普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 58版.doc

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1、1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、求二项式展开式中的系数解：设求的项为乙、求证证：丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D为AB的中点，E为AC的中点，作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN A D E M N B C证：联结AD与AE（如图）AMN=DAM+MDA，ANM=EAN+NEA，又AD=DB，DAB=AED，AE=EC，ADE=EAC，AMN=ANM，AM=AN.丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直 D C A E B证：因ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，过A作AEBC，联结DE，则DEBC，BC垂直平面AED，而AD在此平面内

2、，BCAD同理可证ABDC，ACDB戊、求解解：2解方程组则原方程变形为解方程组，可得将的值代回所设，可得都是原方程组的解3设有二同心圆，半径为R，r(Rr），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D;由A作直线AE垂直AD，并交AD于E，已知OAD=，求OE的长解：在直角OAD中，OD=Rsin，AD=Rcos在直角AAE中， A AE B O D C AE=（R-r）cosDE=AD-AE=Rcos-（R-r）cos=rcos.OE=4已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切已知：M为ABC的AB的中点.求作：一个经过A、M

3、两点且与BC直线相切的圆. C P O A B M P A B M 分析：设O即为合于要求的圆（如图）因O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为O的切线，BA为O的割线，所以，应有BP2=BMBA而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆作法：1）作线段ABM，使AB=AB，BM=BM2）以AM为直径作半圆3）过B作AM的垂线BP交半圆于点P4）在ABC的边BC上截取BP=BP5）经过A、M、P三点作O即为所求证明：由作图可知BP2= ABBM，AB=AB，BM=BM，所以BP2=BMBA，即BP为O的切线，BMA为其割线，且O经过A、M、P三点，故O适合所要求的条件5已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根证：设AD=k（如图） C A D BAB=2，DB=2-k.由CD2=ADDB，在直角ACD中，当时，A=300，B=600.当时，A=600，B=300.总之，两锐角一为300，一为600.当x=300时，代入原方程中得当x=600时，代入原方程中得故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根