普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 57版.doc

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1、1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简解：原式=乙、求适合不等式的实数x的范围解：原式为解为：-2x1.故x的范围为-2x1.丙、求证证： A S P D R C B Q丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得而由题设，AC=BD，PQ=QR=RS=SP，故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面

2、二等分证：过直线作平面/（如图）过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MCEF，且与平面，分别交于B、C两点设EF、MN分别与平面交于点A、D点A是EF的中点，又MEBACF，点B是MC的中点又DBNC，D是MN的中点另法：如图，连接EN，AB,BD由由A是EF的中点得,D为MN的中点此即线段MN被平面二等分2解方程组解：由（1）可得由（2）可得将（4）代入（3）可得再将（5）代入（4）可得化简，得将x值代入（5）此即因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为3设ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D证：在直角ABC中，另外，4设ABC为锐角三角形，以

3、BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证：（1）AE:AB=AC:AF.（2）ABC的面积=AEF的面积.证（1）：设AB与O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O FEFAB，CGAB，GCEF，AC:AF=AG:AE又AD是O的切线，AD2=AGAB，也即AG:AD=AD:AB但AD=AE，AG:AE=AE:AB由、可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则ECBF，EBC的面积=EFC的面积ABC的面积=AEC的面积+EBC的面积=AEC的面积+EFC的面积=AEF的面积5求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值解：将x=1代入这个方程式，则，故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式根据题设条件（即有一个根为1，不妨设）及根与系数的关系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得