高三数学一轮复习必备精品25：平面向量的概念及运算 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费(10页).doc

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1、-高三数学一轮复习必备精品25：平面向量的概念及运算 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费-第 10 页百度告诉我文件有雷同无法上传 给我的雷同资料 边都沾不到 没有办法只有加点其他东西在里面，看能不能通过 战友们自己删除一下多余资料就可以了！付 出 老 师 的 爱 挖 掘 学 生 的 美论情感教育在班集体建设中的作用一、彼此交流中学生是渴望理解与交流的。对于一个班主任来说，他可以借助于师生之间的交流来传递老师的爱与关心。但要注意的是，交流应该建立在理解的基础之上。在实际的教育工作中，我进行了初步尝试，效果颇佳。举两个例子来说：事例一俞同学父母离异，性格自负并且逆反心理很强，但是

2、成绩很差，经常犯错误。一次，物理老师让他放学后留下来补课，他却因为肚子饿先去吃饭了，饭后他去找物理老师，物理老师已经走了。第二天，物理老师找他进行教育批评，他却不服气，与物理老师发生了争执。了解情况后，我并没有立即将他叫到办公室训斥一番，而是等到放学后，我等在他回宿舍必须经过的那条路上。看到他，我走过去，就好像是偶然遇到一样。我和他边走边聊，从目前的世界杯赛事到家常到学习情况。可能还是因为昨天的事，他一开始并不怎么说话。渐渐地发现我并没有恶意，话终于多了起来。我见时机成熟了，便切入正题，问他昨天究竟是怎么一回事。他一五一十将情况告诉了我。还特别强调他是去过物理老师办公室的，但只是完了一点。我告

3、诉他我相信他是去的，而且表示理解。因为肚子饿了谁也做不了事情。接着我又问他当时是几点钟，他有点迷惑，不解的说六点左右，我告诉他物理老师的家离学校有半个多小时的路程，就算帮他补习半个小时的课，那么物理老师也得七点钟才能到家吃上晚饭。我又问他，物理老师为什么这么做呢？他沉默了，但我看得出来这小子已经有点想法了。败兵不可穷追，我告诉他我并不要这个问题的答案，心里明白就行。然后拍拍他的肩膀让他去吃饭。第二天，物理老师对我说他收到了一张条，上面是这样写的：对不起，老师。这件事情过后，俞同学各方面的表现确实比先前有了较大的进步。其实，处于青春期的学生逆反心理较强，尤其是男同学。他们做事情较少考虑后果，容易

4、冲动。事情过后他们也会认识到自己的错误，但由于自尊心强，不肯轻易认错。作为一个班主任，应该用适当的方式方法来教育他们，让他们从教育中认识到自己的错误，体会到老师对他们的爱与关心。有时也要给他们一个台阶下，那么，他们就能真正地从错误中吸取教训。通过适当的交流，让学生体会到老师的关心与爱，是引导学生身心健康发展的关键。作为班主任，更应该在班集体建设中付出自己的关心与爱，让学生实实在在地体会到，感受到。用爱感化所有的学生，所有的学生就会在班集体的建设中奉献出他们的那份爱。二、相互合作随着教育要求的改变，班主任工作的要求与作用也发生了改变。班主任不是班级的“老板”，学生也不是班主任的“工人”。如何处理

5、班主任与学生之间的关系，是班集体的建设中一个需要好好解决的问题。我认为作为一个班主任，应该在相互合作中体现出平等，体现出爱与关心。作为一个班主任，班级的日常管理总是一个老大难的问题。就拿班级的劳动卫生来说，经常会有部分同学出工不出力，干活马马虎虎。于是我制订班规，试图用“惩罚”的手段来解决这个问题。开始我觉得问题似乎解决了，可渐渐地情况又不行了，甚至有时还不如从前。我找来几个学生，询问他们为什么劳动任务总是完成不好。尽管说法各异，但最关键的一点还是劳动的时候同学们相互依赖，缺少合作。后来，我与班委商量，终于想出一个办法：把班级的各项劳动任务尽可能公平地分配给每一个人，作为班主任的我也有一份。劳

6、动任务平均分配，每个人包干负责，谁出了问题找谁，想偷懒的同学再不能偷懒了。一到劳动的时候，我和班委先干起活来，看到老师也加入到劳动当中，其他同学也跟着干起来，所有的学生都会自觉地完成自己的任务，整个劳动又快又好的完成了，以前的卫生死角由于有了专人负责，再也不会出问题了。我们班的劳动难题就这样被解决了。确实，对于一个班主任来说，在班集体的日常管理中，身先士卒显得非常重要。班集体的事情不仅仅是学生的事情，也应该是老师的事情。老师和学生都是班集体的成员，都应该为班级出力，为班级争光。通过师生之间平等的合作，让学生感受到自己在班集体中的重要性，培养学生的集体主义荣誉感，这也是班集体建设中重要的环节。三

7、、共同提高一个班级只有有了明确的奋斗目标，才能不断进取。所以，老师总是给学生提出一个又一个目标，让学生不断进步。但是一个班级的进步除了学生的进步还应该包括老师的进步。作为老师，在班集体的建设中感受学生进步的同时，也应该多多向学生学习，提高自己。一次举行全年级拔河比赛，由于有一点事情我没有去，而是让体育委员组织同学参加比赛。赛后，同学们纷纷跑到办公室告诉我：我们班得了第三名。看着那一张张洒满汗水的笑脸，我心里很开心：这就是我的学生，一群积极向上团结互助的学生。以前，一些同学对班级活动总是漠不关心，但这一次全班同学都积极参加进来，比赛的拼尽全力，加油的喊声震天。正是有了这种凝聚力，才取得了这样的好

8、成绩。事后，他们也说了一点他们的遗憾我没有去给他们加油。本来我想解释一下，告诉他们我有事才没有能去。可是我心里确实有点惭愧，一直教育学生要热爱集体，积极为班集体争光。学生做到了，可是到头来我这个老师又是怎么做的呢？老师是一个不平凡的职业，他的一言一行直接影响着他的学生，要教育好学生，老师自己就必须做好。但更多的时候，老师应当看到学生的长处，找到自己的不足。老师也是一个平凡的人，师不必贤于弟子，弟子不必不如师。能虚心向学生学习，这才是一个好老师。老师自身素质的提高，也会促进学生不断进步，只有这样的老师才能真正教会学生怎样做人。班集体建设是充满人性与挑战的，值得所有班主任去思考，去探索。让学生能感

9、受老师心底的爱，让老师用心去感受学生的美，让情感在师生之间传递，师生共同提高，共同进步，班集体一定能建设成为一个团结向上的班集体！第二十五讲 平面向量的概念及运算一【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面

10、向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值59分。预测2010年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三【要点精讲】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示

11、，如：几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向

12、量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。2向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）

13、 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的

14、终点指向的终点的向量（、有共同起点）。（3）实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示

15、成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若，则；若，则；若=(x,y)，则=(x, y)；若，则。四【典例解析】题型1：平面向量的概念例1（1）给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。（2）

16、设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|;(2)若与a0平行，则=|；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命

17、题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（

18、1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，。点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。（3）（2008湖南文，4）11已知向量，则=_.【答案】 【解析】由（4）(2009年广东卷文)已

19、知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 ,由及向量的性质可知,C正确.例4设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0解析：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0，点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。题型3：平面向量的坐标及运算例5已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得所以。例6已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标

20、。解析：设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。题型4：平面向量的性质例7平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。解析：（1）由题意得，所以，得。（2），（3）由题意得，得或。例8已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为所以则（2），因为与平行，所以即得。此时，则，即此时向量与方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5：共线向量定理及

21、平面向量基本定理例9（2009北京卷文）已知向量，如果那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例10（1）（06福建理，11）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于（

22、 ）A B3 C D（2）（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.答案 2解析 设 ，即题型6：平面向量综合问题例11（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， 五【思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课

23、程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系w.w.w.k.s.5.u.c.o.m