保角保角变换变换.z0z0保角变换保角变换现在学习的是第21页，共58页转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关的形状与方向无关. . 所所以这种映射具有转动角的不变性以这种映射具有转动角的不变性. . 通过通过z0点的可能的曲线有无限多条点的可能的曲线有无限多条, , 其中的每一条都具有其中的每一条都具有这样的性质这样的性质, , 即映射到即映射到w平面的曲线在平面的曲线

16、在w0点都转动了一个角度Arg f (z0).OxyOuv(z)(w)z0w0现在学习的是第22页，共58页相交于点相交于点z0的任何两条曲线的任何两条曲线C1与C2之间的夹角之间的夹角, ,在其大在其大小和方向上都等同于经小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与与C2对应的曲线对应的曲线1与与2之间的夹角之间的夹角, ,所以这种映射具有保持两曲线间夹角所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质与方向不变的性质. .这种性质称为这种性质称为保角性。保角性。yOxOuv(z)(w)z0w0C1C21211222121现在学习的是第23页，共58页定理定理7.4 7.4 如如w=f(z

17、)在区域在区域 D内解析内解析, ,则它在导数不则它在导数不为零的点处是保角的为零的点处是保角的. .推论推论7.5 7.5 如如w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析, ,则称则称w=f(z)在区域在区域D内是保角的内是保角的.总结上述讨论，我们有以下结论：例例1 1求求w= f(z)=z3 在在 z=0, z=i 处的导数值处的导数值, ,并说明几何意义并说明几何意义。解解 w= f(z)=z3在全平面解析在全平面解析， 。 21333ifiie ）在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为伸缩率为3，旋转角为旋转角为 。 2)00,0ff zz3=z

18、在处显然不具有保角性。23)(zzf现在学习的是第24页，共58页定义定义7.2 如果如果w=f(z)在区域在区域D内是单叶且保角的内是单叶且保角的, ,则称此变换则称此变换w=f(z)在在D内是内是共形的共形的, ,也称它为也称它为D内的内的共形映射共形映射. . )(1wfz).)(,( )()(000)(1010GzfwDzwfzf7.1.3 单叶解析变换的共形性单叶解析变换的共形性定理定理7.6 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析. .则则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域共形映射成区域G=f(D). (2)反函数反函数 在区域在区域G内单叶解析内单叶解析, ,且且

19、证 (1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G. (2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.)(0)(00Dzzf于是于是, ,当当 时时, , ,即反函数即反函数 在在区域区域G内单叶内单叶. .故故0zz 0ww )(1wfz现在学习的是第25页，共58页.000000111)()(zzwwwwzzwwwfwfvuxxxxxxyxyxuvvuvvuu22| |)( , 0| )( |22Dzzfivuxx由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,u

20、y=-vx.故 由数学分析中隐函数存在定理由数学分析中隐函数存在定理, ,存在两个函数存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点在点 及其一个邻域及其一个邻域 内为连续，即在邻域内为连续，即在邻域 中中, ,当 时,必有000ivuw)(0wN)(0wN0ww)()(0101wfzwfz故)(1lim1lim1)()(lim000000011000zfzzwwzzwwwwwfwfzzwwww).)(,( )()(000)(1010GzfwDzwfzf即现在学习的是第26页，共58页在在D内作以内作以z0为其一个顶点的小三角形为其一个顶点的小三角形, , 在映射下在映射下, , 得到得到

21、一个以一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形其一个顶点的小曲边三角形, , 这两个三角这两个三角形对应边长之比近似为形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等有一个角相等, , 则这两则这两个三角形近似相似个三角形近似相似. .OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212定理的几何意义.现在学习的是第27页，共58页OxyOuv(z)(w)z0w0C1C212.| )(|)(| )(|00000zfwwzzzfwzzwwzf近似地映射成圆也将很小的圆由此看出映射伸缩率现在学习的是第28页，共58页& 1. 分式线性映射分式线性映射& 2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质& 3.

22、举例举例第二节第二节 分式线性映射分式线性映射现在学习的是第29页，共58页2.1 分式线性映射分式线性映射定义定义.,是是复复常常数数其其中中称称为为分分式式线线性性映映射射dcba( )(0)(1)azbwL zadbcczd映射A 。是必要的是必要的0 bcad).(0常常数数复复否否则则cww 2)()1(dczbcadw :)2(上上有有定定义义数数在在整整个个扩扩充充平平面面补补充充定定义义使使分分式式线线性性函函.0/0 wzczcacdzwc时时，定定义义，在在，时时时时当当当当现在学习的是第30页，共58页为为双双线线性性映映射射. .故故又又称称, ,逆逆映映射射仍仍为为分

23、分式式线线性性的的则则, ,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw 0)()3(结论结论w=L(z)将C C w=L(z)在扩充z平面上是保域的现在学习的是第31页，共58页分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映射的复合：zwiiiaazwiibzwi1)()0()()( 称为：称为：平移整线性反演平移整线性反演现在学习的是第32页，共58页)(11)()(caBcadbcABdczAdczcadbccacdzccadbcdzaw BAzdbzdawdczbazwc ，时时当当0，时时当当0 c事实上事实上，),(复复常常数数B

24、A.1,2121复复合合而而成成和和由由BAwdczdczbazw 现在学习的是第33页，共58页bzwi )(.21是是一一个个平平移移映映射射故故bzwbyvbxu azwii )(.,)(射射是是旋旋转转和和伸伸缩缩合合成成的的映映倍倍后后就就得得或或缩缩短短伸伸长长再再将将先先转转一一个个角角度度把把azwwazz 21ibbbiyxzivuw 设设)(, iiierwearez则则设设现在学习的是第34页，共58页见见图图）关关于于圆圆的的对对称称点点名名词词介介绍绍(:.,2对对称称于于圆圆周周关关与与则则称称满满足足若若在在半半直直线线上上有有两两点点rzppropoppp 定义

25、定义roxyPPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心o?呢呢的的对对称称点点找找到到关关于于圆圆周周如如何何由由przp ., , ,即即互互为为对对称称点点与与那那么么交交于于与与的的垂垂线线作作由由连连接接切切线线作作圆圆周周的的从从在在圆圆外外设设pppopTpopToppTppoPTP现在学习的是第35页，共58页zwiii1)( 11,1wwzw 令令 iierwwerzw 11111)sin(cos)sin(cos irrezirrezii 设设;, 1111在在同同一一射射线线上上与与wzrrwz ).()2.1)111见见图图关关于于实实轴轴对对称称的的点点

26、即即得得作作出出点点的的对对称称点点关关于于圆圆周周作作出出点点wwwzz 1ox,uy,v1wzw的几何作图的几何作图zw1 .1,1对称对称关于关于 zwz现在学习的是第36页，共58页2.2 分式线性映射的性质分式线性映射的性质.,性性质质出出一一般般分分式式线线性性映映射射的的从从而而得得射射的的性性质质先先讨讨论论以以上上三三种种特特殊殊映映保角性保角性)1(的情况的情况对于对于zwiii1)( wzwzwzwzarg,arg; 111111若若通通常常称称为为反反演演变变换换因因此此映映射射zw1 )2(0;0)()(见第一章见第一章 wzwzzfwzfw现在学习的是第37页，共5

27、8页)0(12 zzw又又.,1,即即为为一一共共形形映映射射形形的的在在扩扩充充复复平平面面上上处处处处共共映映射射处处夹夹角角的的定定义义后后适适当当规规定定zw )0()(),( abazwiii的的复复合合映映射射对对.0)(是是共共形形映映射射 abazw:,有有以以下下结结论论而而成成的的三三种种特特殊殊映映射射复复合合由由于于分分式式线线性性映映射射是是由由（详见（详见P290）现在学习的是第38页，共58页定理定理1.,且且具具有有保保角角性性对对应应的的平平面面上上是是一一一一分分式式线线性性映映射射在在扩扩充充复复保保圆圆性性)2(LwlzwCzbazwbazwbazw平平

28、面面上上的的直直线线平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的圆圆周周平平面面上上的的圆圆周周伸伸缩缩的的合合成成映映射射旋旋转转是是平平移移 .,.,即即具具有有保保圆圆性性圆圆周周映映射射成成在在扩扩充充复复平平面面上上把把圆圆周周那那么么穷穷大大的的圆圆周周若若把把直直线线看看作作是是半半径径无无bazw 现在学习的是第39页，共58页0,0,1)(/1/1 zwzwzzzwiii对对于于,1ivuzwiyxz 令令2222yxyvyxxu 2222vuvyvuux 或或得得代代入入将将zwiyxz1 现在学习的是第40页，共58页0)(:0)(:22221 acvbuvuddcybxyx

29、aCzw 直直线线直直线线圆圆周周直直线线直直线线圆圆周周圆圆周周圆圆周周 CdaCdaCdaCda0, 00, 00, 00,.,具具有有保保圆圆性性那那么么反反演演变变换换就就的的圆圆把把直直线线看看成成是是半半径径为为 .,即即具具有有保保圆圆性性平平面面上上的的圆圆周周成成扩扩充充平平面面上上圆圆周周映映射射分分式式线线性性映映射射将将扩扩充充wz定理定理2现在学习的是第41页，共58页定义定义7.5 关于圆周关于圆周 对称是指对称是指 都在过圆心都在过圆心a的同一条射线上的同一条射线上,且满足且满足此外此外,还规定圆心还规定圆心a与点与点关于关于 为对称的。为对称的。21,zzRaz

30、|:|(3). 保对称点性保对称点性21,zz221|Razaz定理定理7.117.11 扩充扩充z平面上两点平面上两点 关于圆周关于圆周 对称的充对称的充要条件是要条件是, ,通过通过 的任意圆周都与的任意圆周都与 正交正交. .21,zz21,zz定理定理7.127.12 设扩充设扩充z平面上两点平面上两点 关于圆周关于圆周 对称对称,w=L(z)为一线性变换为一线性变换, ,则则 两点关于圆周两点关于圆周 对称对称.21,zz)(L)(),(2211zLwzLw证 设 是扩充w平面上经过 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过 ,并使 ,因为 关于 对称,故由定理7.11, 与 亦

31、正交.这样,再由定理7.11即知 关于 对称.21,ww21,zz)(L21,zz21,ww)(L现在学习的是第42页，共58页CRz0z1z2z现在学习的是第43页，共58页当四点中有一点为当四点中有一点为时时, ,应将包含此点的项用应将包含此点的项用1代替代替. .例如例如z1= 时时, ,即有即有亦即先视亦即先视z1为有限为有限, ,再令再令 取极限而得取极限而得. .定义定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构构成下面的量成下面的量, ,称为它们的交比称为它们的交比, ,记为记为(z1,z2,z3,z4): .:),(2313241443

32、21zzzzzzzzzzzz,:),(232411432zzzzzzz1z(4). 保交比性保交比性现在学习的是第44页，共58页定理7.8 在线性变换下在线性变换下, ,四点的交比不变四点的交比不变. .证 设, 4 , 3 , 2 , 1, idczbazwiii则(7.9) )()(dczdczbzzbcadwwjijiji因此231324144321:),(wwwwwwwwwwww),(:) 9 . 7 (432123132414zzzzzzzzzzzz定理定理7.97.9 设线性变换将扩充设线性变换将扩充z平面上三个相平面上三个相异点异点z1,z2,z3指定为指定为w1,w2,w3,

33、则此分式线性变换则此分式线性变换换就被唯一确定换就被唯一确定, ,并且可以写成并且可以写成 (7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换即三对对应点唯一确定一个线性变换).231321231221:zzzzzzzzwwwwwwww现在学习的是第45页，共58页.,实实轴轴必必将将实实轴轴故故也也为为实实数数均均为为实实数数时时当当 wdczbazwdcbakkk.0)Im(0)Im(的的分分式式线线性性映映射射求求将将 wz例例1解解2.3 举例举例,),3 , 2 , 1( ,即即实实轴轴上上的的点点设设 kRzdczbazwk,)0(0)(2实实轴轴变变成成实实轴轴是是同同向向的的即即时

34、时为为实实数数且且当当又又 bcadzdczbcadw.,平平面面上上半半平平面面上上半半因因此此wz现在学习的是第46页，共58页0)Im(0)Im(, 0, wzdczbazwbcaddcba将将分分式式映映射射线线性性且且均均为为实实数数时时即即，当当uv(w)2w1w3w2z1z3zxy(z)现在学习的是第47页，共58页0)Im(0)Im( zz也也将将具具有有这这一一形形式式的的映映射射平平面面下下半半平平面面上上半半将将为为实实数数其其中中wzwzbcaddcbadczbazw0)Im(0)Im(0, .,:132321132321321321即即得得代代入入相相异异的的对对应应

35、点点zzzzzzzzwwwwwwwwwwwzzz 可在实轴上取三对可在实轴上取三对的映射的映射求求,0)Im(0)Im( wz现在学习的是第48页，共58页.0)2( arg(,0)2(,10)Im(的的分分式式线线性性映映射射且且满满足足条条件件的的分分式式线线性性映映射射映映射射成成单单位位圆圆平平面面求求将将上上半半 iwiwwzz例例2解解. 1, w单单位位圆圆它它必必将将上上半半平平面面映映射射具具有有保保圆圆性性分分式式线线性性的的边边界界圆圆周周那那么么实实轴轴就就相相当当于于圆圆域域的的圆圆域域是是半半径径为为若若我我们们把把上上半半平平面面看看成成 wzzwRwwz 由保对

36、称性由保对称性对称对称关于实轴关于实轴与与又又实轴实轴的圆心，即的圆心，即, 101现在学习的是第49页，共58页uvo(w)xy(z)o )()(为为常常数数kzzkw 1, 1, 11 kwzzwwwRz又又 为为任任意意实实数数设设 iek :,一一般般形形式式为为所所求求分分式式线线性性映映射射因因此此)2()0)(Im()( zzewi10)Im()2(, wz映映射射必必将将式式的的分分式式线线性性形形如如反反之之现在学习的是第50页，共58页 izizeizizewiiwii22222)2(0)2(, 即即式式中中取取在在由由条条件件进进一一步步 iieiiwiziew4)2(

37、,)2(42 )4arg(arg)2( argieiwi iziziw22,20)2(从从而而有有 现在学习的是第51页，共58页(1),1,.xw 本题可在 轴上任意取定三点 在上依次取三点 由交比形式可求得分式线性映射.,10)Im(,)2(且且无无穷穷多多映映射射不不唯唯一一的的的的任任意意性性由由于于 wz A 现在学习的是第52页，共58页例例3.11的的分分式式线线性性映映射射求求将将 wz011 wwzz的的中中心心设设 解解 wz 11的的对对称称点点关关于于由由保保对对称称性性)10(的的对对称称点点是是关关于于与与 www zzkzzkzzkw 111uv(w) 1xy(z

38、)11)( kk 其中其中现在学习的是第53页，共58页11111,111 wkzwzwz 代代入入上上式式得得将将故故实实常常数数取取又又, 111 iekk 的的线线性性分分式式映映射射为为11 wz)3()1(1 zzewi现在学习的是第54页，共58页0)( ,)(0)Im(00 iwwiwRwwz变变换换使使满满足足条条件件的的分分式式线线性性求求将将例例4解解)4(0Rww 令令)5(210)Im( izizezi 有有，由由例例再再将将0 izuvo(w)xy(z)o )( , 1000 Rwwww将将R0w现在学习的是第55页，共58页)7(Re)6)(5()6()4(00 i

39、zizwwRwwi 有有复复合合有有由由先先求求得得再再由由0)( iw)(22221Re)( 21Re)(Re iiiiziizeRiiwiizizizdzdw即即iei 2020wizizRiw 故故现在学习的是第56页，共58页?,2, 11什什么么区区域域下下映映成成在在映映射射圆圆弧弧所所围围区区域域的的二二半半径径为为与与中中心心分分别别在在izizwzz 例例5解解 wizwizii0,交交点点且且互互相相正正交交与与两两圆圆弧弧的的交交点点为为.2角角形形区区域域的的为为顶顶点点张张角角为为映映射射后后的的区区域域是是以以原原点点 22)21()21(121 iwCz取取)(第第三三象象限限的的点点现在学习的是第57页，共58页感谢大家观看感谢大家观看9/3/2022现在学习的是第58页，共58页