2022年高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、（ 21）（本小题满分14 分） 08 天津二、双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 F1（）求双曲线 C 的方程.3,0,一条渐近线的方程是5 x2 y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如以 k k0 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点M, N,线段 MN的垂直平分线与两坐81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标轴围成的三角形的面积为,求 k 的取值范畴 .2可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础学问,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算才能满分14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（）解：设双曲线C 的方程为 xa 2y2b21 （ a0,b0 ）由题设得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 29a24x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b5,解得b2a2,所以双曲线方程为1 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

3、_（）解：设直线l的方程为ykxm （ k0 ）点M x1,y1 ,N x2, y2 的坐标满意方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxmx2y2145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2kxm2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将式代入式,得451 ,整理得54k x8 kmx4 m200 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此 方 程 有 两 个 一 等 实 根 , 于 是 54 k 20 , 且8k m 24 5k42 m422 0 整0 理 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m254k 20 可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标 x0,y0 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1x24km, ykxm5m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0254k20054k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而线段 MN 的垂直平分线方程为y5m54k21 x k4km 54k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此 直 线 与 x 轴 , y 轴 的 交 点 坐 标 分 别 为9km54k2,0 ,0,9m54k2 由 题 设 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19km

5、9m8154k 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| |整理得 m2, k0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_254k 254k22| k |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将上式代入式得54k 2 254k 20 ,整理得4k 254 k 2| k |50 , k0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| k |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 0| k |5或 | k |5所以 k 的取值范畴是 ,55 ,00,55,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_244224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、（ 2022 上海理 18）已知双曲线 C :x4y 21 ,P 为 C上的任意点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.（ 2）设点 A 的坐标为 3,0 ,求 |PA |的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解.（ 1）设P x1, y1 是双曲线上任意一点,该双曲的两条渐近线方程分别是x2 y0 和 x2 y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P

7、x , y 到两条渐近线的距离分别是| x12 y1 |和 | x12 y1 | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| x2 y | x2 y | x 24 y 2 |4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它们的乘积是111111. 点 P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5555数.x25124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设的坐标为 x, y ,就| PA |2 x32y2x321 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

8、料_| x |2 ,当 x12 时, | PA |2 的最小值为 4 ,554455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| PA | 的最小值为 25 .53、（ 2022 湖南理 20）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知双曲线 x2y2的左、右焦点分别为F1 ,F2 ,过点F2 的动直线与双曲线相交于A, B 两点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I ）如动点 M 满意F1MF1 AF1BF1O （其中 O 为坐标原点） ,求点 M 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）在 x 轴上是否存在定点C ,使

9、CA CB 为常数？如存在,求出点C 的坐标. 如不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知F12,0 ,F2 2,0 ,设A x1, y1 ,Bx2, y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：（ I ）设M x, y,就 就F1M x2,y ,F1A x12, y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1B x22, y2 ,F1O2,0 ,由F1MF1 AF1BF1O 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1x26,x1x2x4,x4y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1y2即

10、 y1y2y于是 AB 的中点坐标为,22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2x1x2当 AB 不与 x 轴垂直时,y 2x422yx8y1y2,即y x1x2 x8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A, Bx2y22x2y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于两点在双曲线上,所以11, 22,两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 x1x2 y1y2 y1y2 ,即 x1x2 x4 y1y2 y .可编辑资料 -

11、 - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2将y x1x2x8代入上式,化简得 x62y24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.2当 AB 与 x 轴垂直时, x1x22 ,求得M 8,0 ,也满意上述方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以点 M 的轨迹方程是 x62y4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）假设在 x 轴上存在定点Cm,0,使 CA CB 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线AB 的方程是yk x2k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有x代

12、入2y221k 2 x24k 2x4 k 220 .4k 24 k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1, x2 是上述方程的两个实根,所以x1x2k 21 ,x1x2k21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是k21x x2 k 2m xx4k 2m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2122222k14k24k 2km4k2m2k21k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.212mk2244m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 21m2212mk 2

13、1m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于是与 k 无关的常数,所以44m0 ,即 m1,此时=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 2, 2, 2,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 .故在 x 轴上存在定点C 1,0 ,使为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2解法二

14、：（ I ）同解法一的（ I ）有 y1y2x4, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线AB 的方程是yk x2k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有x代入2y221k 2 x24k 2x4 k 220 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1, x2 是上述方程的两个实根,所以4k 2x1x24kk1 .24 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

15、品资料_y1y2k x1x24k4k1k21x4.由得k1 . . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y4kx4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 21 . 当 k0 时, y0 ,由得,y,将其代入有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x4yy4 y x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x4 2y21 x4 2y2. 整理得 x6 2y24 . 当 k0 时,点 M 坐标为4,0,满意上述方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程.当 AB 与 x 轴垂直时, x12x22 ,求得M 8,0 ,也满意上述方程 .可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故点 M 的轨迹方程是 x62y4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）假设在 x 轴上存在定点点Cm,0 ,使 CA CB 为常数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB 不与x1x2x 轴垂直时,由（ I ）有4 k 22k1x1x2,4 k222k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上同解法一的（ II ） .4、21（本小题满分12 分）

17、06 山东可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2双曲线 C 与椭圆 xy1有相同的焦点,直线y3 x为 C 的一条渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_284（ 1）求双曲线 C的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）过点P0, 4 的直线 l ,交双曲线 C 于 A、B 两点,交 x 轴于 Q 点（ Q 点与 C 的顶点不重合） ,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQ1 QA2 QB ,且 128时,求 Q 点的坐标.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_解：（）设双曲线方程为221ab由椭圆184可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求得两焦点为 2,0,2,0,对于双曲线2bC : c2 ,又 y3 x 为双曲线 C 的一条渐近线y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解得aa1,b23 ,双曲线 C 的方程为x213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解法一：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 l 的方程：ykx4, A x1, y1, B x2, y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 Q4 ,0PQQA4 ,4

19、 x4 , y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1kx111k44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_441 x11k 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk441 y1y11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax, y 在双曲线 C 上,16 11 21610可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_163216216 k 2k 220.16k 2 2321616 k 20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

20、_2113113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理有：16k 2 2321616 k20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3如 16k 20, 就直线 l 过顶点,不合题意.16k 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2 是二次方程1622k x32 x16162k30. 的两根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_328k24 ,此时0,k2 .所求 Q 的坐标为 2,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k 2163可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品_精品资料_解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 l 的方程,ykx4, A x , y , Bx , y ,就 Q4 ,0 .PQQA,Q 分 PA 的比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111221k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41x1x4 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由定比分点坐标公式得11k11k 11041 y1y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下同解法一111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法三：由题意知直线l 的斜率 k

22、 存在且不等于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 l 的方程：ykx4, A x , y , Bx , y ,就 Q4 ,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1122PQQAQB,4 ,4x4 , y x4 , y .12111222kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41y12 y2 ,441, 2,y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8112又,即 3 yy2 y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123y1y23y21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 ykx4 代入x21

23、得 33k2 y224 y483k 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 20 ,否就 l 与渐近线平行.24483k224483k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y23k 2, y1y2.323k 23k 23k 2k2Q 2,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法四：由题意知直线l 得斜率 k 存在且不等于零,设l 的方程：ykx4 , A x1, y1, B x2 , y214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x就 Q4 ,0PQQA,4 ,4 x4 , y .k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1

24、k11k14kx14 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14同理1448.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kx24kx14kx243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 212即2k 2 x x5k xx80 .（ * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx又24y22消去得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y133k x8kx190 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 3k0 时,就直线 l 与双曲线得渐近线平行,不合题意,23k0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

25、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2由韦达定理有：8k3k2代入（ *）式得k 24, k2所求 Q点的坐标为 2,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x2193k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求经过两点P1（2,1）和 P2（ m, 2）（ m R的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾斜角 及其取值范畴 .选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解： 1 当 m=2 时, x1 x2 2,直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12当 m 2 时,直线 l

26、的斜率 k=m m 2 时, k0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ =arctan1m, （ 0,）,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m 2 时, k 0 arctan1m, , .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：利用斜率公式时,应留意斜率公式的应用范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2如三点 A 2, 3）, B（3, 2）,C（1 , m）共线,求 m 的值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解： A、B、C 三点共线,可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_23 AB AC,321m3 .122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m=.2说明：如三点共线,就任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解.例 3已知两点 A 1,5, B3, 2,直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线l 的斜率 .选题意图：强化斜率公式.解：设直线 l 的倾斜角 ,就由题得直线 AB 的倾斜角为 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tan2 =AB=232 tan353 . 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan24即 3tan2 +8tan 3=0 ,解得 tan 1 或 tan 3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tan2 3 0, 0 2 90 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 45, tan 1 .3因此,直线 l 的斜率是 13说明：由 2 的正切值确定 的范畴及由 的范畴求 的正切值是本例解法中易忽视的的方.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载