不等式证明方法与技巧讲稿.ppt

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1、关于不等式证明方法与技巧第一页，讲稿共三十三页哦一、比较法一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。两种形式两种形式作差法：作差法：作商法：作商法： 00011abab,abab;aab,ab,ab;bb当当时时几点说明几点说明作较法证明不等式的思路作较法证明不等式的思路: :作差作差( (商商),),变形变形, ,判断；判断；作作差法证题时差法证题时, 通常是进行因式分解通常是进行因式分解,利用各因式的符号进利用各因式的符号进行判断行判断,或进行配方或进行配方,利用非负数的性质进行判断；利用非负数的性质进行判断；作作商法证题时商

2、法证题时,通常要考虑式子的正负通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的尤其是作为除式式子的值必须确定符号值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。第二页，讲稿共三十三页哦xx3312、求证：、求证：例例bambmabamba ，求求证证：都都是是正正数数，并并且且、已已知知例例,222333abbabababa ，求求证证：是是正正数数，且且、已已知知例例,第三页，讲稿共三十三页哦.达达指指定定地地点点，问问甲甲、乙乙两两人人谁谁先先到到如如果果行行走走度度行行走走，另另一一半半路路程程以以速速乙乙有有一一半半路路程程以以速速度度行行走走

3、；以以速速度度速速度度行行走走，另另一一半半时时间间甲甲有有一一半半时时间间以以点点沿沿同同一一路路线线走走到到同同一一地地、甲甲、乙乙两两人人同同时时同同地地例例nmnmnm4第四页，讲稿共三十三页哦3115cabcab,cba求求证证：数数，且且、已已知知是是不不全全相相等等的的正正例例26a baba,ba b(ab)例例 、设设是是不不相相等等的的正正数数，求求证证：第五页，讲稿共三十三页哦二、综合法二、综合法利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种证明方法用不等式的性质推导出所要证的不等式

4、，这种证明方法称为综合法。称为综合法。1 1、定义、定义2 2、证明思路、证明思路综合法的证题思路是综合法的证题思路是由因导果由因导果，也就是从已知的不，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直接推导出所要证的不等式。，直接推导出所要证的不等式。第六页，讲稿共三十三页哦已知已知a,b,c均为正数，证明下列不等式均为正数，证明下列不等式: 2 2、bccaababcabc22222216()()()、a bcb acc ababc2223、bcaabcabc第七页，讲稿共三十三页哦4 4、若、若a a、b b、c c是不全相等得正数

5、是不全相等得正数求证：求证：lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgclga+lgb+lgc 2ba2cb2ac第八页，讲稿共三十三页哦三、分析法三、分析法1 1、定义、定义从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容分条件，直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。易证明的不等式为止，这种证明方法叫做分析法。2 2、证明思路、证明思路分析法的证题思路是分析法的证题思路是执果索因执果索因，也就是从求证的不等式，也就是从求证的不等式出发，分

6、析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之。这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之一。一。第九页，讲稿共三十三页哦200 2,2 2例例1 1、已已知知求求证证:c- c:c- cabcababaccab203:例例2 2、设设且且求求证证abcabcbaca第十页，讲稿共三十三页哦典型练

7、习典型练习1abab,:ab.ba、若若 、 均均为为正正数数 求求证证证明方法一：证明方法一：abbaabbbaabaabba)()( ababbabbaa)( abbaba)( 0)()(2 abbababaabba 比比较较法法第十一页，讲稿共三十三页哦证明方法二：证明方法二：综综合合法法abbbaaabba abbababa)( abababba)2)( ba baabba 第十二页，讲稿共三十三页哦证明方法三：证明方法三：分分析析法法baabba :要证要证0)(: baabba只只需需证证0)(: abbaabbbaa即即证证0)(: ababbabbaa只只需需证证0)(: ab

8、baba即证即证成立成立即证即证, 0)()(:2 abbababaabba 第十三页，讲稿共三十三页哦332131a,bR,ababab.、设设且且求求证证：33a b cabca,b,cR:a b c(abc). 、已已知知求求证证 比较法（作商）比较法（作商）分析法分析法第十四页，讲稿共三十三页哦41111a,b,c,abc,:abc.abc、设设为为三三个个不不全全相相等等的的正正数数 且且求求证证5102a(a)a,:log (a)log(a). 、已已知知求求证证 综合法综合法分析综合法分析综合法第十五页，讲稿共三十三页哦四、换元法四、换元法换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不

9、很明显的命换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。等式时一定要注意新元的取值范围。1 1、定义、定义2 2、两种形式、两种形式（1 1）三角换元）三角换元对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换，将复杂的代数不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换，将复杂的

10、代数问题转化为三角问题问题转化为三角问题（2 2）增量代换）增量代换在对称式在对称式( (任意互换两个字母任意互换两个字母, ,代数式不变代数式不变) )和给定字母顺和给定字母顺序序( (如如a ab bc)c)的不等式的不等式, ,常用增量进行代换常用增量进行代换, ,代换的目的是代换的目的是减少变量的个数减少变量的个数, ,使要证的结论更清晰使要证的结论更清晰, ,思路更直观思路更直观, ,这样可这样可以使问题化难为易以使问题化难为易, ,化繁为简。化繁为简。 第十六页，讲稿共三十三页哦.1a:, 1a22222121naaaann 求证、已知例增量代换增量代换典型例题典型例题31, 11

11、222zyxzyx求证：、已知例增量代换增量代换第十七页，讲稿共三十三页哦.,的的最最大大值值求求满满足足：、设设实实数数例例nymxnmyxnmyx1332222.3yxy-x:,222121422求求证证、已已知知例例yx第十八页，讲稿共三十三页哦2211021212121,(),.,.,.,.,x yRxyxyccABCD设设满满足足总总有有成成立立 的的取取值值范范围围是是练习练习:第十九页，讲稿共三十三页哦是根据已知或构造出来的一元二次方程，是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出判别式所

12、应满足的不等式，从性质等特征确定出判别式所应满足的不等式，从而推出要证的不等式的方法而推出要证的不等式的方法.五、判别式法五、判别式法1 1、定义、定义2 2、注意、注意考虑二次项系数是否可以为零考虑二次项系数是否可以为零第二十页，讲稿共三十三页哦221131212例例 、求求证证：xxx2222a,b,cR,abcabbcca例例 、已已知知求求证证：第二十一页，讲稿共三十三页哦六、反证法六、反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。1

13、1、定义、定义2 2、证明思路、证明思路反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的原结论词原结论词大于（大于（ ）小于（小于（ ）都是都是都不是都不是至少至少n n个个至多至多n n个个反设词反设词不大于不大于（）不小于不小于（）不都是不都是至少有一个是至少有一个是至多至多n-1n-1个个至少至少n+1n+1个个原结论词原结论词有无穷多个有无穷多个

14、存在唯一的存在唯一的对任意对任意p p，使，使恒成立恒成立反设词反设词只有有限多个只有有限多个不存在或至少存在两个不存在或至少存在两个至少有一个至少有一个p p，使，使不成立不成立第二十二页，讲稿共三十三页哦0 111114a,b,c( , ),a)b,(b)c,(c)a例例1 1、设设求求证证：（不不可可能能同同时时大大于于第二十三页，讲稿共三十三页哦七、放缩法七、放缩法1 1、定义、定义欲证不等式欲证不等式ABAB，可通过适当放大或缩小，借助一个，可通过适当放大或缩小，借助一个( (或或多个多个) )中间量中间量C C作比较，使得作比较，使得ACAC与与CBCB同时成立，由不等同时成立，由

15、不等式的传递性知式的传递性知ABAB显然成立，这种方法叫做放缩法。显然成立，这种方法叫做放缩法。 利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的此类较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行缩的跨度，进行恰当恰当地放缩，任

16、何不适宜的放缩地放缩，任何不适宜的放缩(放的过放的过大或过小大或过小)都会导致推证的失败。都会导致推证的失败。2 2、证明思路、证明思路第二十四页，讲稿共三十三页哦12例例1 1、已已知知a a, ,b b, ,c c, ,d d是是正正数数，求求证证：abcdabdbcdcdbdac11121223*()例例 、求求证证：，n nNn1222121*(),kkkNkkkk提示：提示：第二十五页，讲稿共三十三页哦41 2231*2nN ,:n(n1)(n1)n(n).22例例 、设设求求证证放缩法放缩法21)1( nnnn21314*111nN ,:.925(2n)例例 、设设求求证证2211

17、1 11441444121()2n+1)nnnnnn提提示示：（第二十六页，讲稿共三十三页哦补充例题补充例题:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求证证为为正正数数且且的的三三边边长长是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函数数在在易易知知设设函函数数证证明明第二十七页，讲稿共三十三页哦)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求证证不不全全为为零零已已知知实实数数22 )2(43)2(2

18、2222yxyxyxyyxyxyx： 证证明明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式相加得式取不到等号式取不到等号故上述三式中至少有一故上述三式中至少有一不全为零不全为零由于由于第二十八页，讲稿共三十三页哦.111, 3bbaabababa求证是实数已知、.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 证证明明第二十九页，讲稿共三十三页哦八、构造函数法八、构造函数法(导数法导数法）根据函数的单调性证明不等式的方法根据函数的单调

19、性证明不等式的方法.1 1、定义、定义2 2、证明思路、证明思路（1）构造函数）构造函数（2）探讨函数的单调性）探讨函数的单调性（3）利用单调性证明不等式）利用单调性证明不等式第三十页，讲稿共三十三页哦22451sin xsin x例例 、证证明明：01 01 0111112x,y,z, x(y)y(z)z(x)例例 、设设求求证证：第三十一页，讲稿共三十三页哦12n222212n12n3a ,a ,.,aa +a +.+a )n(a+a+.+a)例例 、设设都都是是正正数数，证证明明：对对任任意意对对正正整整数数n n, , 都都有有（2222212n12nf(x)(a +a +.+a )xa +a +.+a )x+n0 提提示示：（恒恒成成立立第三十二页，讲稿共三十三页哦感谢大家观看感谢大家观看第三十三页，讲稿共三十三页哦