高中数学知识点总结大全_______：空间向量与立体几何.doc

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1、高中数学知识点总结 空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算 （1）空间向量的基本知识： 定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 空间向量基本定理： 定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。 空间四点共面：设O、A、B、C是

2、不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。 共线向量（平行向量）： 定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。规定：零向量与任意向量共线； 共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。 共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。 向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在内，则说向量平行于平面，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。 空间的三

3、个向量共面的条件：当、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。 空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。两个向量的数量积： 定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等

4、于两向量的模与其夹角的余弦值。 数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中为向量和的夹角）。 即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。 基本性质：运算律：（2）空间向量的线性运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法： 减法： 数乘向量： 运算律： 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：二、复习点睛： 1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用

5、空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。2、空间向量的坐标表示： （1）空间直角坐标系： 空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向

6、建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；构成元素：点（原点）、线（x、y、z轴）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）； 空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOy=135(或45),yOz=90，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的一半；（2）空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量

7、（如图），由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，x=OA，y=OB，z=OC，当与的方向相同时，x0，当与的方向相反时，x0，同理可确y、z（如图）。规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意

8、一个向量与它的终点坐标一一对应。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设， 则： （3）空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：； 空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：； 球面方程：二、复习点睛： 4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点: （1）点（原点）的坐标：(

9、0,0,0)； （2）线（坐标轴）上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z)； （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)6、要使向量与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量与哪一个坐标轴垂直，只要向量的相应坐标为0即可。 7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy

10、平面； 8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样； 9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。立体几何中的向量方法1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非

11、零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.2立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面

12、的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.(4)点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d. 一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，

13、是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行(2)垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础双基自测1两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()A平行 B相交 C垂直 D不确定解析v22v1，v1v2.答案A2已

14、知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析n(6，3,6)是平面的法向量，n，在选项A中，(1,4,1)，n0. 答案A3(2011唐山月考)已知点A，B，C平面，点P，则0，且0是0的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由，得()0，即0，亦即0，反之，若0，则()0，未必等于0.答案A4(人教A版教材习题改编)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acC

15、ac，ab D以上都不对解析c(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又ab22(3)0140，ab.答案C5(2012舟山调研)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_解析设平面ABC的法向量n(x，y，z)则即令z1，得n， 平面ABC的单位法向量为.答案考向一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.审题视点 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1

16、，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二()，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD， MN平面A1BD.【训练1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形，AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示

17、的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，、与共面PB平面EFG，PB平面EFG.考向二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0x1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)求证A1FC1E；(2)若A1，E，F，C1四点共面,求

18、证：.审题视点 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标证明(1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，(x,1，1)，(1，x1，1)，则x(x1)10，即A1FC1E.(2)(x,1，1)，(1,1,0)，(0，x，1)，设，解得，1. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明【训练2】 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明AB

19、、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)ABC60，ABC为正三角形C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，.又，0，即AECD.(2)法一P(0,0,1)，.又(1)0，即PDAE.(1,0,0)，0，PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.考向三利用向量求空间距离【例3】在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如

20、图所示，求点B到平面CMN的距离 审题视点 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错解取AC的中点O，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d. 点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH平面CMN于H.由及nn，得

21、|n|n|n|，所以|，即d.【训练3】 (2010江西)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.(1)求点A到平面MBC的距离； (2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值解取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)(1)设n(x，y，z)是平面MBC的法向量，则(1，0)，(0，)，由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，

22、(0,0,2)，则 d.(2)(1,0，)，(1，2)设平面ACM的法向量为n1(x，y，z)，由n1，n1得解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面BCD的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2. 设所求二面角为，则sin .规范解答15立体几何中的探索性问题【问题研究】 高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探索性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度，空间角的范围和体积的范围的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由.”【解决方案】 解决存在与否类的探索性问题

23、一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在.【示例】 (本小题满分14分) (2011福建)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.()若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；()在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？解答示范(1)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABA

24、D，PAADA， 所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(4分)(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos 451， CECDsin 451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t) 由ABAD4得，AD4t，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，C(1,1,0)，P(0,4t，t)(6分)()设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，由nC，nP，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)又P(t,0，t)，故由直线PB与平面

25、PCD所成的角为30得cos 60，即，解得t或t4(舍去)，因为AD4t0，所以AB.(9分)()法一假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m,0)(其中0m4t)，则G(1,3tm,0)，G(0,4tm,0)，G(0，m，t)由|G|G|得12(3tm)2(4tm)2， 即t3m；(1)由|G|G|得(4tm)2m2t2.(2)由(1)、(2)消去t，化简得m23m40.(3)(12分)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等(

26、14分)法二(1)同法一(2)()以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos 451，CECDsin 451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)， 由ABAD4得AD4t. 所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，C(1,1,0)，P(0,4t，t) 设平面PCD的法向量为n(x，y，z)， 由nC，nP，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t) 又P(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos 60， 即，解得t或t4(舍去，因为A

27、D4t0)，所以 AB.法二假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等由GCGD，得GCDGDC45，从而CGD90，即CGAD， 所以GDCDcos 451.设AB，则AD4，AGADGD3，(11分)在RtABG中， GB 1，这与GBGD矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等(14分)解答示范 函数ycx在R上单调递减， 0c1.(2分)即p：0c1.c0且c1，綈p：c1.(3分) 又f(x)x22cx1在上为增函数，c.即q：0c. c0且c1，綈q：c且c1.(6分)又“pq”为真，“pq”为假，p真q假或p假q真(7分)当p真，q假时，c|0c1；(9分)当p假，q真时，c|c1.(11分)综上所述，实数c的取值范围是.(12分)