2022年高考文科数学复习数列 .docx

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1、精品_精品资料_数列专项数列的概念与简洁表示法112022 上海卷 无穷数列 an 由 k 个不同的数组成, Sn 为 an 的前 n 项和 假设对任意 n N* , Sn 2 ,3 ,就 k 的最大值为解析 由 Sn 2 ,3 ,得 a1 S1 2 , 3 将数列写出至最多项,其中有相同项的情形舍去,共有如下几种情形： a1 2, a2 0, a3 1,a4 1. a1 2, a2 1, a3 0,a4 1. a1 2, a2 1, a3 1, a4 0. a1 3, a2 0, a3 1, a4 1. a1 3, a2 1, a3 0, a4 1. a1 3, a2 1, a3 1, a4

2、 0.最多项均只能写到第4 项,即 kmax 4. D2等差数列及等差数列前n 项和12D22022 北京卷 已知 an 为等差数列, Sn 为其前 n 项和假设 a1 6,a3 a5 0, 就 S6212 6 解析 设等差数列 an 的公差为 d,由于 a3 a5 0,所以 62d 6 4d 0, 解得 d 2,所以 S66 6 65 2 36 30 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 D2 2022江苏卷 已知 an 是等差数列, Sn 是其前 n 项和假设 a1 a2 3, S5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_210,就 a9 的值是8 20 解析 由

3、于 S55a3 10,所以 a3 2,设其公差为d,2就 a1 a2 2 2d 2 d2 d2 6d 6 3,解得 d3,所以 a9 a36d 2 18 20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 D2 2022 全国卷 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27, a10 8,就 a100 A 100B 99C98D 97可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3C 解析 a10 90d 98.a1 a9 927,可得 a 25 3,所以 a10 a55d 5,所以 d 1,所以 a100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19 D2, D4 , H6 20

4、22 四川卷 已知数列 an 的首项为 1, Sn 为数列 an 的前 n 项和, Sn 1 qSn 1,其中 q0, n N*.(1) 假设 2a2, a3, a2 2 成等差数列,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设双曲线 x2y2a32 1 的离心率为 en,且 e2n5,证明： e1 e2 en4n 3n 3n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19 解： 1 由已知, Sn 1 qSn 1, Sn 2 qSn 1 1,两式相减得到 an 2 qan 1, n1.又由 S2qS1 1 得到 a2qa1,所以 an 1

5、qan 对全部 n1 都成立,所以,数列 an 是首项为 1,公比为 q 的等比数列, 从而 anqn 1.由 2a2, a3 , a2 2 成等差数列,可得2a3 3a2 2,即 2q2 3q 2,就 2q 1 q2 0, 由已知, q0,故 q 2,所以, an2n 1n N*2证明：由 1可知, an qn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以双曲线 x2y1 的离心率 e22n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ann1 an1 q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 e21 q25,解得3q 43负值舍去 可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_由于 1 q2 k 1q2 k1 ,所以 1 q2 k 1qk 1k N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 e1 e2 en1 q qn1 qn 1,q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 e1 e2 en4n 3n 3n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. D22022 全国卷 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和, 且 a1 1,S7 28.记 bn lg an ,其中 x 表示不超过 x 的最大整数,如 0.9 0, lg 99 1.1求 b1,

7、b11, b101.2求数列 bn 的前 1000 项和17 解： 1 设 an 的公差为 d,据已知有 7 21d 28,解得 d 1, 所以 an 的通项公式为an n.故 b1 lg 1 0, b11lg 11 1, b101 lg 101 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 bn0, 1n 10,1, 10 n 100,2, 100 n 1000,3, n1000,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 bn 的前 1000 项和为 1 90 2 900 3 1 1893.18. D2,D4 2022 山东卷 已知数列 an 的前 n 项和 S

8、n 3n2 8n, bn 是等差数列,且an bnbn 1.(1) 求数列 bn 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 令 c an 1n1,求数列 c 的前 n 项和 T .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nbn 2nnn18 解： 1 由题意知,当n 2 时, an Sn Sn1 6n 5, 当 n1 时, a1 S1 11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an6n 5.设数列 bn 的公差为 d.a1 b1b2,由a2 b2b3,11 2b1d即17 2b1 3d,b1 4,解得d 3,所以 bn3n 1.可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1 知 cn6n6n 1n 3n 1 2n1. 3n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 Tn c1 c2 cn,得 Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1,n 32 2,2T3 3 24 n 1 2n2两 式 作 差 , 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 3 4 4 1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 n 1 2n 2 3n2n 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 Tn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品_精品资料_n3n2.18D2 2022 天津卷 已知 an 是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 n N *,bn 是 an 和 an 1 的等比中项22*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 cn bn 1 bn, n N,求证：数列 cn 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n2设 a1 d, Tn,求证：2d2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 118 证明： 1 由题意得 b2 anan 1,有 cn b2 b2 an1an2 anan1 2dan 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 c

11、n 1 cn 2dan2 an 1 2d2,所以 c n 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22222 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2T b 1 b 2 b 3 b 4 b 2n1 b 2n 2da2 a4 a2n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d na2 a2n 2d22nn 1,所以12 11 1 2.2dn 12d6D2 2022 浙江卷 如图 1-1,点列 An , Bn 分别在某锐角的两边上,且|AnAn 1| |An 1An 2|, An An 2, n N*, |BnBn1 | |Bn 1Bn 2|, Bn Bn

12、 2,n N*.P Q 表示点 P 与 Q 不重合 假设 dn|AnBn|, Sn 为 AnBnBn1 的面积,就 图 1-12A Sn 是等差数列B Sn 是等差数列C dn 是等差数列nD d2 是等差数列6A 解析 由题意得, An 是线段 An1 An 1n 2的中点, Bn 是线段 Bn 1Bn 1n 2的中点,且线段 AnAn1 的长度都相等,线段 BnBn 1 的长度都相等过点 An 作高线 hn.由 A1 作高线 h2 的垂线 A1C1,由 A2 作高线 h3 的垂线 A2C2,就 h2 h1 |A1A2|sin A2A1C1, h3 h2|A2A3|sin A3 A2 C2.

13、而|A1A2| |A2A3|, A2A1C1 A3A2 C2 ,故 h1,h2, h3 成等差数列,故 Sn是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D3等比数列及等比数列前n 项和*20A1 、D3 、D52022 江苏卷 记 U 1 ,2, 100 对数列 an nN 和 U 的子集 T,假设 T .,定义 ST0.假设 T t1, t2 , tk ,定义 ST at1at2 atk.例如： T 1 , 3, 66 时, ST a1 a3 a66.现设 an n N *是公比为 3 的等比数列,且当T 2 ,4 时, ST 30.1求数列 an 的通项公式.2对任意正整数

14、k1 k 100,假设 T. 1 , 2, k ,求证： ST 0,n N *,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23所以 ST a1 a2 ak 1 3 3k1 1k 13 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此, STak1.3证明：下面分三种情形证明假设 D 是 C 的子集,就 SC SC D SC SD SD SD 2SD.假设 C 是 D 的子集,就 SC SC D SC SC 2SC2SD .假设 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集令 E C.UD , F D .U C,就 E ., F., EF .于是 SC SE SCD , SD S

15、F SCD,进而由 SCSD ,得 SE SF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 k 是 E 中最大的数, l 为 F 中最大的数,就 k 1, l 1,k l .l 1k由2知, SEak 1,于是 3 al SF SEak 1 3 ,所以 l 1k,即 l k.又 k l,故 l k 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 Sl 1 3l 1k 1 13 ak 1SE 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F a1 a2 al 1 3 32222,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 SE 2SF 1,所以 SCSC D 2S

16、D SC D 1, 即 SCSC D 2SD 1.综合得, SC SC D2SD .15 D32022 全国卷 设等比数列 an 中意 a1 a3 10,a2 a4 5,就 a1a2 an 的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15 64 解析 设该等比数列的公比为q,就 q8,所以 an 81n 1 1n 4.a2 a4 a1 a312,可得 a114a1 10,得 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222所以 a1a2 an 1 3 2 1 0 n 4,易知当 n 3 或 n 4 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12 7n 取得最

17、小值 6,故 a 21a2 an 的最大值为16 64.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17 D3、D4 2022 全国卷 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 1an,其中 0. 1证明 an 是等比数列,并求其通项公式.312假设 S5 32,求 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_117 解： 1 由题意得 a1S1 1 a1,故 1,a1,a10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 由 Sn 1 na, Sn 1 1an1 得 an 1 an 1 an,即 an 1 1 an.由 a1 0, 0an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_得 an 0,所以an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 a1,公比为的等比数列,于是a1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 是首项为1 1n1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1 得 S 1n,由 S 31得 1 5 31,即 5 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1532 132 132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 1.5D32022 四川卷 某公司为勉励创新, 方案逐年加大研发资金投入 假设该公司 2022 年

19、全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,就该公司全年投入的研发资金开头超过 200 万元的年份是 参考数据： lg 1.12 0.05, lg 1.3 0.11,lg 2 0.30 A 2022 年 B 2022 年C2022 年 D 2022 年5 B 解析 设 x 年后该公司全年投入的研发资金开头超过200 万元, 由题可知, 1301 12% x 200,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 xlog 1.12200130lg 2 lg 1.3 3.80, lg 1.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 x

20、为整数,所以 x 取 4,故开头超过 200 万元的年份是2022 年5 D3 、A2 2022 天津卷 设 an 是首项为正数的等比数列,公比为q,就 “q0”是“对任意的正整数n, a2n1 a2n0”的 A 充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件2n 25 C 解析 设数列的首项为 a1,就 a2n 1a2n a1q1 q0,即 q1,应选 C.13 D32022 浙江卷 设数列 an 的前 n 项和为 Sn.假设 S2 4, an 1 2Sn 1, nN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a1, S513 1121解析 由 an1 2

21、Sn 1,得 an 2Sn 1 1n 2,两式相减得, an1 an2 SnSn 1 2an,即 an1 3an n 2,而 a2 2a1 1,S2a1 a2 4,解得 a1 1,a2 3,1 135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 an 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以S5 121.1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17 D32022 上海卷 已知无穷等比数列 an 的公比为 q,前 n 项和为 Sn ,且 Sn S.以下条件中,使得 2Sn0 , 0.6 q0.7Ba10 , 0.7q0 , 0.7 q0.8D a10 , 0.8q 0.7可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 qn117B解析 由题意得 2a1 1 q a110|q|0q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, qn1,结合选项知该不等式不恒成立,舍去.当a10 时, qn1. q20, n N*.(1) 假设 2a2, a3, a2 2 成等差数列,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设双曲线 x2y2a32 1 的离心率为 en,且 e2n5,证明： e1 e2 en4n 3n 3n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19

23、 解： 1 由已知, Sn 1 qSn 1, Sn 2 qSn 1 1,两式相减得到 an 2 qan 1, n1.又由 S2qS1 1 得到 a2qa1,所以 an 1 qan 对全部 n1 都成立,所以,数列 an 是首项为 1,公比为 q 的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 anqn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2a2, a3 , a2 2 成等差数列,可得2a3 3a2 2,即 2q2 3q 2,就 2q 1 q2 0, 由已知, q0,故 q 2,所以, an2n 1n N*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2

24、证明：由 1可知, a qn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以双曲线 x2y1 的离心率 e 1 a21 q2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2nn.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 e21 q25,解得3q 43负值舍去 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1 q2 k 1q2 k1 ,所以 1 q2 k 1qk 1k N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 en1 qn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 e2 e

25、n1 q qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 e1 e2 en4n 3n 3n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18D2,D4 2022 山东卷 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 8n, bn 是等差数列,且an bnbn 1.(1) 求数列 bn 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 令 cn an 1n1bn 2n ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18 解： 1 由题意知,当n 2 时, an Sn Sn1 6n 5, 当 n1 时, a1 S1 11

26、,所以 an6n 5.设数列 bn 的公差为 d.a1 b1b2,由a2 b2b3,11 2b1d即17 2b1 3d,b1 4,解得d 3,所以 bn3n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由1 知 cn6n6n 1n3n3 3n 1 2n1. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 Tn c1 c2 cn,得 Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1,2Tn 32 2,3 3 24 n 1 2n2两 式 作 差 , 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 3 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1 2n

27、12 n 1 2n2 3n2n 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 Tn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3n2.D5 单元综合20 D5, A1 2022 北京卷 设数列 A： a1,a2, aNN 2假如对小于 n2 n N 的每个正整数 k 都有 aka1,就 GA .(3) 证明：假设数列 A 中意 an an1 1n 2,3, N,就 GA的元素个数不小于aNa1.20 解： 1GA的元素为 2 和 5.(2) 证明：由于存在 an 使得 ana1,所以 i N *|2 i N, aia1 .记

28、 m min i N * |2i N, aia1 ,就 m 2,且对任意正整数km, ak a1a1.由2知 G A .设 GA n1, n2, np ,n1n2 np.记 n0 1,就 an0an1an2 anp.对 i 0, 1, p,记 Gi kN *|niani 假如 Gi .,取 mi min Gi,就对任何 1 kmi, akaniami .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 mi GA且 mi ni 1.又由于 np 是 GA中的最大元素,所以Gp.从而对任意 np k N, ak anp,特别的, aN anp.对 i 0, 1, p1, ani 1 1 an

29、i.因此 ani 1 ani 11 ani 1 ani 1 1 ani 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 aN a1 anp a1pani ani 1 p.i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 GA 的元素个数 p 不小于 aN a1.20A1 、D3 、D52022 江苏卷 记 U 1 ,2, 100 对数列 an nN *和 U 的子集 T,假设 T .,定义 ST0.假设 T t1, t2 , tk ,定义 ST at1at2 atk.例如： T 1 , 3, 66 时, ST a1 a3 a66.现设 an n N *是公比为 3 的等比数列,且当T 2 , 4 时, ST 30.1求数列 an 的通项公式.2对任意正整数 k1 k 100,假设 T. 1 , 2, k ,求证： ST ak 1.3设 C. U , D. U, SC SD ,求证： SC S