高中数学概率统计的探究(24页).doc

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1、-高中数学概率统计的探究-第 24 页学号：2006011145哈尔滨师范大学学士学位论文 题 目 高中数学概率统计的探究学 生 杨洪伟指导教师 栾丛海 讲师年 级 2006级 专 业 信息与计算科学系 别 信息科学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2010年4月哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告 论文题目 高中数学概率统计的探究学生姓名 杨洪伟指导教师 栾丛海 讲师年 级 2006级专 业 信息与计算科学2009年 11月25日课题来源：自选题目课题研究的目的和意义：为了更好地进行概率统计教学，提高学生对概率统计知识的正确，全面，深入的认识，对我国当前中学学生概率知识水平进行研

2、究是一件极其重要的方面。本文通过对概率知识的介绍以及学生对概率统计知识，所以本文可以增进我们对高中概率统计教学现状的了解，基于研究也可以对教师、学校给出一些相应的教学建议和课程安排建议。通过对高中教材和高考中关于概率统计知识的研究，为学生打下坚实的概率统计知识基础，应对中高考，同时培养学生将概率统计知识应用于生活的意识，达到数学源于生活，指导生活，推动社会发展的最终理念。国内外同类课题研究现状及发展趋势：美国出台的高中数学课程与评估标准，首先加强了数据、概率、统计之间的联系，将高中数学课程与评估标准中的概率与统计整合成为一个部分，比并指出“学生学习数据的任务就是能够通过测定经验概率和随机抽样进

3、行概率推理的应用。新课程高中数学概率统计内容的设置及教学研究推理的应用，把数据和概率的学习联系在一起。我国高中数学教材历来重视基础知识的讲授和基本技能的训练，在编排上重视科学性和系统性，在文字表述上追求严谨与准确。在对高中数学概率统计内容的设置分析后，我们可以看到教材在这部分内容的设置中有以下特点： (1)在概率统计这部分内容中增加了一些必须的内容，有利于强化、突出数学的本质，真正达到削枝强干的目的。(2)新课程在概率统计这部分内容的编排设置中，采取螺旋滚动的方式进行，循序渐进。(3)注重方法，突出思想。在现行教材中把数学思想方法融入到一些例题中，并作明确的概括提炼。课题研究的主要内容和方法，

4、研究过程中的主要问题和解决办法：本论文在概率统计知识在全国大部分地区的中学实施之际，通过对教材中关于概率统计知识的安排设置的分析，对概念理论和编排知识的原则和建议，对课程设置的目的和意义有了比较充分的理解。本文应用了文献法，回顾了历年高考应用题的内容，题型，变化趋势，得出了高考应用题中概率统计知识考察内容，方法，及解决问题的策略。同时，在理解现行的高中数学教材中的关于概率统计知识的定义，典型概率模型，概率统计知识的关键词等理论知识的基础上，了解了教育教学过程中的问题，提出了概率统计知识的课程理论安排和教学建议，为同学能够更好的理解相应知识，同时与初中知识形成连带，合为一体，充分把握数学的思想，

5、把握数学的形成特点，达到应对高考，指导发展的教育目标。课题研究起止时间和进度安排：2009年11月20日-2010年2月9日 课题资料搜集整理2010年2月9日-2010年4月6日 材料分析、撰写论文2009年4月20日 完成论文撰写、成稿课题研究所需主要设备、仪器及药品：参考文献，教材，计算机外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：杨洪伟同学所选题目界定科学准确、有较高的理论意义、应用价值和指导作用。开题报告形式规范，内容完整，论据充分，研究思路清晰、可行。 指导教师 （签字） 2009年 11 月 25日教研室（研究室）评审意见：_信息与计算科学_教研室（研究室）主任 （签字）

6、2009年 11 月25日系（部）主任审查意见：_信息科学_系（部）主任 （签字） 2009年 11月 25日学 士 学 位 论 文 题 目 高中数学概率统计的探究学 生 杨洪伟指导教师 栾丛海 讲师年 级 2006级专 业 信息与计算科学系 别 信息科学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2010年4月高中数学概率统计的探究杨洪伟摘要：数学应用题作为联系数学理论与实际的桥梁，在数学素质教育实施己占越来越重要的地位。培养学生的数学应用意识，优化学生的思维品质，让一个学生在离开学校以后仍然能数学地思考问题，解决问题。因此，重视应用题的教学，将培养学生“用”数学的意识贯穿整个中学阶段，将训练学生解

7、决学应用题的能力融入到日常的教学中，有利于促进学生的数学创新力的发展，发数学学习的兴趣，提高数学学习的内驱力。关键词：应用题 概率 分类统计 设置原则高中数学概率统计，是高中数学教学中的重点问题之一，注重概率统计的教学有利于学生将理论与实践结合起来，在开发学生智力的同时，还有助于学生数学思维和解题策略的提高。近年来在数学教育教学过程中已开始重视数学概率统计的教学，在各类数学测试题中也开始考察数学概率统计问题，尤其是每年高考，概率统计成为必考内容。随着新课程改革的不断推进，概率统计得到逐步重视，这些也推动了当前数学教学的改革。一、高中数学概率统计的基础介绍（一）概率与生活数学来源于实际生活，是人

8、类生活、生产经验的总结，归根结底数学来源于现实世界，是为了解决客观世界中的实际问题而产生和发展的。生活中的概率统计主要有以下三类：(1)机会和风险的大小：人们时时刻刻面临着各种机会和风险，不断地对它们作出判断并选择最有利于自己的决策，总是倾向于使自己成功的机会最大，而失败的风险最小；(2)分类统计：在做出各种判断之前，为了简化面临的复杂局面，通常要先将各种数据和信息进行分类，并作简单的统计。在观看体育比赛时，球迷们会根据比赛的两个队以前的比赛结果情况来预测本场比赛的成绩，如果与预测基本吻合，则认为比赛正常，否则就认为比赛不太正常，这时就用到了概率统计的初步知识并理解了它的基本含义，当然这只是通

9、俗意义上的理解。(3)对各种统计图表的认识：生活中会遇到很多图表，它们并不以概率统计的面目出现，但本质上就是一张张统计图表。例如在足球世界杯预选赛上，比赛前5分钟，解说员会用表格列出两队以前相遇时的比赛场地、时间、对局结果，观众可据此分析并预测比赛结果。（二）概率概念的引入概率论是研究随机现象的，随机现象有两个最基本的特点：一是结果的随机性，二是频率的稳定性。“随机性”是指重复同样的试验时，所得结果并不相同，以至于在实验之前无法预料实验的结果。“稳定性”是指在大量重复试验中每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。我们掌握了随机现象的规律并不意味着改变了“结果的随机性”。首先介绍概率的两种

10、定义：(l)理论定义也叫古典定义，它将一个事件的概率定义为该事件发生的所有结果的数目与所有等可能发生的结果的总数的商；(2)实验定义也叫经验定义，它将概率定义为某一事件在无数次或接近无数次的重复实验中发生的频率；初学者进入这个途径时，概率的实际背景变的含糊不清，让他们把这抽象的测度概念和日常生活中的熟悉事件联系起来考虑是相当别扭的。因此，较好的做法是，在较低循环中从计算的途径引入，重点是让学生懂得“可能性”可用定量的值P(A)表示，并在古典概型的范围内，学会概率的计算，不要很在意定义的严格性。2.2概率的定义新教材的古典定义：(1)在一次试验中，可能出现的结果有有限个，即有有限个不同的基本事件

11、。(2)每个基本事件发生的可能性是均等的。我们称这样的试验为古典概型在古典概型中， (m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件总数)这一定义称为概率的古典定义。对这个定义应该从整体上把握，重要的是掌握以下几点：(1)频率和概率的关系。频率是随机的，是这n次试验中的频率。换另外n次试验一般说频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。(2)概率反映的是多次试验中频率的稳定性，学习中往往错误地把概率等于二分之一理解为两次试验中出现一次，应给予纠正。(3)出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。2.3古典概率模型需要明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。扔一个硬币，可

12、以看成只有两个结果：“国徽面向上”和“国徽面向下”。每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型。但现实情况是，硬币可能卡在一个缝中，每一面既不向上也不向下。另外，硬币是否均匀，也只能是似的。同一个现实对象可以用不同的模型来描述。例如物理上，地球有时被看成是一个质点(在研究天体运动时，有时被看成椭球，有时被看成平面。在这里同样如此。同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。比如，扔一个均匀的骰子，求“出现偶数点”的概率。可以认为试验有六个结果，其中有三个结果的发生出现偶数点。因此，该事件的概率是六分之三。但也可以认为试验只有两个结果(比如可以想象把三个偶数点的面涂成黑色，把三个奇数点的面涂

13、成红色)。 因此，该事件的概率是二分之一。两个不同的模型解决了同一个问题，后一个模型更简单。但用它无法求出“扔出三点”的概率。两个模型各有优劣。比如，从五个黑球四个白球中任取三个，求“取到两个黑球，一个白球”的概率。对此题我们既可以有顺序地抽取，也可以在抽取时不考虑顺序。两个不同的模型都能解决这一问题。2.4概率计算中的关键词2.4.1抽样抽样是指如何搜集数据。由于我们希望得到的数据能客观地反映实际的状况，所以采用随机的抽样。这是关键所在，应该让学生很好地理解这一点。比如要了解某地区15岁男孩的身高。若这些男孩中一米九以上的有千分之一，随机抽样使每个男孩被等可能抽到。因此，抽到一米九以上的可能

14、性也是千分之一。若这些男孩中一米六到一米八的占百分之七十，那么抽到男孩身高在一米六到一米八之间的可能性也有百分之七十。随机抽样能使得样本中不同身高的百分比和总体中的百分比近似相同。2.4.2数据整理和统计图表我们抽取到的数据是杂乱无章的，从这些数据中能得到什么信息？对数据进行整理和画统计图表，其目的是为了能从数据中得到信息。还要理解不同的整理方法，不同的图表的特点。例如，把学生的学习成绩从小到大排列，并把相同分数的归为一类。这样可列成一个表或画出一个散点图。从该表(图)我们很容易得到如下信息：学生的最高分，最低分是多少，不及格的有几个人，得到任一分数，又如85分的学生人数等等。但是，当我们处理

15、的数据是连续变量，例如某种产品的重量，这种方法就不方便了。2.4.3数据的数字特征除了对数据进行整理外，人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息。比如平均数、方差、标准差等。应该清楚的是，这些数字特征的作用和意义。比如平均数，它反映了中心位置这一重要信息。在许多情形下，人们关心平均数胜于关心所有的数据。对农作物常常只关心平均亩产量，而不太关心具体的某一亩的产量；不关心某一具体男孩的身高，而关心18岁男孩的平均身高，等等。另外，我们关注三种抽样方法的差别和不同的适用范围。例如，系统抽样通常比简单随机抽样简单，在田野上考察害虫的个数，通常就是从任一地点出发，每

16、隔相同的距离测量害虫的个数。但如果考察马路上的车流量，每隔几天记录一次，若选择不当，例如，每七天测一次，恰选在了星期日，就会造成错误的结果。同样在分层抽样中，如果分的不当，同一组内个体相差太，结果也会有偏差。从统计上说，理解这些比方法本身更重要。2.4.4结果的随机性统计中“总体”，“样本”的概念，直观上不难理解，但要深究起来并不简单。比如在检查某厂的产品时，我们说的“总体”通常并不仅仅是厂中堆放的产品。因此，“总体”在统计中被定义为一个分布。“样本”也一样不好理解。样本是总体的一部分。因此，由样本得到的平均数、方差等等，都不是总体的平均数、方差等等。这个区别十分重要，要认识到样本的随机性。也

17、就是说，两个人用同样的方法处理同一个问题时，他们抽样的结果一般是不同的。因此，由不同样本得到的结果也不会相同。换句话说，结果有随机性。2.5概率的应用知道了事件发生的概率，有什么用?这问题有时会令人困惑。例如，如果天气预报说，“明日大雨的概率是百分之八十”，“带雨具出门”和“不带雨具出门”相比，前者是更明智的选择。尽管明天可能根本不下雨。在随机决策中，我们只能要求平均利润最大，平均成本最小等等。就某一次具体的交易来说，采用使平均利润最大的策略，并不能保证比不采用该策略的利润大，完全可能利润还小。但它保证多次采用该策略能使平均利润最大。因此，它确实对人们的活动有着指导意义。 下面通过关于概率与统

18、计方面的高考数学应用题的汇总分析解答来进一步了解概率统计知识的应用。二、 高中数学概率统计知识的应用高考数学应用题的类型虽然延续了对函数模型、数列模型、不等式(组)模型以及立体与平面解析几何模型的应用题的考查，但由于概率统计知识的加入，以概率统计为主要载体的数学应用题模型逐渐成为了高考数学应用题的主要类型，高考数学应用题多是考查概率统计模型为主，概率统计已经成为近几年高考的一大热点。（一）高考中概率知识应用的分类介绍1 以概率统计为载体的这一类应用题的模型： 考查等可能事件的概率例 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支。求：(1)A、B两组中有一组恰有两支弱

19、队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率。 综合考查等可能性事件、互斥事件的概率例 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)。假定工厂之间的选择互不影响。(1)求5个工厂均选择星期日停电的概率；(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。 综合考查互斥事件、相互独立事件的概率例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品

20、的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。 综合考查等可能性事件、互斥事件、相互独立事件的概率例 从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验。每位女同学能通过测验的概率均为,每位男同学能通过测验的概率均为。试求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 综合考查互斥事件、互相独立事件,n次独立重复实验中恰好发生k次的概率例 甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；(2)若

21、甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。 综合考查概率的基本知识、随机变量的数学期望例 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大。 综合考查概率的基本知识、随机变量的分布列和数学期望例 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设x随机变量考表示所选3人中女生的人数。(1)求x的分布列；(2)求

22、x的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数考1”的概率。 抽样方法和总体分布估计的考查例 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为。则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为( )A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法2 针对于以上概率统计模型的分类，总结一些解答的方法，如下： 等可能性事件的概率也称古典概率，等可能事件的

23、特征：(1)每一次试验中所有可能出现的结果是有限的；(2)每一个结果出现的可能性是相等的，这是确定事件是否是等可能性的两个条件。等可能性事件概率的计算步骤：(1)计算一次试验的基本事件的总数n；(2)计算事件A包含的基本事件的个数m；(3)求公式P(A)=。 随机实验与随机事件、频率与概率、互斥事件与对立事件、互斥事件与独立事件等。在应用公式时要注意公式成立的条件，若不满足条件，公式将不在成立。对于每个概率问题应首先搞清它的类型，对于复杂问题要善于分解或者运用逆向思考方法，同时要注意函数思想在概率中的应用。例如：“至少”、“至多问题可化为若干个互斥事件的和，也可转化为求“对立事件”的概率；对“

24、少于”，“多于”，“不大于”，“不小于”等问题往往用“对立事件”求解，比直接求解更简单些。2.3 离散型随机变量的数学期望的运算是建立在其分布列基础上的，分布列的计算过程：(1)确定x的可能取值以及取每一值时所表示的意义；(2)求出相应的概率；P(x=k)，当概率分布不是熟知类型时应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量的概率；(3)形成分布列；(4)检验分布列。只有一个准确的分布列，才能进行期望和方差的运算，计算分布列是必不可少并且相当重要的过程。3高中概率统计体现的若干思想方法高中概率统计中的数学思想高中概率统计中蕴含着很多数学思想，主要有

25、以下几个数学思想：(1)分类讨论思想；(2)比例思想；(3)数学模型思想；(4)正难则反的思想3.1.1分类讨论思想由于高中概率主要以古典概率为主，古典概率的计算较多地用到了排列组合，排列组合中经常要利用分类讨论思想，故高中概率问题的解决中很多体现了分类讨论的思想。例 甲、乙两个篮球运动员，投篮的命中率分别为0.6和0.8，如果每人投篮2次。求甲投进2球，且乙投进1球的概率；若投进1个球得2分，未投进球得0分，求甲、乙两人得分相等的概率。由于复合事件是由基本事件构成的，因此n个互斥事件中事件和的概率公式：=，本身就蕴含了分类讨论思想。比例思想从古典概率的频率定义来看，概率是频率的极限值，频率是

26、概率的近似值。由于频率本身就是两个数的比值，而且当试验次数增加时，这一比值应趋近于某一固定的常数，这一常数就是概率。另外含有n个基本事件的试验，每一基本事件发生的概率为生，当然含有m个基本事件的复合事n件概率就自然是P=，这就是一种比例的思想，几何概率也体现了这种思想。在统计中，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的共同之处就是要使得总体中的每一个个体被抽到的概率相同，也就是说，保持每一部分的抽样比不变。数学模型思想概率统计是比较能够体现数学模型思想的知识块，在概率中将几种有代表性的概率问题及求解方法归纳成概率模型，简称概型。如互斥事件概型、独立事件概型等，统计中有各种概率分布模型等正难则反的思想

27、“正难则反”思想是从较容易解决的问题对立面入手获得对问题的解决，概率中利用对立事件的概率求得原事件的概率的方法就是“正难则反”的思想，实际上也是一种补集思想，因为从概率论以集合论为基础来看，对立事件对应于集合中互为补集的两个集合。例 用A、B、C、D四类不同的元件连接成并联成系统N，四个元件正常工作的概率是，求系统能正常工作的概率(至少有一个正常工作本例中用补集思想，系统N就能正常工作)。考虑“至少有一个正常工作”，“四个元件都不能正常工作”，通过对反面问题的解决，再回到原问题获得对整个问题的解决，这一方法要比从正面解决要简便很多。4概率与高中数学中其他知识的交汇概率是现代应用数学的重要分支之

28、一，另一方面它又是其他重要的知识网络的交汇点。认真探索概率知识网络的交汇性，能很好地实现学科内、外知识的渗透、融合，研究交汇点向外辐射的知识块，会增强学生对学科知识的整体把握。以下我们从四个方面进行论述。概率与函数的交汇在历届高考中屡见不鲜，我们解答概率问题不仅需要坚实的排列组合知识，还需要具备函数等其他数学知识，只有在掌握了正确的思维方式之后，才能客观的、有效地解决问题。例 多向飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由跑靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同方向飞出，每抛出一个碟靶，都允许运动员射击两次。一运动员在进行多向飞碟射击训练时，每一次射击命中碟靶的概率尸与运动员离碟靶的距离，(米)成反比

29、，现有一碟靶抛出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足，s=15(t+1)(0t4)。若运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为0.8，若他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求出他命中此碟靶的概率。解：设（k是常数)，则，从而建立了命题中概率与时间的函数关系，为深层次的研究奠定了基础。依题意当t=0.5秒时，则k=18，。当t=1秒时，则命中此碟靶的概率 =0.92。例袋中有红球和白球共100个，如从这只袋子中任取3只，问袋中有几个红球时，使取得的3个球全为同色的概率最小？分析先求出红球数为x个时，取得的3个球全为同色的概率，再

30、用函数方法求其最小值，这是概率与函数的综合问题。例 掷一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，试证：恰好得n分的概率是。解：设“事件“恰好得n分”的概率为只，则事件“恰好得1分”的概率为；事件“恰好得2分”是“掷得2次正面或仅掷一次得反面”，其对立事件为“得1分后，又掷得1次反面”，概率为；;事件“恰好得3分”是“掷得3次正面或掷2次得l次反面、1次正面”，其对立事件为“得2分后(，又掷得l次反面”，概率为，再掷1次反面”得。迭代得。“杨辉三角”的交汇例 在竖直平面内的一个“通道游戏”。图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的。若竖直线

31、段有一条的为第一层，有两条的为第二层，依此类推，现有一颗小弹子从第1层的通道里向下运动。(1)求该小弹子落入第4层第2个竖直通道的概率(从左向右数)；(2)猜想落入第n+1层的第m个通道里的概率；(3)该小弹子落入第n层的第m一1个竖直通道的概率与该小弹子落入第n层的第m个竖直通道的概率之和等于什么？例 两个人约定7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，时就离去，试求这两人能会面的概率。解：以x、y分别代表两人到达会面地点的时刻，则两人能会面的充要条件为即 ，.在直角坐标系中画出x、y的可行域，显然两人可能会面的时间为图中边长等于60的正方形内的点(包括边界点)，两人能够会面的机会见面

32、，从而可得所求概率为p=。XY1560例 设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如果有半数或半数以上的发动机没有故障，就能安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数，（其中t为发动机启动后所经历的时间，为正常数），讨论飞机A与飞机B那一个更安全。（这里不考虑其他故障）。概率与方程的交汇将概率与一元二次方程结合在一起，可以使题型新颖，也可能使高考的又一趋势。例 一元二次方程，其中b、c分别是将一枚骰子先后掷两次出现的点数，求该方程有实根的概率和有重根的概率。分析由题意得出B、C间的关系是本题的突破口，选择合适的分类标准是解题的关键，分类讨论的思想在该题中得到了很好的体现，是一道新颖的

33、好题。概率与三角的交汇例 在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40 km/h的速度从A港出发30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按东偏北某个方向直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，试求营救到机艇的概率。分析当根据条件直接求区域边界方程比较困难时，我们有时可通过引进参数，建立参数方程，最后利用消参的方法求之，本题对三角变换的要求比较高，是一道概率与三角交汇在一起的综合题。通过对高考数学应用题中概率与统计知识的考察的分析，可以看到对课程标准中概率统计原理的加强，给出了其设置原则，同时突出了概率与统计知识的数学思维价值。三、高中数学概率统计内

34、容的设置与教学（一）高中数学概率统计内容设置的理念在设置高中数学概率统计过程中，不仅建立了一个适应学生发展的课程体系，更重要的是提出了许多新的教育理念。高中数学中设置概率统计内容的设置的基本理念有以下几点：1构建共同基础，提供发展平台高中数学课程的基础性，主要包含两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。当前由于概率统计知识应用的广泛性，几乎每一门科学或技术都有自己相应的统计学，例如生物统计学、卫生统计学、教育统计学、体育统计学、农业统计学等。对现行高中数学教学内容使用情况的调

35、查显示，经常用到的内容有：集合与简易逻辑，函数的解析式、图象、幂函数、指数函数、不等式的性质，解一元二次不等式、不等式的证明、解任意三角形、数列的通项公式、等差数列、等比数列、曲线与方程、直线方程、二元一次不等式的图象解法、简单线性规划问题、平面图形直观图的画法、加法原理、乘法原理、排列及排列数公式、组合及组合数公式、概率的意义、等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、独立重复试验发生的概率的、离散型随机变量分布列、期望值、方差、抽样方法、正态分布、数列的极限、函数的极限、函数的连续性、导数的意义、初等函数的求导、函数的最大与最小值、图形的面积计算、图形的体积。可以看出概率统计的内容占到很

36、大的比例。因此，在高中数学教学内容中适当涉及现行高等数学中的一些基本概念，并穿插相应的数学思想方法是十分必要的。2提供多样课程，适应个性选择大致来说，在中小学阶段数学主要包含两部分：几何学和代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科，可以说基本上都是研究常量的数学。概率统计研究的领域是随机现象，代表数学研究的另一个领域，并且在理论方法上有许多独特的风格，因而在高中阶段设置概率统计内容，有它的积极性及必要性。3倡导积极主动，勇于探索的学习方式学生的数学学习方式不应只限于接收、记忆、模仿和练习，还必须倡导自主探索、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为在教

37、师指导下“再创造”的过程。通过高中阶段对概率统计的学习，从而让学生经历“设计策略一建立模型一实际检验”的过程，鼓励学生动手试验。这种推理对高中生来说是一种全新的思维方式，这种思维方式在生活中有着广泛的应用。因此通过概率统计的学习有助于培养学生对开放性问题进行全面的和更广泛的学习研究。4注意提高学生的数学思维能力教育学的有关研究表明：每一个学生在学习过程中，都有自己的活动的经验和知识积累，都有自己的思维方式和解决问题的策略。在高中阶段设置概率统计，可以培养学生的多种数学思维能力，还可以重点培养学生的数学思维能力，数据处理能力。进入信息化时代，数据无所不在，收集数据，分析数据，用各种数学方法驾驭数

38、据，应成为学生的一项基本技能。概率、统计的方法就是从数据中发展起来的。在概率统计的教学中，教师可以结合具体实例、数据，引导学生思考“关于调查的问题，这些数据能告诉我们什么?”“通过分析，可以得出哪些结论?”“结论被数据支持的程度?哪些因素忽略了?”等相关问题，让学生动手动脑，亲临其境，体验通过数据处理解决实际问题的效力，充分领悟概率、统计的思想方法，从而培养学生数据处理的能力。5发展学生的数学应用意识在数学教学中提倡数学应用是20世纪90年代以来我国数学教学改革的重要内容，在高中数学设置统计与概率的重点也是强调培养学生的应用意识。主要原因有以下几个方面：第一是培养未来公民的需要。作为未来合格的

39、公民，他们不仅要掌握基本的数学知识，还要将这些知识应用于日常生活和生产实践。高中数学设置概率统计主要是帮助高中学生在学习数学知识和技能、受到数学的初步应用训练的同时着重发展学生数学的应用意识，使他们能够用数学的眼光进行思考，找到数学应用的契机。第二是我国数学教育中存在着一些问题，比较突出的一个问题就是忽视数学的应用，忽视数学与其他学科以及与日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识。 (二) 高中数学概率统计内容设置的原则原则 l：高中数学设置概率统计内容必须着眼于发展学生的数学能力；原则2：高中数学设置概率统计内容要立足现实，面向新世纪；原则3：高中数学设置概率统计的内容中恰当的应用应当是其有机

40、的组成部分；原则4：高中数学设置概率统计的内容应当能促进学生的积极参与；以上原则既是设置概率统计内容的出发点，它在一定程度上具体决定着概率统计部分教学内容的安排，教学方法的选择和教学组织形式的运用。(三) 高中数学概率统计内容的课堂教学策略1课堂教学内容应重视理论知识的实际背景概率统计是从实际生产中产生的一门应用性学科，它的产生和发展都和实际紧密相联，离开了实际这门学科就失去了意义和活力。在概念定理的教学中，首先应该在这些概念定理的产生背景上下功夫，用大量现实的例子来提出这些概念定理的客观依据是什么？在实际应用中有什么意义？如果换个角度在教学的过程中能从实际应用的角度去讲概念和定理，就会极大的

41、激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使教学过程充满活力。2课堂教学应淡化演绎推理，突出数学思想概率统计内容的教学要突破传统从概念到定理，从定理到证明的传统教学模式。在教学过程中不应过分拘泥于定理的严格证明，不要像代数、几何的部分定理那样步步都要严格推理。在这部分对学生过高的理论要求也是不切合实际的，也很没有必要。例如高中数学概率统计的教学中，在概率这部分内容中，对于离散型随机变量学生比较容易接受、理解，教师在讲授这部分时可以尽可能讲的严谨些、详细些。概率、期望和方差计算都依赖于分布，了解了分布就可以很好的掌握随机变量的规律。3课堂教学应注重数学模型的建立数学模型的建立也就是新课程中所提倡

42、的数学建模。数学建模就是运用数学的思想、方法和知识解决实际问题的过程。无论在高等数学教育中还是在初等数学教育中都是最重要和基本的内容。 4突出重点所谓重点是指教材中重要的概念、定理、公式和方法。突出重点就是教师在教学中围绕重点，采取有效的办法讲深讲透，使学生理解和掌握。板书加详讲，对重点内容应板书在显眼的位置上。板书重要的概念、公式、定理时应用彩色粉笔书写，以加强学生的视觉感知。在讲概念时，不能只望文生义，对各种条件都要逐一剖析，让学生逐一理解。在讲解公式、定理时要讲清条件和结论，并讲清两者的关系，还要讲清关键词句符号的含义。(四) 高中数学概率统计中如何培养学生的随机性数学思维的教学策略高中

43、概率统计内容中虽然介绍的只是一些极其初步的概率统计知识，但是对于这个阶段的学生来说，他们只具备一些及其简单的概率统计的基础知识，所以很多看似简单的问题，在给他们讲解时，在道理和理论上很难说清的。概率统计的过程中虽然通过实例感觉到周围有很多随机现象，但不能从根本上理解他们，不能很好的把握这些随机现象，更不知道如何去分析一个随机现象。因此对这部分内容的教学过程中，关于培养学生的随机性数学思维。在教学过程中应注意把握以下几点：1让学生在学习的过程中自觉体会到概率统计知识与以往的数学知识的不同，必须转变固有的思维方式，激发学生自觉培养随机性数学思维的意识。概率统计内容的设置也是在代数几何等确定数学分支

44、之后，学生在这种长期确定性数学知识的学习过程中，己经习惯了用纯粹的、严格的方法解决问题，习惯于数学问题有唯一答案。但是随机现象是高中概率问题的研究的主要对象，它是在一定条件下，并不总出现相同的结果的现象。随机现象最根本的特点是：它可能出现的结果不止一个，所以事先无法预知哪一个结果会出现，由此产生了随机性。高中数学教材在讲述概率时是通过给出若干个事件引导学生分析其特点然后自然引出随机事件的定义以后逐步展开的。2详细分析一些贴近生活的实际案例，并展示推理过程，让学生明白在随机性数学思维下的推理是合情推理和逻辑推理的综合。高中概率统计的研究目的是从偶然中探求必然性，从混沌中寻找有序，所以概率统计内容

45、中几乎处处在运用合情推理。比如用大量的重复试验中事件的频率作为它的概率、等可能事件的计算等。另外在概率统计的计算内容中都是把随机现象的研究又转化为对确定现象的研究。所以概率统计中也包含着逻辑推理，而且在分析很多问题时都是两者同时参与的。因此教师可通过一些典型例题、实例，充分展示对问题的推理过程，降低学生的思维起点，缩小学生的思维跨度，创设一些思维情境，使学生能对于随机性数学思维的推理特点看的更清楚，想的更明白。3分析典型实例，归纳随机现象的共同本质，归纳典型模型。概率统计的内容中包含着大量的随机模型，高中教材中有等可能性模型、古典模型、正态分布模型等，在这些不同的模型中通过仔细观察我们可以发现

46、很多模型都有相似之处。比如，在检查一件产品时，可能出现的结果只有合格与不合格；掷一枚钱币，可能出现的结果也只有正面或反面；假如我们只注意可能出现结果的随机性本质，而不去注意可能出现结果的具体属性，从数学的角度考虑，这些都是有两个可能结果的试验。4注重概率与统计的联系，培养学生灵活运用随机性数学思维的能力。概率与统计在概率统计的教学中可以说是相辅相成的两个方面，前者偏重于基础理论，后者偏重于研究应用。概率的特点就是先提出简单数学模型，然后去研究它的性质、特征和规律性。统计则是以概率为基础，通过对随机现象的观察并利用概率运算所取得的数据来建立数学模型，从而作出分析。高中数学概率统计的教学过程中应更加注意这两者的关系，能在概率教学中含统计思想，在统计教学中含概率思想。培养学生在掌握概率统计之间联系的同时，灵活运用随机性数学思维的能力。5密切联系知识发生过程，师生互动，大面积，高效率的激活学生随机性数学思维。通过课堂中一些有趣的小实验，结合生活中一些学生感兴趣的实例，师生互动，共同去研究发现生活中的随机问题。学生能感觉到