多元函数微分学doc.doc

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1、60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1、球面设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即2、椭球面3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：得例1、 称为旋转抛物面 旋转双曲面：，(单)4、椭圆抛物面 5、单叶双曲面 6、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面 8、柱面 抛物柱面 椭圆柱面 圆柱面 60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）一般式曲线 在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在 中消去z，再与z=0联立。多元函数微分学10二元函数及其极限与连续1、，定义域为平面上某一个平面域几何上为空间一张曲面。2、二元函数极限P186例1、讨论函数极限是

2、否存在。解：而 在(0,0)极限不存在. 3、连续P18720多元函数的偏导数与全微分1、偏导数定义：处对x的偏导数，记作：即： 同理：存在，称可导。例1、解：例2、P188，例5，6设 解：2、高阶偏导数 连续，则3、全微分如 可微全微分可导连续偏导数连续可微例3、设 则 例4、由方程 确定在点全微分30复合函数微分法定理：P194z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y ) , 例5、P195，例5.14设z = ( 1 + x2 + y2 )xy求解： 例5.15解，例7、 ，其中可

3、微，则 例8、,可微，则例9、设，求证 证：令则 例10、设，其中二阶可导，具有二阶连续偏导数。 求解： 例11、设，试将方程 变换成以 , 为自变量的方程，其中函数具有二阶连续偏导数。解： 于是方程变为：40隐函数求导确定了 求(1)方程两边同时对求导，注意，可求得 方程两边同时对求导，注意，可求得(2)利用公式 (3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易例12、设 由方程，求解法一、在方程两边对x求导，注意解法二、设解法三、在方程两边微分 即 例13、设 由方程确定，其中可微则例14、已知方程定义了，求解： （或方程两边对求导，注意）在方程两边对求导，在(1) 式两边对x求导法二：

4、 例15、习题7设，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求解：在，两边对求导，设 例16、P200，例：5.2050一阶偏导数在几何上的应用1、 空间曲线的切线与法平面曲线L：（）（）曲线L在M0点处切线方程为：或例17、P204，例5.24，例5.25例5.25 法二在两边微分在点取切线方程例19、求曲线点处切线方程解：法一 代入得切线方程：2、空间曲面的切平面与法线曲面方程：则曲面在点处切平面方程：如曲面方程则切平面方程：法线方程：例20、曲面在（2，1，3）处的法线方程 例21、P203，例5.22例22、曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧单位法向量是例23、证明：曲面的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数证：设切点为 曲面在M(x0，y0，z0)处切平面：即即四面体体积3、方向导数与梯度方向导数：，可微 ,方向导数： 或：如则分析：设：则设：为函数在处梯度记为：gradu即P20P20例5.26例5.29例P220，习题19解： gradu（M0）=取M0处法向量为