线性代数习题2015及参考答案(8页).doc

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1、-线性代数习题2015及参考答案-第 8 页线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。3. 已知,则AB等于 .4. 若,且秩(A)=2,则= 6 . 5. 已知方阵满足(为常数),则6.4阶行列式 中（3，2）元素的代数余子式A32是 -223 .7.向量组（）1 , 2 , r与向量组（）1，2，, s 等价，且组（）线性无关，则r与s的大小关系为 .8. 设A=，A*为A的伴随矩阵，则| A*|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是

2、 13 .10.四阶行列式是 24 项的代数和，其中含的项共 6 项。11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设1, 2 , n是矩阵A的n个特征值，则1 2n= | A| 。13. 设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为 2 .14设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为 .15设A，B均为三阶方阵，且A= -3，B=6，则AB= 18 16. 设是的一个基,则的自然基到的过渡矩阵为 .16. 在欧氏空间中，则与的夹角等于 .17已知,则A-2B等于 .18. 与矩阵对应的二次型是 19. 二次型f(x1,x2,x3)=的对称矩阵为_ .20. 若二次型f(x1,x2,x3, x

3、4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x1,x2,x3 ,x4)的规范型为 二、单项选择题：1. 设2阶方阵A可逆，且A=，则A-1=（ A）。A B C D2. 设A为mn矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则必有（ D）.A秩(A)=n B秩(A)=m C秩(A)m D秩(A)n3. 设，是非齐次线性方程组AX=b的解，是对应的齐次线性方程组AX=0的解，则AX=b必有一个解是（ D）.A + B- C+ + D+ +4. 在下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ B ）.A. B. C. D. 5. 在下列矩阵中，是初等矩阵的是 （ C）.A. B. C. D. 6. 在下列矩阵中

4、可逆的是（ D ）。A. B. C. D. 7. 设=（1，2，1），=（0，5，3），=（2，4，2），则，的秩是（C）.A0 B1 C2 D38. 设A为4阶矩阵，|A|=，则|6A*|=（D）.A6 B C2 D489. 设A是m行n列矩阵，若1，2,t是AX=0的基础解系，则秩A=（ A ）.An-t Bm-t Cm-n Dt10. 若向量组() ,可由向量组() ,线性表示,且组()线性无关，则必有( C ).A.秩()秩()B. 秩()秩() C.D.rs11. 设A是4阶矩阵，则|-A|=（C）.A-4|A| B-|A| C|A| D4|A|12. 若行列式=1，= - 2，则行

5、列式（ D ）。A- 2 B 1 C0 D - 113. 设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（C）.A0 B1 C2 D314. 是矩阵，是阶可逆矩阵，则秩(PA)等于（ A）.A秩（A） B秩（P） Cm Dn15. 设行列式A=，则A2的值为（ D）.A0 B1 C6 D 3616. 在R3中，与向量1=（1,1,1），2=（1,2,1）都正交的单位向量是（B）.A（-1,0,1） B（-1,0,1） C（1,0,-1） D（1,0,1）17.与矩阵（C）。A B C D（提示：相似矩阵具有相同的特征值）18下列矩阵中，不是正定矩阵的是（B）。A B C D19

6、方程组 有解的充分必要条件是。（ B ） 20n阶方阵A有n个不同的特征值是A可对角化的（ B ）。A充分必要条件 B充分而非必要条件 C必要而非充分条件 D既非充分也非必要条件三、判断题1. 在所有n级排列中，奇排列的个数和偶排列的个数相等。（ ）2. 对n级排列所作的每次对换都改变排列的奇偶性。（ ）3. 线性无关的向量组中不能包含成比例的向量。（ ）4. 如果两个向量组等秩，则这两个向量组一定等价。（ ）5若含n个方程n个未知量的齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组只有唯一零解。（ ）6. 如果当时,那么线性无关. ( ).7. 向量组中任一向量都可经该向量组线性表出。（ ）8.

7、 s(s2)个向量线性相关当且仅当其中某一向量是其余向量的线性组合。（ ）9. 线性无关向量组的部分组线性无关。（ ）10. 线性相关向量组的部分组线性相关。（ ）11. 一个向量组的部分组线性相关，则该向量组线性相关。（ ）12. 向量组的秩是 r，则向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.( )13. 对任意n阶方阵A，B，C，若AB=AC，则一定有B=C. （ ） 14.一个向量组与它的部分组等价的充分必要条件是它们等秩.( ).15.( )16. .( )17. 若n阶矩阵A可表示成一系列初等矩阵的乘积，则A可逆。（ ）18. 对矩阵施行初等列变换相当于用一个满秩矩阵左

8、乘该矩阵。（ ）19. 任一个n阶矩阵都可作为向量空间V的一个基到另 一个基的过渡矩阵。（ ）20. 若向量空间V的每一个向量都可以表成V中向量，的线性组合，那么dimV=n。 （ ）21. 欧氏空间V的一个正交基到另一个正交基的过渡矩阵是正交矩阵。（ ）22. 正交矩阵是可逆矩阵。（ ）23. 正交矩阵的行列式等于1.（ ）24. 若n阶矩阵A在给定数域内有n个特征值，则A可对角化。（ ）四、计算题1、计算4阶行列式 解：原式=122、已知A=，B=，求满足方程的矩阵。3、在中，求与向量正交的所有向量。解：设向量与向量正交，则即有，则故 为所求。五、综合题1. 在实数域内，试判断矩阵是否可对角化，并说明理由。解：故A的特征值有每个特征值至少有一个特征向量，假设的特征向量分别为根据不同特征值的特向量线性无关可知线性无关设以为列向量为矩阵T，那么T必可逆且故，即A可对角化。2. 证明是的一个基，并求在这个基下的坐标。解：以为列向量的行列式DD=，故向量组线性无关，且所含向量个数为3等于dim（），故该向量组是的一个基。设在该基的坐标为，则有相对应方程组为，解之得x=2,y=-1,z=3向量在基下的坐标为