多元函数极值与最值.ppt

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1、关于多元函数极值与最值现在学习的是第1页，共25页1. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点极值可疑点 :使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2) 第一充分条件第一充分条件)(xf 过过0 x由由正正变变负负)(0 xf为极为极大大值值)(xf 过过0 x由由负负变正变正)(0 xf为极为极小小值值(3) 第二充分条件第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极为极大值大值)(0 xf为极为极小小值值0)(,0)(00 xfxf.定定义义)()(0 xfxf 均均有有,)()(0的的一一个个极极大大值值是是则则称称xfxf.0是极值点是极值点x)(极小值极小值,

2、)(0时时当当xUx )()(0 xfxf 回顾回顾:现在学习的是第2页，共25页xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf 或2243yxz22yxz yxz ),(),(00yxyxfz在在点点 的某邻域内有

3、的某邻域内有xyzxyz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第3页，共25页2 2、驻点、驻点 使一阶偏导数同时为零的点称为函数的使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点 0),(0),(0000yxfyxfyx为驻点为驻点),(00yx是是驻驻点点但但不不是是极极值值点点点点如如)0,0(yxz 是是极极值值点点但但不不是是驻驻点点点点如如)0,0()0 , 0(),( ,0)0 , 0(),( ,),(22 yxyxyxyxf驻点驻点极值点极值点注注意意现在学习的是第4页，共25页:),(极值的方法极值的方法求二元函数求二元函数yxfz )( 与与一一

4、元元函函数数相相类类似似, ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的极值点找出可能的极值点一一,. 偏偏导导数数不不存存在在的的点点1驻驻点点.2?, ),(, ),(.2211极大还是极小极大还是极小是否极值点是否极值点判定判定二二yxyx. 按按定定义义12.2定定理理现在学习的是第5页，共25页时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数

5、的的在在点点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000 yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 BAC02 BAC02 BAC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 驻点驻点现在学习的是第6页，共25页例例1.1.求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC ),(yxfx09632 xx ),(yxfy0632 yy的

6、极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC5)0,1( f,0 Axyxyxyxf933),(2233 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第7页，共25页在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC)0,3( f6,0,12 CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0

7、A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12 CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第8页，共25页例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时时当当 yx222)(yxz 0)0,0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz 222)(yxz 在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 BA

8、C33yxz 可能为可能为0)()0 , 0()0,0(222 yxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第9页，共25页二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域当区域内部内部最值存在最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第

9、10页，共25页例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx 2 Ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx0)(222 xxyA0)(222 yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均

10、为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第11页，共25页xyo6 yxD.上上的的最最大大值值与与最最小小值值在在求求函函数数Dz, )4(. 42yxyxz 设二元函数设二元函数例例,轴轴所所围围成成轴轴和和由由直直线线闭闭区区域域YXyxD6内的驻点内的驻点先求函数在先求函数在解解D.12yxPD的的坐坐标标内内唯唯一一驻驻点点得得04042222yxyxxzyxyxyxzyx)()(由由412),()(zPz0zYX,轴上轴上轴与轴与在在现在学习的是第

11、12页，共25页6424),(z,上上在在直直线线6 yxxy 6)(yxyxz42)()(262xx)(2362xx )(xxxdzd12322)(46xx0令令4 x26xyxyo6 yxD.),(min6424 zz,的边界上的边界上所以在所以在 D,max0z:,),()(得得相相比比较较与与412 zPz.),(为为最最大大值值412z,),(为最小值为最小值6424z)(yxyxz42现在学习的是第13页，共25页三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无

12、条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下下在在条条件件 yx 的极值的极值求函数求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中中解解出出从从条条件件)(,(xxfz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第14页，共25页,0),(下下在条件在条件 yx 方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(的的极极值值求求函函数数yxfz 例如例如0 xF0 yF0),( yxF ),(),(yxyxfF 函函数数作作

13、Lagrange. 1求可能的极值点求可能的极值点. 2现在学习的是第15页，共25页,0),(下下在在条条件件 yx 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值的极值求函数求函数yxfz 0),( yx , )(xy)(,(xxfz 例如例如,故故 0dddd xyffxzyx,ddyxxy 因因0 yxyxff yyxxff 故有故有 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第16页，共25页引入

14、辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第17页，共25页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 .

15、 例如例如, 下下在条件在条件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(21zyxzyxzyxfF 0 xF0 yF0 zF01 F02 F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数的极值的极值. .现在学习的是第18页，共25页例例5.要设计一个容量为要设计一个容量为0V则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件 xF02 zyyz yF02 zxxz zF0)(2 yxyx F00 Vzyx水

16、箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0VzyxyxzyzxS)(2 yxzyzxF)(2xyz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(0Vzyx 现在学习的是第19页，共25页得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx 3024V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,340Vxyz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第20页，共25页内容小

17、结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第21页，共25页设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程

18、组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在学习的是第22页，共25页将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解现在学习的是第23页，共25页,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页