等差数列的前n项求和定律.ppt

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1、等差数列的前n项求和公式,复习,1、等差数列的通项公式,2、等差数列的性质,数列a中m+n=p+q，则am+an=ap+aq,若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d,当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项,分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？,问题：123100？,引入,首项与末项的和：1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101， 第50项与倒数第50项的和：50+51=101， 于是所求的和是：,高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和，求:1+2+3+4+n=?

2、,如果令 Sn=1 + 2 + 3 + . +（n-2）+（n-1）+ n,颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ . + 3 + 2 + 1,则,倒序相加法,将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+.+（n+1）,推导,下面对等差数列前n项公式进行推导,设等差数列 a1,a2,a3, 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+. 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 由(1)+(2) 得 2

3、Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2,如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2,所以，等差数列的前n项求和公式是,或,例题,例1 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？ 例2 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式 例3 求集合M=m|m=7n, n是正整数, 且m100的元素个数, 并求这些元素的和.,解：将题中的等差数列记为an，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=10, d=6(10

4、)=4,设数列的前n项和为54，即Sn=54,根据等差数列的前n项求和公式,代入Sn=54，a1=10，d=4整理得，n26n27=0,解得n1=9, n2=3(舍去),因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220,根据等差数列的前n项求和公式,得,解得 a1=4，d=6,因此，等差数列的前n项和的公式是,将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)3=3n2+n,解:根据题意，由7n100 得 n1007,由于满足它的正整数n共有14个, 所以集合M中的元素共有14个. 即,7, 14, 21, , 9

5、1, 98,这是一个等差数列, 各项的和是,因此，集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.,=735,由于 Sn=n(a1+an)/2 整理可得,Sn=d/2n2+(a1-d/2) ， 其中a1、d均为已知数,若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn,将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:,探究,例1.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和的.问此数列前多少项的和最大? 分析：S3=S11, 这里可以找出a1与d的关系,则Sn是d的函数,由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大,即 n=7,练习,1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20,2、一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。,3、an是等差数列，S100,S110,则求使an0的n的最小值,总结,1.推导等差数列前 n项和公式的方法,-倒序相加法,2.公式的应用中的数学思想.,-方程、函数思想,3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个,-知三求二,作业,A组2、4、5,谢谢观赏,