2022年高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结 .docx

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1、精品_精品资料_1. 均值不等式法例 1设 Sn1 22 3n n1 .求证n n1Sn2 n1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知函数f x11a 2bx,如f 145,且 f x 在0 , 1 上的最小值为12,求证：f 1f 2f nn12n 11 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nCCnn例 3 求证 C 123n 1Cn2nn2 n1, nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知 a2a2a21, x2x2x21 ,求证：a1x1a2 x2an xn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1

2、2n2. 利用有用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 求证 1例 6 已知函数11f x111 3512 xlg112n13x n2n1 x1.a nx,0a1,给定 nN , n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：f 2 x2 f x xn0 对任意 nN 且 n2 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7已知 a11,an 11n2ann2 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ I 用数学归纳法证明 an2

3、n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ II 对 ln1xx 对 x0 都成立,证明 ane2 （无理数 e2.71828）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 已知不等式1111 log2 n , nN ,n2 . log 2 n表示不超过log 2n 的最大整数.设正数数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 an 满意： a1bbn0, an2nan 1, n2. 求证 an2b,n3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再如：

4、设函数 f xexx .nan 12blog 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nk ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求函数f x 最小值.（）求证：对于任意nN ,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9设 an1 n1n,求证：数列 an 单调递增且 an4.k 1ne1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1113. 部分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10设 an1aa23a , a n2 , 求证： an2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

5、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11设数列an 满意 an 12na1 nNann11,当 a113 时证明对全部 n11, 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i ann2 .ii 1a11a 2.1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12设 n1, nN ,求证 2 n38 n1n4 .添减项放缩.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13 设数列 an 满意 a12,an 1an1 n an1,2,. 证明 an2n1对一切正整数 n 成立.可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品_精品资料_5利用单调性放缩 :构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14 已知函数f x32axx2的最大值不大于1,又当 x6 1 , 1 4 2时1f x. 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a1 , af a, nNa1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求 a 的值.（）设1n 1n2,证明nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15 数列xn 由以下条件确定： x1a0 , xn 11 a

7、xn, nN 2 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I ） 证明：对 n2 总有 xna .II证明：对 n2 总有xnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16求证 1n n12 nn1N , nn2.n 2 a6 .换元放缩1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17 设 a1 , n2,nN ,求证 a.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 转化为加强命题放缩1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18

8、设 0a1 ,定义 a11a, an 1a ,求证：对一切正整数n 有 an1.an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 19 数列xn满意 x11 , xn12xxn2nn 2.证明x20221001.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 20 已知数列 an满意： a1 3 ,且 an3nan1（ n2, nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22an1 n1（ 1）求数列 an的通项公式. （2）证明：对一切正整数n 有 a1a2 an2n；8.

9、分项争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 21 已知数列 an 的前 n 项和Sn 满意 Sn2an 1n ,n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）写出数列 an 的前 3 项a1 ,a2 , a3.（）求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：对任意的整数m4 ,有 11a4a517 .am8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 借助数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 22（）设

10、函数f xx log 2 x1x log 2 1x 0x1 ,求f x的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设正数p1, p2, p3, p2 n 满意 p1p2p3p2n1,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p1 log 2 p1p2 log2 p2p3 log 2 p3p2 nlog 2p2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*10. 构造帮助函数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 23 已知f x = 34x12 x

11、 ln 2 , 数列an 满意1a120, 211an 1f annN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求f x 在,0上的最大值和最小值;（2）证明：2an0 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）判定an 与 an1nN 的大小,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 24已知数列 an 的首项 a135 , an 13an, n2an11,2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_（）求 an 的通项公式.（）证明：对任意的x0 , a 112x, n1,2, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明： a1a2n 2annnn+1n1n1x1x) 23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 25已知函数 fx=x2 -1x0 ,设曲线 y=fx在点（ x ,fx ）处的切线与 x 轴的交点为（ x,0 ）n N* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 xn 表示 xn+1 . （）求使不等式xn 1xn 对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由.可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品_精品资料_1112n1（）如 x 1 =2,求证：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11x21xn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1解析此数列的通项为 akkk1) , k1,2,n.kk k1kk11k,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nkSnk 1n1 kk 12,即nn1Sn2n n1n 22n12.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 应留意把握放缩的 “度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab,如放成2k k1k1 就可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 Snn k1k 1 n1 n32n122,就放过“度”了；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据所证不等式的结构特点来选取所需要的重要不等式,这里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11a1ann a1ana1ann22aa1n,其中, n n2,3 等的各式及其变式公式均可供选用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 简析 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 4x114x

15、122 x x0f 1f n1 221222 122 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 111 n11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_422n 12n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123nn2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3简析 不等式左边 CnCnCnCn = 211222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1 2222 n 1 = nn 12 2,故原结论成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 4 【解析】使用均值不等式即可：由于xyxy 2 x, yR

16、 ,所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x2a2x2a2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xa xa x1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 12 2n n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a2a2x 2x2x211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n1.2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其实,上述证明完全可以改述成求a1x1a2 x2an xn 的最大值.此题仍可以推广为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如222222p ,q p, q0

17、 , 试求 a xa xa x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2anx1x2xn221 122a2x 2nna2x 2a2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_请分析下述求法：由于xy,所以有a1 x1a2 x2an xn1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a2xya 2x2 x, yR2x2x2pq222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n.222pq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a1x1a2x2an xn 的最大值为2,且此时有 akxk k1,2,n .可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_nna2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述解题过程貌似完善,其实细细推敲, 是大有问题的： 取“”的条件是ax k1,2, n ,即必需有kk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk即只有 p=q 时才成立；那么, pq 了？其实例 6 的方法照样可用,只需做稍稍变形转化：k 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2an1,x1x2xn1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222pp p qq q可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_a xa xa xpq a1 x1a2 x2anxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 122nn就有pq222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pq a12p a 222p anp x12q x222q xnpq2q 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_akxk k1,2, n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是,a1x1a2 x2an xn maxpq ,当且仅当pq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、_精品资料_结合其结构特点,仍可构造向量求解：设m a1 ,a2,an , n x1, x2 , xn ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由| m n | | m| n |马上得解：x1| a1x1x2a2x2xnan xn |a1a2anx1x2xnpq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且取“”的充要条件是：a1a2an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2利用有用结论例 5 简析 此题可以利用的有用结论主要有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a57am2n11352

21、n1462n2462n112n1.法 1 利用假分数的一个性质bbm ba0, m0 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2413即 162 n52n11131211 2 n1 2461352n 22n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35法 2 利用贝努利不等式 1x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n11nxnN, n2, x1, x0 的一个特例121121 此处 得 n2, x1,112k1n11n2k12n1.可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_2k12k12k12k12k1k 12k1k 12k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 简析高考标准用数学归纳法证明, .这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式法：nai bii 1 2nna2ii 1i 12bi的简捷证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 x2 f x2 x2 x231lgn1n2 xxx2xna2lg 123xxn1a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 x3 xn1 xa nx 2n122x32 xn12xa n2x 可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx而由 Cauchy 不等式得 1 11 21 31 n1a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2222x2x11 1232 xn122xan x0 时取等号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n122x32xn12 xa n2x （0a1）,得证；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 解析 II 结合第I 问结论及所

24、给题设条件ln1xx （ x0 ）的结构特点,可得放缩思路：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a111 aln aln111 ln aln a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn 1nn 1nn211n2n2nnnn 2n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 ln an 1ln an,n 2n2 n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1ln ai 1i 1ln ai n 111i 2i i 1i2ln an1ln a11n1211112 n2n2. 即可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln anln a1222ane .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用.当然,此题仍可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用结论 2nnn1 n2) 来放缩：an 111nnan11nn1an 1111nnan11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln an 11) ln an1l

26、n11nn11.nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1 lna i 11ln ain 111ln an1) lna 21111 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 2i 2ii1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln an11ln 3an3e1nan 1e2 .1nan 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 【简析】当 n2 时 annan 1anan 1,即an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111anan 1n 1nk 2ak111 na

27、k 1k 211. 于是当 nk3 时有 11ana11 logn222ban.2blog 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 ： 本 题 涉 及 的 和 式23为 调 和 级 数 , 是 发 散 的 , 不 能 求 和 . 但 是 可 以 利 用 所 给 题 设 结 论n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112 3n1 log22 n 来进行有效的放缩.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再如：【解析】（） 1.（）证明：由（）得exx1 ,对 x

28、1 有 1xnnxe,利用此结论进行奇妙赋值：取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1 n2 nn n1 n 11 n 21 11 01 n1e1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1,kn1,2, n ,就有 nnneeee1111e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eenk ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即对于任意 nN ,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1ne1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 解析引入一个结论： 如b略）a0

29、就 bn 1an 1n1b nba) ,（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理上式得an 1bn n1) anb. （）,以 a11,bnn111 代入（）式得n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n111n111 n.即 an单调递增.以 a1,b11代入（）式得2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 n12n211 2n2 n4.此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有11 nn4 ,又由于数列 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -