线性代数期末考试深刻复习考点同济大学(第六版).ppt

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1、Company Logo,主讲教师: 张恩路,线性代数,Linear Algebra,第一章 行列式,1. 牢记行列式的6条性质；,2. 会利用行列式的性质计算行列式的值；,3. 掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列） 展开定理；,4. 会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；,n 阶行列式的性质,性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子

2、可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,第二章 矩阵及其运算,1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算；,3. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程

3、；,4. 会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。,2. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质；,转置矩阵的运算性质,方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB 也可逆，且,逆矩阵的性质,分块对角矩阵的性质,| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，则 | A | 0，并且,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；,5. 掌握矩阵秩的一些最基本的性质；,7. 会讨论线性方程

4、组系数矩阵的待定系数来判定线性方程组是否有解情况。,2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵；,3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程；,4. 会用初等行变换求矩阵的秩；,6. 掌握线性方程组有解的判定条件；,定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换 ：,对调两行，记作 ；,以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，记作 .,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵： 行阶梯型矩阵若满足： 1. 非零行的首个非零元为1; 2. 这些非零元所在的列的其它元素都为

5、零.,（一）初等变换与矩阵乘法的关系,定理1 设A, B是一个 mn 矩阵，则 (1) 的充要条件是存在 可逆矩阵P ，使得P A=B； (2) 的充要条件是存在 可逆矩阵Q ，使得 A Q =B； (3) 的充要条件是存在 可逆矩阵P 和Q ，使得P A Q =B；,推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .,推论2 方阵 A 可逆的充要条件是 .,推论3 方阵 A 可逆的充要条件是 .,初等行变换,（二）初等变换法求逆矩阵,（三）初等变换的其他应用,初等行变换,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(

6、B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B)n ,定理1 n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,定理3 n 元齐次线性方程组 AX = 0 只有零解的充分必要条件

7、是R(A) = n ； 有非零解的充分必要条件是 R(A) n ,定理2 线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ,无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A) 个自由变量 的通解,写出增广矩阵 B=（,）,行最简形矩阵,求解线性方程组的步骤,其中n 为线性方程组未知数的个数,齐次线性方程组,无穷多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A) 个自由变量 的通解,第四章 向量组的线性相关性,1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性相关性；,2. 会求向量组的秩及向量组的最大无关组；,3. 掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方

8、程组的解；,4. 会求齐次线性方程组的基础解系；,5. 会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；,6. 会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩阵求解相关问题。,向量组的线性组合 定义2：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实 数 k1, k2, , km ，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数 给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在 一组实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组

9、合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示,线性相关性的判定,向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有 k1

10、= k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示,相关结论 (1)若向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关（部分相关，整体相关） 其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关 （整体无关，部分无关）,最大无关组的求法 : 将向量组 a1, a2, , am 通过初等行变换化成行阶梯形， 找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式Dr 则Dr 所在的

11、 r 列是 A 的 列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组 的一个最大无关组 注 1. 最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列. 2. 向量组的最大无关组一般是不唯一的 3. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的,齐次线性方程组的解的性质,性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解 结论：若 x = x1, x = x2, ., x =

12、xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 还是 Ax = 0 的解.,性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的 解 性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是 导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解 例如：若 x = h1， x = h2 是 Ax = b 的解，则： （1）h1 h2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解； （2）（h1 +h2）

13、/2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解.,非齐次线性方程组的解的性质,基础解系的概念,定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量x1, x2, ., xr 如果满足 x1，x2，.，xr 线性无关； 方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ., xr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系,注： 齐次线性方程组的基础解系不唯一.,齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系,定理7：设 mn 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n r ,已知 n 元齐次线性方程组的解集为 S1 = x | Ax =

14、0 . 则齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是 S1 的一个基， 故 S1 的维数等于 nR(A) ,定义3 如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ., ar ， 那么V中任意一个向量 x 可唯一表示为 x = l1a1 + l2a2 + + lrar 数组 l1, l2, ., lr 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ., ar 中的坐标,例3 的列向量组是 R3 的一个基，,那么,b 在基 e1, e2, e3 中的坐标,基变换公式与坐标变换公式，过度矩阵,在 R3中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基 b1, b2, b3， 设 A = (a1, a2

15、, a3)，B = (b1, b2, b3) 求用a1, a2, a3 表示 b1, b2, b3 的表示式 (基变换公式)； 求向量在两个基中的坐标之间的关系式 (坐标变换公式).,解： (1) 根据向量组 B 能由向量组A 线性表示的充要条件， 只需求解矩阵方程 AX = B 即可. 解得 X = A-1B , 即 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3)P 其中P= A-1B，称为基 A到B 的过渡矩阵( transition matrix ).,（2）设 xR3，且,故,是从旧坐标到新坐标的坐标转换公式.,及,例如： 已知R3的两组基为,（1）求基 到基 的过度矩阵P；,

16、（2）向量 x 在基 中的坐标为 x 在基 中的坐标.,第五章 相似矩阵,1. 掌握向量特征值的概念和性质；,3. 掌握两个矩阵相似的概念和性质；,4. 会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值 的性质计算相关问题.,2. 会求向量的特征值和特征向量；,一、基本概念,定义1：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | AlE | =

17、0,特征值和特征向量的性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,特征值和特征向量的求法,1）解特征方程 | AlE | = 0

18、，求得特征值l . 2）解方程组（AlE ）x = 0 ，其通解即为对应于l 的特征向量.,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式| AlE |,相似矩阵的概念 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵（similar matrix）， 或称矩阵A 和 B 相似 . 对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换. 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵,相似矩阵的性质 定理3：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同,