事件的条件概率和三个基本公式讲稿.ppt

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1、关于事件的条件概率和三个基本公式1第一页，讲稿共二十九页哦2一、条件概率 对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3. 第二页，讲稿共二十九页哦3 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)

2、的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3. 我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为)(PBA.)(P)(PBAB 32 4342 第三页，讲稿共二十九页哦4条件概率的计算公式规定如下： )(P)(P)(PBABBA )0)(P( B例 设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则 非还原:)(P)(P)(PA

3、ABAB 还原:)(P)(P)(PAABAB .92103CC21023 .10310310322 第四页，讲稿共二十九页哦5不难验证条件概率具有以下三个基本性质： ；0)(P BA(1) 非负性；1)(P B(2) 规范性(3) 可列可加性设设nAA,1是是两两两两不不相相容容的的事事件件，则则 11)(PPiiiiBABA并由此推出条件概率的其它性质： ；0)(P)4( B;)(P1)(P)5(BABA )(P)(P)(P)(P)6(212121BAABABABAA 第五页，讲稿共二十九页哦6二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B)

4、(P)(P)(PBABBA 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件： ，)(P)(P)(P)(PABCABAABC P (A1A2An )=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)一般,与次序无关。乘法公式第六页，讲稿共二十九页哦7例1 解设设BA,为为任任意意两两个个事事件件，且且已已知知，5 . 0)(P A ，6 . 0)(P B 4 . 0)|(P AB, 求求)|(PBA )|(P)(P)(PABABA )(P)(P)(P BABAB ；20. 04 . 05 . 0 , BAAB

5、B 40. 020. 060. 0 )(P)(P)|(P BBABA )(P)(P)(PBABA 4 . 01 . 0 .25. 0 互互斥斥且且、 BAAB第七页，讲稿共二十九页哦8例2 某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率. 解记A：合格品；B：一等品， ,%96%41)(P, A由由题题意意，%75)(P ABAB .BAB )(P)(PBAB )(P)(PABA ，72. 075. 096. 0 即一等品率为72%. 第八页，讲稿共二十九页哦9 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡

6、片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确吃亏吗？ 第九页，讲稿共二十九页哦10 到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”第十页，讲稿共二十九页哦11用Ai表示“第i个人抽到入场券” ，i1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5 .iA则 表示“第i个人未抽到入场券” .因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.)

7、|(P)(P)(P1212AAAA 212AAA 由于由乘法公式 = (4/5)(1/4) 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此= 1/5 .第十一页，讲稿共二十九页哦12)(P)(P3213AAAA 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，)|(P)|(P)(P213121AAAAAA 第十二页，讲稿共二十九页哦13三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质

8、上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0第十三页，讲稿共二十九页哦14A定定义义 若若事事件件组组nBBB,21满满足足以以下下两两个个条条件件： ( (1 1) )nBBB,21两两两两不不相相容容 (即每次至多发生其中一个) ( (2 2) )BBBn 21 (即每次至少发生其中一个) 则则称称nBBB,21为为一一个个完完备备事事件件组组. . B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分第十四页，讲稿共二十九页哦15设设nBBB,21为为一一个个完完备备事事件件组组，对对任任一一事事

9、件件A，有有 AA nABABAB 21显显然然nABABAB,21也也两两两两不不相相容容， AB1B2B3B4B6B7B5B8第十五页，讲稿共二十九页哦16由概率的可加性及乘法公式, 有 )(P)(P21nABABABA niiAB1)(P. )(P)(P1 niiiBAB这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式. 设设nBBB,21为为一一个个完完备备事事件件组组，对对任任一一事事件件A，有有 AA nABABAB 21显显然然nABABAB,21也也两两两两不不相相容容， 第十六页，讲稿共二十九页哦17 niiiBABA1)(P)(P)(P全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以

10、把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和 第十七页，讲稿共二十九页哦18例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1，试求市场上该品牌产品的次品率.B1、B2 、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解)(P)(P)(P)(P)(P)(P332211BABBABBAB .02. 001. 05 . 003. 02 . 003. 03 . 0 )(P)(P)(P)(P321ABABABA 加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；第十八页，讲稿共二十九页哦19例2 袋中有a个

11、白球b个黑球，不还原摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式, )(P)(P)(P)(P)(PABAABAB baa .baa 可可以以想想见见，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍为为baa ，这这体体现现了了抽抽签签好好坏坏与与先先后后次次序序无无关关的的公公平平性性. . 练习 求第三次摸出白球的概率.11 baabab 1 baa第十九页，讲稿共二十九页哦20解分别记A,B ,C为第一、二、三次摸到白球，由全概率公式, )(P)(P)(P)(P)(PBACBAABCABC 2112211 baabaababbaa

12、baabaa.baa 练习 求第三次摸出白球的概率.)(P)(P)(P)(PBACBABACBA 211211 baababbabbaababbaa第二十页，讲稿共二十九页哦21 在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. 在全概率公式的假定下，有 )(P)(P)(PAABABkk njjjkkBABBAB1)(P)(P)(P)(P 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.), 2 , 1(nk 第二十一页，讲稿共二十九页哦22)(P)(P)(P)(P111ABABAB ,3 .

13、 002. 003. 02 . 0)(P2 AB.25. 002. 001. 05 . 0)(P3 AB所以这件商品最有可能是甲厂生产的. 例3 已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, 次品率分别为3、3、1.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少? ,45. 002. 003. 03 . 0 :)(PiB0.3, 0.2, 0.5:)(PABi0.45, 0.3, 0.25解第二十二页，讲稿共二十九页哦23解解释释：事事件件nBBB,21看看作作是是导导致致事事件件A发发生生的的 原原因因 , ,在在不不知知事事件件A是是否否发发生生的的情情况况下下，

14、它它们们的的概概率率为为)(P,),(P),(P21nBBB，通通常常称称为为先先验验概概率率；现现在在有有了了新新的的信信息息已已知知( (A发发生生) ), ,我我们们对对nBBB,21发发生生的的可可能能性性大大小小)(P,),(P),(P21ABABABn有有了了新新的的估估价价，称称为为 后后验验概概率率 . . 全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？ 第二十三页，讲稿共二十九页哦24 在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估

15、计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.P(B1 | A)知道A发生后P(B2 | A)P(B3 | A)偏小最大第二十四页，讲稿共二十九页哦25再再举举一一个个医医学学例例子子。在在医医疗疗诊诊断断中中，为为了了诊诊断断病病人人到到底底患患了了毛毛病病nBBB,21中中的的哪哪一一种种，对对病病人人进进行行检检查查，确确定定了了某某个个指指标标A( (比比如如体体温温) ). .根根据据以以往往资资料料可可知知)(P,),(P),(P21n

16、BBB，依依靠靠医医疗疗知知识识可可知知, )(P1BA , )(P, )(P2nBABA再再利利用用贝贝叶叶斯斯公公式式算算出出)(PABi, ,显显然然对对较较大大的的)(PABi的的“病病因因”iB应应多多加加考考虑虑，在在实实际际工工作作中中检检查查的的指指标标A一一般般有有多多个个，综综合合这这些些后后验验概概率率，当当然然会会对对诊诊断断有有很很大大帮帮助助，在在实实现现计计算算机机自自动动诊诊断断或或辅辅助助诊诊断断中中，这这方方法法是是有有实实用用价价值值的的。 贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中均有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯

17、统计”.可见贝叶斯公式的影响.第二十五页，讲稿共二十九页哦26 下面再举一个例子，说明贝叶斯公式在实际问题中的作用. 用用血血清清甲甲胎胎蛋蛋白白法法诊诊断断肝肝癌癌，A 表表示示被被检检验验者者患患肝肝癌癌，B 表表示示判判断断被被检检验验者者患患肝肝癌癌。由由于于种种种种原原因因使使检检验验方方法法带带有有误误差差。 假假定定95. 0)(P AB，90. 0)(P AB， 又又 设设 人人 群群 中中 患患 肝肝 癌癌 的的 比比 例例 为为0004. 0)(P A. . 现现在在若若有有一一人人被被此此法法诊诊断断为为患患肝肝癌癌，求求此此人人真真正正患患肝肝癌癌的的概概率率)(PBA

18、. . )(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA 解1 . 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0 .0038. 0 第二十六页，讲稿共二十九页哦27 因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。 一一个个不不懂懂概概率率的的人人可可能能会会这这样样推推理理：一一个个没没有有患患肝肝癌癌的的人人被被诊诊断断为为患患肝肝癌癌的的机机会会才才1 . 0)(P AB，现现在在我我被被诊诊断断为为患患肝肝癌癌，说说明明我我患患肝肝癌癌的的概概率率为为 0.9，其其实实大大相相径径庭庭。正正确确的的概概率率思思维维是是人人们们正正确确地地思思考考问问题题而而必必备备的的文文化化修修养养的的一一个个成成分分。 思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？ 第二十七页，讲稿共二十九页哦28)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA .999958. 01 . 00004. 095. 09996. 095. 09996. 0 第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦