2022年高考数学课件+训练专题跟踪检测“导数与函数的零点问题”考法面面观理 .docx

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1、精品_精品资料_专题跟踪检测五“导数与函数的零点问题”考法面面观1 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12022 全国卷 已知函数 f x (1) 假设 a 3,求 f x 的单调区间.(2) 证明： f x 只有一个零点x a x x 1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 32解： 1 当 a 3 时, f x 3x 3x 3x 3,2f x x 6x3.令 f x 0,解得 x 3 23或 x 3 23.当 x , 3 23 3 23, 时, f x0 .当 x3 23, 3 23 时, f x0,x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

2、所以 f x 0 等价于 xx3 x 3a0. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 g x x2x 3a, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 gx x2x2 2x 3x2x 12 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仅当 x 0 时, gx 0,所以 g x 在 , 上单调递增故 g x 至多有一个零点,从而f x 至多有一个零点211 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 3 a 1 6a 2a故 f x 有一个零点综上, f x 只有一个零点 6 a3 60, 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、22022 郑州第一次质量猜测 已知函数 f x lnx ax a, a R 且 a0.(1) 争论函数 f x 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当 x1xe, e 时,试判定函数 g x lnx 1eax 1 x m的零点个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 f x ax2 x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 恒成立,函数 f x 在0 , 上单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aax 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,由 f x ax20,得 x .

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f x ax20,得 0xa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x 在11, 上单调递增,在0,aa上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,当 a0 时,函数 f x 在111, 上单调递增,在0,aax上单调递减e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 xe, e 时,判定函数 g x lnx 1e x m的零点,即求当 x, e 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx方程 lnx 1e xm的根

5、 令 h x lnx 1e x,1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 hx lnx 1 e 1.x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1 知当 a 1 时, f x lnx1 1 在x, 1 上单调递减,在 1 , e 上单调递增, e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x e, e 时, f x f 1 0.e11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x lnx10在 x1, e 上恒成立x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ hx x lnx 1 e 10 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ h x lnx 1e x 在x11, e 上单调递增e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ h xmin1 h e 2e e1 , h x emaxe.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 me 时,函数 g x 在1e, e 上没有零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 2e e 1 me时,函数 g x 在e1e, e 上有一个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32022 贵阳模拟 已

7、知函数 f x kxlnx 1 k0 (1) 假设函数 f x 有且只有一个零点,求实数k 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*(2) 证明：当 n N 时, 112131lnnn1 1kx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 法一： f x kx lnx1, f x k x x x0, k0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 0xk时, f x11时, f x0.k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在 0, k上单调递减,在 k,上单调递增可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x min f1k lnk,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 有且只有一个零点,lnk0, k 1.法二：由题意知方程kxlnx 1 0 仅有一个实根,lnx 1由 kx lnx 1 0,得 kx x0 ,lnx1 lnx令 g x x x0 ,gx x2,当 0x0 . 当 x1 时, gxlnn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11123n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 12 3 nln ln 12 lnn ln n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111故 1 2

9、3 nln n1 f x ax3 bx2 c 3a 2b x d 的图象如下图(1) 求 c, d 的值.(2) 假设函数 f x 在 x 2 处的切线方程为3x y11 0,求函数 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的解析式.(3) 在2 的条件下,函数 y f x 与 y m的取值范畴13f x 5x m的图象有三个不同的交点,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：函数 f x 的导函数为 f x 3ax 2bx c 3a 2b.1 由图可知函数f x 的图象过点 0,3 ,且 f 1 0,可编辑资料 -

10、 - - 欢迎下载精品_精品资料_d 3,得 3a 2b c 3a 2b 0,解得d 3,c 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 由1 得, f x ax3bx2 3 a2b x 3, 所以 f x 3ax 2bx3 a 2b 由函数 f x 在 x 2 处的切线方程为 3x y11 0,f2 5,得f 2 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8a 4b6a 4b 3 5,所以 12a 4b 3a 2b 3,解得a 1,b 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32所以 f x x 6x 9x 3.23 由2 知 f x x3 6x2 9x

11、3, 所以 f x 3x 12x 9.1函数 y f x 与 y 3f x 5xm的图象有三个不同的交点,322等价于 x 6x 9x3 x 4x 3 5x m有三个不等实根,322等价于 g x x 7x 8x m的图象与 x 轴有三个不同的交点 由于 gx 3x 14x 8 3 x 2 x 4 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 gx 0,得 x或 x 4.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时, gx , g x 的变化情形如表所示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x, 3323 , 444 ,可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_gx00g x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2g 3 68 m, g4 16m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_268可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g当且仅当3 27 m0,时, g x 图象与 x 轴有三个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g4 16m068解得 16m.2768所以 m的取值范畴为 16,27 .25 20 18南宁二中、柳州高中二联 已知函数 f x lnx ax 2 a x.(1) 争论 f x 的单调性.可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设 f x 的两个零点是x1, x2,求证： f x1 x220 ,就 f x 在 0 , 上单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a0 时,假设 x 0,a ,就 f x0 ,假设 x1, ,就 f x0,且 f x 在 0, a 上单调递增,在, 上单调递减,不妨设0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 ,x1 x2x1 x2 12aax1 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2af 2 . x1 x2a,故要证 f 2a即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造函数

14、 F x f x f21 x , x 0, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa222axax 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx f x fa x f x f a xx2 ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ax 1x2 ax,212ax 1 x 0, a , Fx x2 ax0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F x 在 0, 1a上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F x Fa fa fa a 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_21即 f x fa x , x 0, a ,1又 x1, x2 是函数 f x 的两个零点且 0x1 x2,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1 f x2a x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1 x2a,得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：对数平均不等式法1易知 a0,且 f x 在 0, a 上单调递增,1在 a, 上单调递减,1不妨设 0x1ax2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x22f x1 x2 1 .a由于 f x 的两个零点是 x1, x2,22所以 lnx1 ax1

16、2 a x1 lnx2 ax2 2 a x2,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 lnx1 lnx22 x1 x2 a x1 x2 x1 x2 ,lnx1 lnx2 2x1x2x1 x2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ax22,以下用分析法证明,要证 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x2 x1 x22a22x1 x2x1 x2 x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即证21x2x1x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnx ln2x1 x2x1 x212即证,lnx1 lnx2x1 x2

17、 2lnx1 lnx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即证 xx1 x2 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x22只需证x1 x2 1lnx1lnx2x1x2x1 x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lnx1 lnx2依据对数平均不等式,该式子成立,x1 x2所以 f 20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法三：比值 差值 代换法由于 f x 的两个零点是 x1, x2, 不妨设 0x11 , g t x22t 11 t lnt ,就当 t 1 时,1gt tt 1t 122 1 时,g t g1 0,所以 f x1x

18、221 时,求 f x 的单调区间和极值.2 假设对任意x e , e ,都有 f x4ln2x 成立,求 k 的取值范畴.3 假设 x1 x2,且 f x1 f x2 ,证明 x1x21,所以 f x lnx k0,所以函数 f x 的单调递增区间是 1 , ,无单调递减区间,无极值kkkkk当 k0 时,令 lnx k 0,解得 x e , 当 1xe 时, f xe 时, f x0.kkk所以函数 f x 的单调递减区间是 1 ,e ,单调递增区间是e , ,在 1 , 上的微小值为 f e kk 1e e ,无极大值(2) 由题意, f x 4lnx0,2即问题转化为 x 4lnx k

19、 1 xx对任意 x e , e 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g x 就 gx x 4lnx2x,x e ,e ,4lnx x 4x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24令 t x 4lnx x 4,x e , e ,就 t x x10,2所以 t x 在区间 e , e 上单调递增,故 t x min t e 4e 4 e0,故 gx0 ,228所以 g x 在区间 e , e 上单调递增,函数g x maxge 2 e2.x 4lnx28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 k 1x对任意 x e ,e 恒成立,只要 k 1

20、g x max,所以 k 12 e2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8解得 k1 e2,8所以实数 k 的取值范畴为1 e2, .k(3) 证明：法一：由于f x1 f x2 ,由 1 知,当 k0 时,函数 f x 在区间 0 , e 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调递减,在区间 ek, 上单调递增,且f ek 1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk 1不妨设 x1x2,当 x0时, f x 0,当 x时, f x ,就 0x1e x2e,ee2k2 k2kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要证 x1x2e,只需证

21、 x2x1,即证 e x2x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k由于 f x 在区间 e , 上单调递增,e2k所以只需证 f x2 f,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x1 f x2 ,即证 f x1 fe2kk2ex1 ,ee2k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造函数 h x f x fx lnx k 1 x lnx k1x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2klnxk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 h x xlnx k 1 x exx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

22、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_hx lnx1 k 1 ex2e2k2k1 lnxx2k 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ lnx kx2,k22k当 x0 , e 时, lnx k0, x 0 ,kk所以函数 h x 在区间 0 ,e 上单调递增, h x he ,2kkke可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 he f e fek 0,故 h x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f x1 fe2k2kx,即 f x2 f x1 fe1x1,所以 x1x2e成立2k法二：要证x1x2e2k成立,只要证lnx1

23、 lnx2 2k.由于 x1x2,且 f x1 f x2 ,所以 lnx1 k 1 x1 lnx2 k 1 x2, 即 x1lnx1 x2lnx2 k 1 x1 x2 ,x1lnx1 x2lnx1 x2lnx1 x2lnx2 k1 x1 x2 ,即 x1 x2lnx1 x lnx12x k 1 x1 x ,22x1k 1lnx1xx ,同理x2ln xx1ln21 2k1 lnx2 xx1x21 2x ,x2ln xx12x1ln从而 2k lnx1 lnx2 xx1x21 x2 2,x1 x2x 0,不妨设 0x x ,就 0 t 0,即证t 1t 1lnt2,即证 lnt 2 t 1对 t 0,1t 1恒成立,设 h t lnt 2 t ,当 0t 0,12e.2k所以 h t 在 t 0,1上单调递增, h t h1 0,得证,所以x x可编辑资料 - - - 欢迎下载