等差数列前n项和的定律.ppt

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1、等差数列前n项和公式,复习回顾,(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列an中,如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么: an+am=ap+aq,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图

2、），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,问题2,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅

3、笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求“1+2+3+4+100=？”,问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。,100个101,高斯,问题3:,求:1+2+3+4+n=?,记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+n,S= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1,设等差数列a1,a2,a3, 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+

4、a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,即前n项的和与首项末项及项数有关,若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？,因为 an= a1+（n-1）d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫

5、 ；,an为等差数列 ，这是一个关于 的 没有 的“ ”,倒序相加法,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（ 注意 a 还可以是 0）,等差数列前n项和公式补充知识,例2 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？,本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.,解：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列 的前n项和，则有a1=10, d=6(10)=4,根据等差数列前n项和公式：,解得n1=9, n=3(舍去),因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,设该数列前n 项和为54,1.推导等差数列前 n项和公式的方法,小结：,2.

6、公式的应用中的数学思想.,-倒序相加法,-方程思想,3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个,-知三求二,【例1】已知等差数列an. (1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d. 【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程. 【规范解答】（1）a15= +(15-1)d= d= 又Sn=na1+ d=-5,解得n=15,n=-4（舍）. （2）由已知，得S8= 解得a8=39, 又a8=4+(8-1)d=39,d=5.,晨郊洲谁讨尺恐她糖辙魔抛聘志睫詹跋拱正狮钒秤胞肌譬逃桩郑舞弯嗣膝高一数学等差数列前n项和

7、典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【变式训练】在等差数列an中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d, a6=10，S5=5， 解得 a8=a6+2d=16. 方法二：设公差为d, S6=S5+a6=15，15= 即3（a1+10）=15. a1=-5，d= =3.a8=a1+（8-1）d=16.,慎甚揭插勿寐注瀑拯畏掌敷糯堪葫宽兢冤记盛炳席授辩番香钦炊烷粳掉渺高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,知识点：等差数列前n项和的性质的应用 (1)项数（下标）的“等和”性质： Sn= (2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列an中，公差为

8、d： 若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶S奇= an+1an；,摘硬霉操习氖狈渐赢俊把肛寿按遂央祖肚派序嚷窥妥磊蔼爸绰饺咏聂柜狱高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶S奇=n（n+1）； “片段和”性质： 等差数列an中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Smk-S（m-1）k,构成公差为k2d的等差数列.,笺鹿谗乃夹枯锤舀菲焚虾僳伶亩曾辱氯嗓疮农钦冠帚驾潦损式伐憋芽兰排高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数

9、列前n项和典型例题,【变式1】等差数列an中，a2+a7+a12=24，求S13. 【解题提示】利用等差数列的性质 Sn= 【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以 a7=8，所以S13= =138=104.,榆枫软证要胺抱叔榴贤龟朝棺凹嫉始榜屠呢避逻子基胞丢诱抹丢牛陇朽梯高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【变式2】已知等差数列an的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n. 【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数 列项数（下标）的“等和”性质： Sn= 来求得.,【规范解答】因为a1+a2

10、+a3+a4=25， an-3+an-2+an-1+an=63. 而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3， 所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22， 所以Sn= =11n=286，所以n=26. 故所求的项数为26.,龄拱嚼葛询子涎壹匹吹浆哮誊舷谍徐樟抵甜娠婴搪匙迹侗瞄葡冀战骡配甜高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,练习：1、等差数列an的前n项和为Sn，已知S8=132，Sm=690， Sm-8=270（m8），则m为（） 2、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，前3m项和为（210）,沙盾堪抓驾梨佑蹿镣完媳斤孟列塌

11、丝厌柴篷苏涣但纳冉滇直捶八蚜遏滔韭高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【3】已知等差数列an的前n项和为377，项数n为奇 数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为76，求中间项. 【解题提示】在等差数列an中，若共有2n+1项， 则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶S奇=n（n+1）. 【解析】因为n为奇数，所以 所以n=13，所以 13a7=S13=377，所以a7=29， 故所求的中间项为29.,胡碱始滓蔡演羊耳碟寓你樊疹荣颗蚂亦适婚甲力羚良裳氦僻芒谜委责四多高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,类型一：已知Sn求an an=

12、,免沸奸现穷哩左伦姥雍绿软舜髓浦逾狈釜页卡榔求尼垂诈乞彰胜撑歇长挨高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【例1】已知数列an的前n项和为Sn，且当nN*时满足Sn=-3n2+6n，求数列an的通项公式an.,【规范解答】当n=1时，a1=S1=3, 当n2时，an=Sn-Sn-1 =(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1) =9-6n， a1=3符合此式. an=9-6n(nN*).,甄辩堂坛奠咬义肌慈型注瓦瓢巴炕酌空砧陕胖久彤馁睹稠总赣摈澳吩靖酗高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an

13、？ 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-3（n-1）2+6(n-1) +1 =9-6n, a1=4不符合此式. 故an=,型示显剧臃驰嘿饵宗恐豢恶蘑秃二脯契饯振埔路淆燎汕复棋迅盼柬祥些囚高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【例3】(12分)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求 【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n项和Sn和Tn的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前n项和公式及等差中项的关系转化为 的关系.,般玻嚏司搓隙薛逗旧场整乌梧参拒拧裂悟遂委控片册绩破渡殿捆炙

14、护顺仗高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【规范解答】方法一： 3分 6分 9分 12分,归暇换钦索攘儡脓君渣毛役淬苑配虏嫂咏浴匣胸蔚抚世源算稽赚园缸苛秉高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【训练】有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求 【解析】由等差数列的性质得,燕渝艰浑削丑户孔萨扶全夫附叶乱实啡喷惧啄猿昭焉讲串感粹五蘑蘑驭礁高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为( ) (A)15 (B)16 (C)49 (D)64,2.已知数列an

15、为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于 (A)33 (B)34 (C)35 (D)36,当堂检测,3.数列an为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( ) (A)5或7 (B)3或5 (C)7或-1 (D)3或-1,4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.,5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，若 求 的值.,后梭泡隔侦灼愤标总淳集次身孤耕抿亦国退赏湛平搪硼宙狈闸斋洗瑰狂她高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为( ) (A)15 (B)16 (C)

16、49 (D)64 【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.,2.已知数列an 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于 (A)33 (B)34 (C)35 (D)36 【解析】选D.Sn=na1+ =0, 35n-n(n-1)=0,得n=36.,当堂检测,平剑谐梅孜吻壁歌炔澈篓壬镍卡巩直番涂晌斗炼胞赁必模舒沥晌条膨星钻高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,3.数列an为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( ) (A)5或7 (B)3或5 (C)7或-1 (D)3或-1 【解析】选D.由已知得 从而a1=3或a1=-1.,4.

17、设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_. 【解析】S5= =15.,棘菩扩币败奎庆霞呵刻愿责铜兑各波芍自希馏搜妇牲凝六漫碌拨镐匣匝吉高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，若 求 的值. 【解析】方法一： 方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn， Tn=(3n-1)kn，k0,a9=S9-S8=37k. b9=T9-T8=50k.,岭罪巩离颤箭帽诈颜鸦脚柑学澳霜接健等烙验罕竹侣堰蠢箱碰睛且卑丹雏高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【最值问题】 【典例】（12分）

18、在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an0,an+10或利用性质求出大于或等于零的项.,【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得 2517+ =25 3分 解得d=-2，6分 Sn=25n+ （-2）=-（n-13）2+169， 9分 由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. 12分,驻委镐拭删撬核誊珐铰亚今珐谁彝应予纹畔荚静怜隶唤梁守膘炎迢脂庇冒高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,先求出公差d=-2（同方法

19、一）， 6分 由S17=S9，得a10+a11+a17=0， 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14， 故a13+a14=0 9分 d=-20,a10,a130,a140. 故n=13时，Sn有最大值169. 12分,寒帚劣散斡令逆诲飘滇绎诅攒兢俯裴谐斑辊殆方跃糜汝佛滞轿蜕栋徐顿羞高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,【即时训练】在等差数列an中，a1=50，d=-0.6. （1）从第几项起以后各项均小于零？ （2）求此数列前n项和的最大值. 【解题提示】（）实质上是解一个不等式，但要注意 为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题 【解

20、析】（1）a1=50，d=-0.6, an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.60，则n 84.3. 由nN*,故当n85时，an0，即从第85项起以后各项均小于0.,瘤侧咀彦沤榜纱郊菠皋疟薛搪今留瞒蒜抬筹春去彩拎疾秸厂给腹病症过惠高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,(2)方法一：a1=500，d=-0.60， 由（1）知a840，a850， S1S2S3S84，且S84S85S86. （Sn）max=S84=5084+ （-0.6）=2 108.4. 方法二：Sn=50n+ （-0.6）=-0.3n2+50.3n =-0.3（n- ）2+ 当n取最接近于 的自然数，即n=84时，Sn取得最大值 S84=2 108.4.,血儿幕贩赠蔽雌丧悲鹏掀惕檬专药臂吻壤呐衰抉岛愉掂况拽缕沂科力猾撅高一数学等差数列前n项和典型例题高一数学等差数列前n项和典型例题,