不定积分的性质及应用讲稿.ppt

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1、关于不定积分的性质及应用第一页，讲稿共三十一页哦重点原函数与不定积分的概念基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数积分难点换元积分分部积分有理函数积分第二页，讲稿共三十一页哦基本要求正确理解原函数和不定积分概念熟记基本积分公式熟练地运用换元积分法和分部积分法会用待定系数法求有理函数积分会用万能代换和三角代换求三角有理式积分会求简单无理函数的积分第三页，讲稿共三十一页哦例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0(内内的的原原函函数数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()

2、(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念第四页，讲稿共三十一页哦对原函数的研究须讨论解决以下两个问题(1) 是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子 0100)(xxxf若存在可导函数)()()(xfxFxF 使使)(xf则由的定义时时当当0 x0)()( xfxF1)(CxF 时时当当0 x0)()( xfxF2)(CxF 处处连连续续在在可可导导由由0)()( xxFxF关于原函数的说明：第五页，讲稿共三十一页哦21CC （左、右极限存在

3、且相等）CxF )(0)0( F而已知1)0()0( fF矛盾这说明)(xf没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .第六页，讲稿共三十一页哦简言之：连续函数一定有原函数.（证明待下章给出）（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？若 ，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数. 若 和 都是 的原函

4、数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF )()(（ 为任意常数）C证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）C第七页，讲稿共三十一页哦任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间I内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. . 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可第八页，讲稿共三十一页哦例1 求.5dxx 解,656xx .665Cxdxx 解例2 求.112 d

5、xx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx第九页，讲稿共三十一页哦例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy 根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为. 12 xy第十页，讲稿共三十一页哦函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,

6、)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是的.第十一页，讲稿共三十一页哦实例 xx 11.11Cxdxx 启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、 基本积分表第十二页，讲稿共三十一页哦基本积分表 kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为.ln Cxxdx第十三页，讲稿共三十一页哦 dxx211)4(;arctan

7、Cx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 第十四页，讲稿共三十一页哦 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 以上15个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。第十五页，讲稿共三十一页哦例4 求积分.2dxxx 解dxxx 2dxx 25Cx

8、 125125.7227Cx 根据积分公式（2）Cxdxx 11 第十六页，讲稿共三十一页哦 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立.此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、 不定积分的性质 dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1第十七页，讲稿共三十一页哦 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数（1）+（2） dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具

9、有线性运算性质 注意到上式中有n个积分号，形式上含有n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有一个任意常数分项积分法第十八页，讲稿共三十一页哦例5 求积分解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数第十九页，讲稿共三十一页哦例6 求积分.)1(122dxxxxx 解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例7 求积分.)1(21222dxxxx

10、 解dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222第二十页，讲稿共三十一页哦dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例8 求积分.2cos11 dxx解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 第二十一页，讲稿共三十一页哦例9dxxx 241解dxxx 241dxxx 2411)1(dxxx 11122Cxxx 331arctan例10dxxx 22cossin1解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin第二十二页，讲稿共三十一页哦 dxxxsin1cos122Cxx cottan例11dxxx 2

11、cos2sin122解dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.第二十三页，讲稿共三十一页哦例例 1212 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为. 6costan xxy第二十四页，讲稿共三十一

12、页哦例13 求 dxxxI, 1max32解 1|111, 1max2332xxxxxxx故时时当当1 x14341CxdxxI 时时当当1 x23231CxdxxI 时时当当1| x 3CxdxI第二十五页，讲稿共三十一页哦因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有)4(lim)(lim14131CxCxxx 13411CC 3143CC )(lim)31(lim31231CxCxxx 32131CC 332CC I132313 xCx11 xCx143414 xCx第二十六页，讲稿共三十一页哦说明求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函

13、数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数写成分项积分后，积分常数可以只写一个积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数第二十七页，讲稿共三十一页哦基本积分表(1)不定积分的性质 原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、 小结第二十八页，讲稿共三十一页哦思考题符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在 内是否存在原函数？为什么？),( 第二十九页，讲稿共三十一页哦思考题解答不存在.假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误所以 在 内不存在原函数.),( )(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.第三十页，讲稿共三十一页哦感谢大家观看第三十一页，讲稿共三十一页哦