2022年高考第一轮复习数学--导数的应用-答案 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问梳理2.13导数的应用答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设函数 y=fx在某个区间内可导 ,假设 f x 0,就 fx为增函数 ;假设 f x 0,就 fx为减 函数.2求可导函数单调区间的一般步骤和方法.确定函数 fx的定义区间 .求 f x,令 f x=0, 解此方程 ,求出它在定义区间内的一切实根.把函数 fx的间断点即包括fx的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的次序排列起来 ,然后用这些点把函数fx的定义区间分成假设干个小区间.确定 fx在各小开区间内的符号,依据 fx的符号判定函数 f x

2、在每个相应小开区间内的增减性 .1极值的概念设函数 f x在点 x 0 邻近有定义 ,且假设对 x0 邻近全部的点都有f x fx0或 fx fx0 ,就称 fx0为函数的一个极大小值,称 x0 为极大小值点.2求可导函数 fx极值的步骤 .求导数 f x.求方程 f x=0 的根 .检验 f x在方程 f x=0 的根的左右的符号 ,假如在根的左侧邻近为正 ,右侧邻近为负 , 那么函数 y=fx在这个根处取得极大值 ;假如在根的左侧邻近为负 ,右侧邻近为正 ,那么函数 y=fx在这个根处取得微小值 .1设 y=fx是定义在区间 a,b上的函数 ,y=fx在 a,b内有导数 ,求函数 y=fx

3、在 a,b 上的最大值与最小值 ,可分两步进行 .求 y=fx在 a,b内的极值 .将 y=fx在各极值点的极值与f a、fb比较 ,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值 .2假设函数 fx在 a,b上单调增加 ,就 fa为函数的最小值,fb为函数的最大值;假设函数 f a在 a,b上单调递减 ,就 fa为函数的最大值,f b为函数的最小值.特殊提示我们把使导函数 f x取值为 0 的点称为函数 fx的驻点 ,那么1可导函数的极值点肯定是它的驻点,留意这句话中的“可导” y=|x|在点 x=0 处有微小值 f0=0,可是我们在前面已说明过,f 0根本不存在 ,所以点 x=0 不是 fx的

4、驻点 .fx=x3 的导数是f x=3 x2,在点 x=0 处有 f 0=0,即点 x=0 是 fx =x3 的驻点,但从 fx在 ,+上为增函数可知 ,点 x=0 不是 fx的极值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点击双基1. 海淀区高三第一学期期末模拟函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数A. , 3B. ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2C. 3,225D. 2 ,32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： y = xsinx+cosx =sinx+xcosx sinx=xcosx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

5、品_精品资料_当 x3 5,时 ,恒有 xcosx 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22答案： Cy=1+3 xx3 有A. 微小值2,极大值2B. 微小值2,极大值3C.微小值1,极大值1D. 微小值1,极大值3解析： y =3 3x2=31+x1x.令 y=0 得 x1= 1,x 2x 1 时,y 0,函数 y=1+3 xx 3 是减函数 ;当 1 x 1 时,y 0,函数y=1+3x x3 是增函数 ;当 x 1 时,y 0,函数 y=1+3 x x3 是减函数 .当 x=1 时,函数 y=1+3 xx3 有微小值 1;当 x=1 时,函数 y=1+3x x3 有极大

6、值 3.答案： Dfx在 a,b内有定义, x0 a,b,当 xx0 时, f x 0;当 xx0 时, fxx0 是解析 :fx在 x0 处不肯定连续 .答案 :Dfx= x x 在,上的单调性是 .=e解析 : f x=ex ex xe2x 1,当 x 0,+时, f x 0. fx在 0, +上是增函数 .答案 :增函数fx=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,就m 的取值范畴是 .解析 :f x =3x2 +2x+m. fx在 R 上是单调递增函数, f x 0 在 R 上恒成立, 即 3x2+2x+m 0.由=4 4 3m 0,得 m 1 .3答案 :m 13典例剖析【例

7、 1】 求函数 y=2x4x3 的值域 .剖析 :求函数值域是中学数学中的难点,一般可以通过图象观看或利用不等式性质来求解,也可以利用函数的单调性求出值域.此题形式结构复杂,可采纳求导的方法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:函数的定义域由2x4x30求得 x 2.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求导得 y =112x42x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x3=22x42x4.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 y 0

8、得 2x3 2x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x40即x30解得 x 2,即函数 y=2x4 x3 在 2,+上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x32x4,又此函数在 x= 2 处连续 ,在 2,+上是增函数,而f 2= 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=2x4 x3 的值域是 1,+ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述 :函数 y=fx在 a,b上为单调函数,当在a,b上连续时, y=fx在 a,b上也是单调函数 .【例 2】 已知 f x=ax3+bx2+cxa 0在 x= 1 时取得

9、极值,且f1= 1,1试求常数 a、b、c 的值.2试判定 x= 1 是函数的极大值仍是微小值,并说明理由.剖析 :考查函数 fx是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极值点与导数的关系,即极值点必为f x =0 的根建立起由极值点x= 1 所确定的相关等式,运用待定系数法确定 a、b、c 的值 .1解法一 :f x =3ax2+2bx+c, x= 1 是函数的极值点 , x= 1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由根与系数的关系知2b0,3ac1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a又 f 1= 1,

10、a+b+c= 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得 a=13,b=0,c=.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二 :由 f 1=f 1=0,得 3a+2b+c=0,3a 2b+c=0.又 f 1= 1, a+b+c= 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得 a=13,b=0,c=.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解 :fx=1 x323 x, f x=23x2233= x 1 x+1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 1 或 x 1 时,f x 0;当 1 x 1 时, f x 0.

11、 x= 1 时, fx有极大值. x=1 时,fx有微小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 已知函数 fx =2ax 1x 2,x 0,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 f x在 x 0,1上是增函数,求a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求 fx在区间 0,1上的最大值 .剖析 :1要使 fx在 0,1上为增函数,需f x 0,x 0,1 .2利用函数的单调性求最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1由已知可得 f x=2a+ 2x3x 0,1 . a 1.1,fx在 0,1上是增函

12、数, fx 0,即 a 3 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a=1 时, f x=2+ 2x 3数, a 1.对 x 0,1也有 f x 0,满意 fx在 0,1上为增函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 1知 ,当 a 1 时,fx在 0,1上为增函数 , fx max=f1=2a 1.当 a 1 时,令 f x=0 得 x=1,3a 01 1,0 x1时,fx 0;1x 1 时,fx 0.f3a3a3a上是增函数,在1,1减函数 .3ax在0,13a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx max=f 1=3 3 a 2 .3a评述

13、:求参数的取值范畴,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的学问解决较简洁.深化拓展1也可用函数单调性的定义求解.摸索争论函数 fx在区间 D 上的极值与最值有什么联系？闯关训练夯实基础可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. xxsinxx 036可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x x 02C.x sinx0 x2解析：令 Fx=x sinx,就 Fx =1cosx 0当 x 0,x 2n ,n=1,2, .故 Fx在 xx0 时,有 Fx F0=0.答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx=sin3xx+2y+3 =02在点6,3 处的

14、切线方程是62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y+3 =02x 2y 3 =02x+2y 3 =02解析 :由于 fx=3cos3x ,所以所求切线的斜率为f =3 ,切线方程为 y3 = 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6x ,即 3x 2y+3 =0.6222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62答案 :By=x 2xx 0的最大值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 :y =1 2,2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 时, y 0, y=x

15、 2x 在 0,161 上为增函数 .16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时, y 0, y=x 2x 在161 ,+上是减函数 . y=x 2x 在0,+ 上的最大16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值为1 2 = 1 .16168答案 : 184.北京东城区模拟题假如函数y=fx的导函数的图象如以下图所示,给出以下判定 :y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 2 - 1- 3- 1-23O 1245 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx在区间 3,1 内单调

16、递增 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx在区间1,3内单调递减 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx在区间 4,5内单调递增 ;当 x=2 时,函数 y=fx有微小值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=1 时,函数 y=fx有极大值 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就上述判定中正确的选项是 解析 :当 x 4,5时 ,恒有 f x 0.答案 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bfx=2ax+ln x 在 x=1,x=x1求 a、b 的值.1 处取得极值 .2可编辑资料 -

17、- - 欢迎下载精品_精品资料_2假设对 x1,4时, fx c 恒成立,求 c 的取值范畴 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1 f x=2ax b +lnx,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x=2a+b + 1 .x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx在 x= 1 与 x= 1 处取得极值,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f 1=0, f1 =0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2a 2ab14b20,解得a1,0.b1.可编辑资料

18、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求 a、b 的值分别为 1、 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 1得 f x=2 1x 2+ 1 = 1xx22x2+x 1= 1x 22x 1x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 1 , 1 时, f x 0;当 x1 ,4时, f x 0.f 1 是 fx在 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42只有一个微小值, fxmin=f1 =3 ln2.2224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx c 恒成立, c fxmin

19、 =3 ln2. c 的取值范畴为c 3 ln2.6.全国 ,理 19已知 a R ,求函数 f x=x2 eax 的单调区间 .解:f x=2 xeax+ax2eax=2x+ax2eax.当 a=0 时,假设 x 0,就 f x 0,假设 x0,就 f x 0.所以当 a=0 时, 函数 fx在区间 ,0内为减函数, 在区间0,+内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0 时,由 2x+ax2 0,解得 x2 或 x 0;由 2x+ax20,得a2 x 0.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 a 0 时,函数 fx在区间, 在区间 0, +内

20、为增函数 .2 内为增函数,在区间a2,0内为减函数,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0 时,由 2x+ax2 0,得 0 x 2 .a由 2x+ax20,得 x 0 或 x 2 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 a 0 时,函数 fx在区间 ,0内为减函数,在区间0,2 内为增函数,在a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间2,+内为减函数 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_培育才能x R,求证： ex x+1.证明 :设 fx=ex x 1,就 f x=ex 1.当 x=0 时, f x=0,fx=0.可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 0 时, f x 0, fx在 0,+上是增函数 . fx f0=0.当 x 0 时, f x 0,f x在 ,0上是减函数,fx f 0=0.对 xR 都有 fx 0.ex x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.全国,文21假设函数 f x= 1 x331 ax2 +a 1x+1 在区间 1,4内为减函数,在2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间 6,上为增函数,试求实数a 的取值范畴 .解:函数 fx的导数 f x=x2ax+a 1.令 f x=0, 解得 x=1 或 x=a1.当 a1 1,即 a

22、2 时,函数 f x在 1,+上为增函数,不合题意.当 a1 1,即 a 2 时,函数 fx在 ,1上为增函数,在 1,a 1内为减函数,在 a1,+ 上为增函数 .依题意应有当 x 1,4时, f x 0, 当 x 6,+时, f x 0. 所以 4 a 16,解得 5 a 7. 所以 a 的取值范畴是 5,7 .探究创新可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx的图象与函数 h x=x+x1求 fx的解析式.+2 的图象关于点A0, 1对称 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 gx=f x+a,且 gx在区间 0, 2上为减函数,求实数a 的取值范畴 .x

23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 1设 f x图象上任一点坐标为x,y ,点 x, y关于点 A 0, 1的对称点 x,2 y在 hx图象上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 y= x+1+2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y=x+11,即 fx=x+.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 gx=x+ g x=1 xa1 ,xa1,g x在 0, 2上递减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1x2a1 0 在 x 0,2时恒成立 ,x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ax2 1

24、 在 x 0,2时恒成立 . x 0,2时,x2 1 max=3, a 3.思悟小结1. 函数单调性的充分条件,假设f x 0或 0,就 fx为增函数或减函数.2. 函数单调性的必要条件,设 fx在a,b内可导, 假设 fx在a,b上单调递增 或递减, 就 f x 0或 f x 0且 f x在 a,b的任意子区间上都不恒为零.3. 可以用单调性求函数的极值、最值.老师下载中心教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的重点,复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要留意判定端点能否取到,用导数求单调函数的最值时要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

25、资料_留意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数 y=fx=ax3+bx2+cx+d 图象与 y 轴的交点为P,且曲线在 P 点处的切线方程为24x+y 12=0,假设函数在 x=2 处取得极值 16,试求函数解析式 ,并确定函数的单调递减区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y | xp,即 y|x=0 为已知切线方程的斜率x=2 时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极值 ,且极值为 16,找不到与 a、b、c、d 的关系 ,从而无法求出 a、b、c、d,导致错解 .正确思路：由 y=3 ax2+2bx+cf 0=c,切线 24x+y 12=0 的斜率 k= 24, c= 24,把 x=0 代入 24x+y12=0 得 y=12.得 P 点的坐标为 0,12,由此得 d=12, fx即可写成 fx=ax3+bx224x+12.由函数 fx在 x=2 处取得极值 16,就得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_168a4b36,a1,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012a4b24,b3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx=x3+3 x2 24x+12, f x=3x2 +6xf x 0,得 4 x 2.递减区间为4,2.可编辑资料 - - - 欢迎下载