线性代数齐次线性方程组.ppt

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1、第五节齐次线性方程组,齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件 齐次线性方程组解的性质 基础解系 解的结构 练习题,1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件,或向量形式,定理8 以下命题等价(即互为充要条件):,(1) AX=0(4.2) 有非零解;,(4) 秩 An.,推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解,证明 由矩阵、向量的运算、,于是, 以上4个命题相互等价.,(2)-3)-(4)-(3)-(2)-(1),线性相关定义,得(1)推(2),2. 齐次线性方程组解的性质,（可推广至有限多个解）,(解向量的和,数乘仍是 解),性质1,证明 由题设知,齐次线性方程组的解的集合V称

2、为齐次线方程组的解空间(space of solution)。,3. 基础解系,(1) 向量组,线性无关 ;,(2),(3) AX=0 的任一解都可以由,线性表示。,则称向量组(I)是齐次线性方程组,的一个基础解系。,定义12 设A是一个sn矩阵,如果:,都是AX=0的解；,含有n-r个向量。,证明分几步:,1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵; 个解。,(1) 基础解系不是唯一的。,(2) 当,时，解集合(解空间)是,2. 以某种方法找 个解;,定理9 假设A是一个,则齐次线性方程组AX=0,存在基础解系, 且基础解系,注：,定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间的基。,试求齐次线性方程组,例 设A=,秩A=3 ,基础解系含 53=2个向量,是原方程组的一个基础解系,解,AX=0的一个基础解系 与通解.,解：,所以只有零解。,例,