2022年高考数学一轮复习第十四章推理与证明数学归纳法对点训练理 .docx

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1、精品_精品资料_2022 高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.3数学归纳法对点训练 理n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11已知数列 an 的各项均为正数,bn n 1 nan n N , e 为自然对数的底数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 求函数 f x 1 xex 的单调区间,并比较1 1n与 e 的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b1a2运算 ,1b1b2 a1a ,b1b2b33a1a2a ,由此估计运算1b1b2 bn

2、na1a2 a 的公式,并给出证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 令 cn a1a2 ann,数列 an , cn 的前 n 项和分别记为 Sn ,Tn,证明： Tn0 ,即 x0 时, f x 单调递增.当 f x0 时, f x 单调递减x故 f x 的单调递增区间为 , 0 ,单调递减区间为0 , 当 x0 时, f x f 0 0,即 1 xe .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11令 x111,即 1e. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n ,得en可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnb11 1b1b2b1b21

3、 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 1a111 1 2.a1a2a1a222 1 22 1 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b2b3b1b2b321 333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2a3a1a2a33 3 1 3 3 1 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此估计：b1b2 bnnan1a2 a n 1 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明.a. 当 n 1 时,左边右边 2,成立b1b2 bkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. 假设当

4、n k 时,成立,即a1 a2 ak k 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k当 nk 1 时, bk 1 k 11k 1k 1 ak 1,由归纳假设可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1b2 bkbk 1a1a2 akak 1b1b2 bka1a2 akbk 1 k1 ak 1 k1 11k1k 1 k 2k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cn所以当 n k 1 时,也成立依据 a、b,可

5、知对一切正整数n 都成立3 证明： 由 cn 的定义, ,算术- 几何平均不等式,bn 的定义及得 Tn c1 c2 c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1 1b1 b2b1 b2 b3b1 b2 bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2311341nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21b2 2231nn 111 bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 34nn 1nn112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_11111b1b2bn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn b1 1 n 1 b2 2 n 1 bn 1 1 2 n 11a1 1 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1nnanea1 ea2 ean eSn. 即 Tn1 (1) 争论 f x 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 设 a1 1, an 1 ln an 1 ,证明： n3 an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解1 f x 的定义域为 1, ,x x a2 2an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x xx a2.2

7、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1a0 , f x 在 1, a 2a 是增函数.22如 x a 2a, 0 ,就 f x0 ,f x 在0 , 是增函数当 a2 时, f x 0, f x 0 成立当且仅当x 0, f x 在 1, 是增函数.当 a2 时,如 x 1,0 ,就 f x0 , f x 在 1,0 是增函数.22如 x0 , a 2a ,就 f x0 , f x 在 a 2a, 是增函数2 证明：由 1 知,当 a 2 时, f x 在 1, 是增函数 当 x0 , 时, f x f 0 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x即 ln x

8、 1 x2 x0 又由 1 知,当 a 3 时, f x 在0,3是减函数 当 x0,3时, f x f 0 0,3x即 ln x 1 x30 x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明23n an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n223当 n 1 时,由已知 a1 1,故结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设当 n k 时结论成立,即23 lnk2k 2222 k 22k 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22k 3k 223 33k 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak 1ln

9、 ak 1 lnk 2 1 3 k 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即当 n k 1 时有k0 ,设 f n x 为 f n1 x 的导数, nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求 2f 12 f 222的值.*2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 证明：对任意的 n N ,等式nf n14 4 f n4 2 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由已知,得f 1 x f 0x sin xxcosxxsin xx2,于是 f 2 x f 1x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxxsin

10、 xx2sin xx2cos xx22sin xx3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f 12 2, f 22 3. 故 2f 12 2 f 22 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 证明：由已知,得 xf 0 x sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f 0 x xf 0x cos x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f 0 x xf1 x cosx sinx,类似可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22f 1 x xf 2 x sin x sin x ,

11、33f 2 x xf 3 x cosx sinx 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4f 3 x xf 4 x sin x sin x 2 下面用数学归纳法证明等式nf n 1 x xf n x sinx当 n 1 时,由上可知等式成立n*2对全部的 nN 都成立k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设当 n k 时等式成立,即 kf k 1 x xf k x sinx2成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 kf k 1 x xf k x kf k 1x f k x xf kx k 1 f k x xf k 1 x ,可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_sinxk2 cos xkkk2 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sinx2,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 k 1 f k x xf k 1 x sinx2.因此当 n k 1 时,等式也成立n*综合,可知等式nf n1 x xf n x sinx 2对全部的 n N 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x ,可得 nf4n 14 f n44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin4 2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 nf n 14 4 f n4 2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载