2022年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练教学提纲.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 0 2 0年 高 考 理 科 数 学 解 三 角 形 题 型 归纳 与 训 练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料2022 年高考理科数学解三角形题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例 1ABC 的内角 A , B

2、, C 的对边分别为 a , b , c ,已知sin AC8sin 2 B21求 cos B2如 ac6 ,ABC 面积为 2,求 b 15【答案】 （1） cosB（2） b2 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 由题设及 ABC得 sin B8sin2B ,故 sin B 241cosB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式两边平方,整理得17cos2 B32cos B150 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 cos B1 （舍去

3、）,cosB1517 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由cosB15 得 sin B8 ,故S ABC1 ac sin B4 ac 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1717217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 S ABC2 ,就 ac17 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理及 ac6 得b 2a2c22ac cos Bac 22ac1cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_362171154 21

4、7所以 b2 【易错点】 二倍角公式的应用不娴熟,正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】 利用正弦定理列出等式直接求出仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a,b, c ,如 2bcosBa cos

5、Cc cos A ,就 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】【解析】32sinB cos BsinA cosCsin C cos Asin AC sin Bcos B1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.23【易错点】 不会把边角互换,特别三角恒等变化时,留意符号.【思维点拨】 边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角.求边时,把角转换成边.2例 3 在ABC 中, a, b, c 分别是角A, B, C 的对边,如b 1,c3, C 3,就 SABC .3【答案】 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 由于 cb,所以 B C,所以

6、由正弦定理得bc1,即3 2,即 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bsin Csin B2 sin 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2 111,所以 B ,所以 A 26636.所以 SABC bc sin A223 243B.【易错点】 大边对大角,应留意角的取值范畴【思维点拨】 求面积选取公式时留意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长.题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 在ABC 中,角A, B, C 的对边分别为a ,b,c ,且A, B,C 成等差数列可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品_精品资料_1如 b23, c2 ,求ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 sin A,sinB,sinC 成等比数列,试判定ABC 的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 123 2等边三角形【解析】 1由 A,B,C 成等差数列,有2BAC1由于 A,B, C 为ABC 的内角,所以 ABC2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 Bb a c 2accosB33 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 23 2a244acos3解得 a4 或 a2 舍去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sABC1 ac sin B 2142sin2323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 a, b, c 成等比数列,有b2 ac422222由余弦定理及 3,可得 b

9、a c 2accosB a c ac222再由4,得 a c ac ac,即a c 0.因此 ac 从而 AC5由235,得 ABC3所以ABC 为等边三角形【易错点】 等差数列,等比数列简洁混淆【思维点拨】 在三角形中,三边和三角都是实数,三个数很简洁联想到数列的三项,所以, 三角函数与数列的结合也是较为常见的问题,解答中留意几个常见结论,此类问题就不难解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答了.2例 2 在ABC 中,已知 2abc , sinAsin B sin C ,试判定 ABC 的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 等边三角形可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】sin2 Asin B sin Ca2bc ,又 2abc ,所以4a 2bc2 ,所以4bcbc2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 bc20 ,因而 bc .由 2abc 得 ab .所以 abc ,ABC 为等边三角形.【易错点】 条件的转化运用【思维点拨】 判定三角形外形时,一般考虑两个方向进行变形：（ 1）一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用.（ 2）另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理题型三与三角形中有关的不等式问题仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢4可编辑资料 - - - 欢迎下

11、载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b ,c,已知 ABC 的面积为2a.3sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求 sin B sinC ;（2）如 6cos Bcos C=1 , a=3 ,求ABC 的周长 .可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_【答案】 （ 1）【解析】sin B sin C2.（ 2） C3ABC333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由题设得1 ac sin B 2a 2,即3 sin A1 c sin B 2a.3sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得1sin C sin B2sin A.3 sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin C sin B2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由题设及1得cosB cosCsin B sin C1 , 2可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即cosBC 1 .BC222,A.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又1 bc sin A2a3sin A,即bc8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理得 b2c2bc9,即bc23bc9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bc33.C ABC333.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【易错点】 不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】 在处懂得三角形问题时,要留意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建

14、立等式,再将全部边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系.解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范畴 ”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值 ”,这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系,建立函数关系式,如yA sinxb ,从而求出范畴,或利用余弦定理以及基本不等式求范畴.求详细的值直接利用余弦定理和给定条件即可.例 2 已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A,B,C 的对边 , a cos C3a sin Cbc0 .仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢5可编辑资料 - - - 欢迎下载精

15、品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料1求 A 的大小.2如 a7,求ABC 的周长的取值范畴【答案】 12 14,213【解析】 1由正弦定理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a cos C3a sin Cbc0sinA cosC3 sinA sin Csin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_sinA cos C3 sinAsin CsinAC sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 sin AcosA1sin A1AA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由已知： b0 ,c0 , bca7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理 49b2c22bccosbc23bcbc23 bc21 bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_344可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 bc7 时等号成立 , bc 2449 ,又 b c7, 7 b c14,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而ABC 的周长的取值范畴是 14,21【易错点】 求周长范畴的问题,应先用余弦定理列出等式,再依据基本不等式求出所求问题.【思维点拨】 周长问题也可看做是边长问题的延长,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系 ,结合边长求最值 范畴的解决方式 ,通常都能找到正确的解题途径.例 3ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b ,c,已知 2c-a= 2bcos A.1求角 B 的大小 ;2如 b= 2,求 a+

18、c 的最大值 .【答案】 1B=（ 2） 43【解析】 :1 2c-a= 2bcos A,仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料 依据正弦定理 ,得 2sin C- sin A= 2sin Bcos A. A+B= -C ,sin C= sinA+B= sin Bcos A+cos Bsin

19、A,代入式,得 2sin Bcos A= 2sin Bcos A+ 2cos Bsin A- sin A,化简得 2cos B- 1sin A=0. A 是三角形的内角 , sin A0, 2cos B- 1= 0,解得 cos B=, B 0, B=.32由余弦定理 b2 =a2 +c2 - 2accos B,得 12=a 2+c 2-ac.222 a+c - 3ac= 12,12a+c -a+c ,当且仅当 a=c= 2时取等号 , a+c4【易错点】 涉及到最值问题时 ,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求 解 . 1依据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式 ,可

20、得2cos B- 1sin A= 0,结合 sin A0 得到 cos B,从而解出 B;2由余弦定理 ,可得出 12=a 2+c2 -ac. 再利用基本不等式求最大值.【思维点拨】 1正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情形下求解其余元素, 基本思想是方程思想 ,即依据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素 ;(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系 ,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3) 涉及到最值问题时 ,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.题型四解三角形

21、的实际应用仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料例 1 在某次测量中,在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50,且到A 的距离为2, C 点的俯角为70,且到 A 的距离为3 ,就 B、C 间的距离为 A.16B.17C.18D.19【答案】D【解析】因 BAC 120 , AB 2, A

22、C 3.222 BC AB AC 2ABAC cos BAC 4 9 223 cos 120 19. BC19.【易错点】 没有正确懂得题意,不能将应用转化为可运算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定懂得决一些简洁的三角形的度量问题以及几何运算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例 2 设甲、乙两楼相距 20m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ,就甲、乙两楼的高分别是（）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 153 m, 203 mB. 103 m, 203 m可编辑资

23、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23C. 1032【答案】 Dm,203 mD.203 m, 403 m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 设甲楼为 DA ,乙楼为 BC ,如图,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RtABD,ABD60 , BD20m,ADBDtan60203m, AB20cos6040m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22CABABC30 ,ACBC,ACB120,在ABC 中,设 ACBCx ,由余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2得 ： ABACBC2 AC.BCcosACB ,即 1600x2x2x2 ,解得 x403 ,就甲、乙 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两楼的高分别是203m, 4033m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【易错点】 没有正确懂得题意,不能将应用转化为可运算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定懂得决一些简洁的三角形的度量问题以及几何运算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢8可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 , 2sinA=sinC=104时,求 b 及 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的长【答案】 b=6 或 26 . c4 .ac可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 当 a=2 , 2sinA=sinC 时,由正弦定理sin Asin C,得 c=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 sinC=104,及 0C得 cosC= 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222由余弦定理 c =a +b -2abcosC ,得 b 6 b-12=0解得b=6 或 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以b6 或c4b 26c 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边

27、分别为a, b, c. 已知 b+c=2a cos B.（ I）证明： A=2 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）如ABC 的面积S= a,求角 A 的大小 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 （1）略 （2）或24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 （I）由正弦定理得 sin Bsin C2sinA cos B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 2sinAcosBsin BsinABsin Bsin A cosBcos Asin B,可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 sin BsinA B,又A, B0,故 0AB, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B AB或 BAB 因此 A（舍去）或 A2B所以, A2B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2（ II）由 S得1 ab sin Ca,故有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2424仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 15 页 - - - -

29、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsin C1 sin 2sincos2,由于 sin0 ,得 sinCcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又, C0,所以 C2当C时,.22当 C时,24综上,或243.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos Ca cosB+bcos Ac.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

30、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I）求 C.（II）如 c7, ABC 的面积为 33 ,求 ABC的周长2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 （I）.（ II） 573【解析】 （I）由已知及正弦定理得,2cosC sincossincossinC ,2cosCsinsinC 故 2sinCcosCsinC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 cosC1,所以 C23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II由已知, 1 ab sin C33 .22又 C,所以 ab6 .3由已知及余弦定理得,a2b22ab cosC7 .可编

31、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a2b213,从而2a b25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以ABC 的周长为 57题 型 二 利 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 判 定 三 角 形 的 形 状1.在ABC 中,内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,如 c acosB 2abcosA,就 ABC 的外形为 仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

32、 - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料A等腰三角形B 直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】 D【解析】 由于 c acosB 2a bcos A, C A B,所以由正弦定理得 sin Csin Acos B 2sin Acos A sin Bcos A,所以 sin Acos B cos Asin B sin Acos B 2sin Acos A sinBcos A, 所以 cos Asin B sin A 0,所以 cos A 0 或 sin B sin A,所以 A2 或 B A 或 B A舍去

33、 ,所以 ABC 为等腰或直角三角形2.在ABC 中,如 sin A= 2cos Bsin C,就ABC 的外形是.【答案】 等腰三角形222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c a b222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 由已知等式得 a=22acc,所以 a =a +c -b,所以 c =b,即 c=b. 故ABC 为等腰可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形 .c3. ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,如 b cos A,就 ABC 为A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】 A可编辑资料

34、- - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 依题意,得sin CBsincos A, sin C sin Bcos A,所以 sinA Bsin Bcos A,即 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Bcos Acos Bsin Asin Bcos A 0,所以 cos Bsin A0.又 sin A0,于是有 cos B 0, B 为钝角, ABC 是钝角三角形,选A.题型三与三角形有关的不等式问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.在ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c,已知 cos1求证： a, b,c 成等比数列.2如 b 2,求 ABC 的面积的最大值【答案】 （1）略 （2）3.2B cos B 1 cos A cos C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仅供学习与沟