2022年高考数学-数列通项公式求解方法总结 .docx

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1、精品_精品资料_求数列通项公式的十种方法一、公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知数列 an 满意an 12an32 n ,a12 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a2a32n两边除以2n 1 ,得an 1an3,就an 1an3 ,故数列 an 是以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n2n 12n22n 12n22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a122121 为首项,以3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得2an1n 2n1

2、 3 ,所以数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列 an的通项公式为an 3 n1 2n .22nan 1an3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 12 an32 转化为n 1n,说明数列 n 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出an1n22231,进而求出数列 a2 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2n二、累加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列 an 满意an 1an2n1, a11 ,求数列 an的通项

3、公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由an 1an2 n1 得 an 1an2n1 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ananan 1an 1an 2a3a2a2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n112 n212212111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1) n221 n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n1n 2 n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2n11可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 an 的通项公式为ann 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 1an2 n1 转化为an 1an2 n1 ,进而求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n anan 1an 1an 2 a3a2a2a1 a1 ,即得数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例

5、 3已知数列 an 满意an 1a23n1, a13 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由an 1a23n1 得 aa23n1 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1nananan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n 1123n 21232123113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n 13n 23231 n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品_精品资料_2n1313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n33nnn131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an3nn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 1a23n1 转化为an 1an23n1 ,进而求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nananan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1a1 ,即得数列 an的通项公式.可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例4已知数列 an 满意an 13an2 3n1, a13 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： an 13an23n1 两边除以3n 1 ,得an 13n 1an213n33n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an 1an3n 13n2133n 1 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

8、n anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n3naa3n 23n 23n 332313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 21 21 21 21 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33n33n 133n 23323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1 11111 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33n3n3n 13n 232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an因此 n2n11 1

9、3n 13nn12n11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33133223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an2 n3n13n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322nan 1an21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 13an2 31 转化为n 1nn 1,进而求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出 anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 a1,即得数列an的通项公式, 最可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品_精品资料_3n3n 13n 13n 23n 23n 3323133n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后再求数列 an 的通项公式.三、累乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知数列 a 满意 a2 n15na , a3 ,求数列 a 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 a2 n15na , a3 ,所以 a0 ,就 an 12 n15n ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n1nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

11、料_aanan 1na3a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an 2a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n115n12 n215n2 22152211513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 1nn1325 n1 n22 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32n 1n n 152n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 an 的通项公式为an32n 1n n 152n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系an 12n15nan 转化为an 12 n an1) 5n,进而求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1an 1an 2a3a2a2a1a1 ,即得数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6（ 2022 年全国 I 第 15 题,原题是填空题）已知数列 an 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11, ana12a23a3n1a n1n2) ,求 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 ana12a23a3n1an1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an 1a12a23a3n1an 1nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用式式得an 1annan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an1n1) an n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 an 1ann1

14、n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 aanan 1a3a nn143an. a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nan 1an 2222a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 ana12a23a3 n1an1n2) , 取n2得a2a12a2 ,就 a2a1 ,又知a11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a21 ,代入得 an1 3 4 5nn. .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, an 的通项公式为 ann. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注： 此题解题的关键是把递推

15、关系式an 1n1ann2 转化为an 1ann1n2 ,进而求出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1an 1an 2a3a2 ,从而可得当 na22时, an的表达式,最终再求出数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7已知数列 an 满意an 12an35n, a16 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设an 1x5n 12 anx5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、nnn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 an12an35 代入式,得2an35x52an2 x5,等式两边消去2an ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 5nx 5 n 12 x 5n ,两边除以 5n ,得 35x2 x,就x1, 代入式得an 15n 12 an5 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a516510 及式得 a5n0 ,就an 152 ,就数列 a5 n 是以 a511 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

17、精品资料_1首项,以 2 为公比的等比数列,就nna5 nan52nn 1 ,故 a2 n 1n15n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n评注：此题解题的关键是把递推关系式an 12 an35 转化为 an 152 an5 ,从而可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 an5 n 是等比数列,进而求出数列 a5n的通项公式,最终再求出数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8已知数列 an 满意an 13an52n4, a11 ,求数列 an的通项公式.可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设an 1x 2n 1y 3anx2ny可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 an13an52n4 代入式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3an52 n4x 2 n 1y 3anx 2ny可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 52 x2 n4y 3x2n3 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52x令3xx,就5,代入式得可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品_精品资料_4y3yy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1na52 n 123an52 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a15212112130 及式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 a52n20 ,就an 15223 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nna52n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故数列 an52n2 是以1a152211213n为首项,以3 为公比的等比数列,因此可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na52 n2133n 1 ,就 a133n 152n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 13an52n4 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 152 n 123an52 n2 ,从而可知数列 an52n2 是等比数列,进而求出数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a

21、n52n2 的通项公式,最终再求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9已知数列 an 满意an 12an3n 24n5, a11,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设an 12xn1yn1z22anxnynz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 an 12an3n 24n5 代入式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品_精品资料_2an3n24n5xn12y n1z2anxn2ynz ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an3xn22 xy4) n xyz5) 2an2 xn22 yn2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式两边消去 2 an ,得 32xn2 xy4) n xyz25) 2xn2 yn2z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x2 xx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组2xy42 y,就 y10 ,代入式,得可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz52 zz18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 13 n1210 n1182an3n210n18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a131210118131320 及式,得 an3n210n180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an 13n an123n210n10n118182 ,故数列 an3

24、n 210n18 为以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1na3121011813132 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na3n 210n18322n 1 ,就 a2n 43n 210n18 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题解题的关键是把递推关系式an 12an3n 24n5 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

25、迎下载精品_精品资料_an 13 n1210 n1182an3n210n18,从而可知数列 an3n210n18 是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比数列,进而求出数列 an3n 210n18 的通项公式,最终再求出数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、对数变换法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10已知数列 an 满意nan 1235an , a17 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

26、解：由于 a23na 5, a7 ,所以 a0, a0 .在 a23na5 式两边取常用对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n1nn 1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 lg an 15lg ann lg3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 lg an 1xn1y5lg anxny11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将式代入11式,得 5lg ann lg3lg 2xn1y5lg anxny ,两边消去 5lga

27、n 并整理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 lg3xnxylg 25 xn5 y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg3 xyx5xx,故lg 25 yylg3 4lg3lg 2164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 11式,得lg an 1n141645lg ann416412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品_精品资料_由 lg a1lg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 20 及12式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41644164lg3lg3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 lg ann0 ,4164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg an 1lg3 n1lg3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就41645 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg anlg3 nlg3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4164

29、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列lg anlg3 nlg3lg 2 是以lg 7lg3lg3lg 2为首项,以 5 为公比的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41644164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 lg alg3 nlg3lg 2lg 7lg3lg3lg 25n1,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n41644164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg anlg 7lg 3lg 3lg 2 5n 1lg 3 nlg 3lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4164464可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lg 7lg 341lg 361lg 2 45 n 1nlg 341lg 3161lg 2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lg734113161124 5 n 11nlg3 4n1316112 4 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg7 343162 4 5n 1