2022年高中数学竞赛模拟题 .pdf

《2022年高中数学竞赛模拟题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学竞赛模拟题 .pdf（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、模拟试题一2010 年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一 试一、填空题每题分，共分1方程2如图，在=，则 m+2n 的值为4单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为. 设数列6已知实数x，y，z 满足 xyz=32 ，x+y+z=4，则 |x|+|y|+|z|的最小值为7假设NDCAMB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页8空间有 100 个点，任 4 点不共面，用假设干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段二、解答题共分9 16 分设之和为 21，第 2 项、第 3 项

2、、第 4 项之和为331求数列的通项公式；2设集合，求证：10 20 分过抛物线的距离均不为整数11 20 分已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间试求 a， b 满足的条件，使得一定存在整数k，有成立二 试一 40 分如图，已知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页求证：二 40 分设三. 50 分已知n 个四元集合，试求 n 的最大值这里四 50 分 设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前 n 项和 . 假设存在无穷多个正整数n， 满足，且 m，则称是“好数” .试问：12，3，5 是否

3、都是好数？2是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、 填空题：每题 7 分，共计 56 分PDEFABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页1. 假设函数)(xfy图象经过点 2，4 ，则)22(xfy的反函数必过点_ 2. a、b、c是从集合54321，中任意选取的3 个不重复的数，则cab为奇数的概率为_ 3. 已知数列na的通项公式是1) 1(1) 1(2244nnnnan，则数列na的前n项和nS=_ 4. 抛 物 线281xy的 准 线 与y轴 交 于 点A， 过A作 直

4、 线 交 抛 物 线 于 点M、N， 点B在 抛 物 线 对 称 轴 上 ， 且MNMNBM)2(，则OB的取值范围是 _ 5. 已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则cossincinsso6. 如图，四面体ABCD中，ADB为等腰直角三角形，090ADB，1AD，且060ADCBDC，则异面直线AB与CD的距离为 _ 7. 已知点)2 ,2(A、),(yxP，且yx,满足21122,0yxyxyx，则PA长的取值范围是_ 8. 将一个44棋盘中的8 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_ 不同的染法 . 用数字

5、作答二、解答题：三题共计44 分A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页9. 此题 14分已知二次函数210,fxaxbxabR，设方程fxx有两个实数根12,xx如果1224xx，设函数fx的对称轴为0 xx，求证：01x；如果102x，且fxx的两实根的差为2，求实数b的取值范围 . 10 此题 15 分数列na满足：.,236457, 1210Nnaaaannn证明：1对任意naNn,为正整数； (2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数11.此题 15 分用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成

6、200 个相等的扇形，且将每个圆的100 个扇形涂成白色，另100 个扇形涂成黑色 .将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合. 求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100 个扇形位于大圆的同色扇形上. 第二试1.此题 50 分凸四边形ABCD中，AB是最长边，点NM ,分别在边BCAB,上，且线段CMAN,平分四边形ABCD的面积，求证：线段MN平分对角线BD. 2. 此题 50分定义)()()(),(xzzyyxzyxzxyzxyzyxf，其中zyx,为正实数，求),(zyxf的值域 . 3.此题 50 分已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1 的

7、圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1 的圆覆盖 . 4.此题 50 分设n是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k，下述不定方程2333231.knyxxx有无穷多个正整数解);,.,(21yxxxn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷福州一中危志刚第一试一，填空题每题7 分，共 56 分1、设( )f x适合等式1( )2 (),f xfxx则( )f x的值域是2、假设对所有正数, ,x y不等式xyaxy都成立，则a的最小值是3、等差数列3，10，17， 2005 与

8、3，8，13， 2003 中，值相同的项有个. 4、在平面直角坐标系中，定义点11, yxP、22, yxQ之间的“直角距离”为.),(2121yyxxQPd假设yxC,到点3, 1A、9 , 6B的“直角距离”相等，其中实数x、y满足100 x、100y，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为5、将一个44棋盘中的 8 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法 . 用数字作答6、假设69222n为一个平方数，则正整数n7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每

9、局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为8、设函数1463)(23xxxxf，且1)(af，19)(bf，则ba二、解答题第9 题 14 分，第 10，11题各 15 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 45 页9已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点 F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A， B 两点，连接 AO O为坐标原点 ，交准线于点B， 连接 BO， 交准线于点A， 求四边形ABB A的面积10数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时

10、，当为奇数时已知3019na，求正整数n11对一个边长互不相等的凸(3)n n边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？第二试每题 50 分，共 200 分1、已知，A、B、C、D是圆上顺次四点，且ABAD，BCCD，BAD的平分线交圆于X，BCD的平分线交圆于Y，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么BD必为圆的直径2、设 1,0,ba， 求)1)(1(11baabbaS的 最 大 值 和 最小值yxOF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页

11、，共 45 页3、求所有满足方程组xyzxyxzyxzyzxyz的三元实数组( , , )x y z4、将 8 个车放到如图的9 9 棋盘中，使得这8 个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校张雷一试一、填空题共56 分，每题 7 分1、函数xxfsinlog)(21的单调递增区间是_ 2、将数字 3，4，5，6，7 排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有_ 种. 3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_. 1 三角形 2 正方形 3 梯形 4 五边形 5 六

12、边形4、已知ba其中ba,是大于 1 的正整数，且ba,互质化为最简二次根式后是pnm形式，其中pnm,是大于 1 的正整数，且pm,互质，如果9pnm，则ba的最小可能值是_. 5、假设关于x的 方 程0142)6(22222babaxbbax的两个实数根21,xx满 足,1021xx则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 45 页4422aba的最小值与最大值的积是_. 6、我们定义运算42242bbaaba，如1653525354224，2532522162553254224，用整数 1，2，3，4 和三个号组成一个算式

13、，则这个算式的最大值是 _. 7、平面上满足约束条件01002yxyxx的点),(yx形成的区域为D ，区域 D关于直线xy2对称的区域为E，则区域 D和区域 E中距离最近的两点的距离为_. 8、令)(np表示正整数n的所有数字的和，如6)123(,5)50(,4)4(ppp，则)2009()2008()3()2()1 (ppppp的值是 _. 二、解答题共44 分9、 14 分 已知圆1C和圆2C的两条外公切线为x轴及直线)0(:mmxyl，假设两个圆的一个交点为)6 ,9(，且两圆半径长度之积为68，求圆心1C和2C所在直线的方程和m. 10、 15 分已知函数( )2121f xxxxx

14、，求( )1f xax的解集中元素的个数。11、 15 分 如 果ba,都 是 正 实 数 ， 请 给 出 一 个 你 认 为 的 最 小 正 数t， 使 得 满 足tba的 任 意 实 数ba,， 不 等 式21bbaa成立，并证明你的结论. 模拟试题五联赛模拟题一试一、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页1.不等式)1()1(yyxx的解集中yx,能使kyx22成立时的k的最小值为2.一个三位自然数)(321aaa如果同时有21aa及23aa称为凹数，例如104、525、849 都是凹数，而123、684、

15、200 都不是凹数，则所有凹数的个数是3.假设x是一个十进制四位整数，记x的各位数码之积为)(xT，各位数码之和为)(xS，p为素数，且kpxT)(，5)(ppxS，则x中的最小者是4.已知复数列na的通项公式为)1()31)(21)(1(niiiian，则1nnaa等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21kVV，则mink6.Ryx,且yyxx2313，则yx的最大值是 _7.已知x和y是实数，yixz)4(1，yixz)4(2，21zz10，令34yxu，则u的最大值为8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所

16、有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是二、解答题9.已知函数)(xf的定义域是),0(，并且满足0)1()(xfxf如果函数)11()(xmxfxg是奇函数，试求实数m的值10. 已知数列na中，11a,211nnnaaa)(*Nn求证：182005a11.已知圆1:22yxO和抛物线22xy上有三个不同的点RQP, 如果直线PQ和PR都与圆O相切求证： 直线QR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45 页也与圆O相切二试一、ABC内接于半径为R 的圆 O， 令 I 为ABC内心，r 为内切圆半径， 且 I 和 O 不重合

17、，G 为重心证明 : cbBCIG或acb3，其中cba,分别为ABC三个内角 A、B、C 所对应的三边长二、已知：cba,为正实数，且3444cba，证明：1414141cabcab三、设ba,是正整数，满足1),(, 122ababbabafab，求),(baf所有可能取到的整数值四、某班共30 名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友朋友是相互的在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题哈师大附中刘利益朱逢迁第一试一、填空题每题8

18、分，共 64分1从1,2,100中任取 5 个数可以相同 ，则取到合数的个数的数学期望是.2 双曲线的中心为原点O， 焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll， 经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点已知OAABOB、成等差数列，且BF与FA同向则双曲线的离心率为.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页3在ABC中，如果2226abc，则(cotcot)tanABC的值等于.4已知集合1,2,3 ,1,2,3,4MN，定义函数:fMN设点(1, (1),(2,(2),(3,(3)AfBfCf，ABC的

19、外接圆圆心为D，且()DADCDBR，则满足条件的函数( )f x有个5设( )f x是定义在 R 上的函数，对任意的xR，都有(3( )3,fxf x）(2)( )2f xf x，如果(1)2010f，则(2011)f的值为.6数列na满足 : *11(1)1,()2nnnnaaanNna, 则20101kkka.7 立方体1111DCBAABCD中， 点NM ,分别在线段1ABBB，上 不包括线段的端点 ， 满足NBAM1， 则MA1与NC1所成角的取值范围是. 8假设非负实数, ,x y z满足22213234xyzxyz，则min()xyz. 二、解答题共56 分9 此题总分值16 分

20、已知直线: xmyq与椭圆：124322yx交于不同两点BA、. 设 A 关于椭圆长轴的对称点为1A，F 为椭圆的右焦点，试求1A、F、B 三点共线的充要条件. 10 此题总分值20分正数, ,a b c同时满足：14abc，2221119abc求证：存在以, ,a b c为三边长的三角形11 此题总分值20 分数列na满足：121,2aa，221211nnnnaaaa，(1,2,3,)n.试求2010a. 注：a表示不大于a的最大整数，即a的整数部分 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页第二试一、 此题总分值4

21、0 分如图，三角形ABC 中，M 为 BC 的中点，以AM 为直径的圆O 分别与 AC、AB 交于 D、E 两点，圆 O 在 D、E 两点的切线交于点 H，证明：HMBC二、 此题总分值40 分已知, ,a b c都是非负实数，且2abc，求222111abbccaPcab的最大值HDEOMBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页三、 此题总分值50 分设数列na满足：*12211,()nnnaaaaanN求证：对任意的*nN，21na都不含43q型质因子qN 四、 此题总分值50 分单位圆内或圆上有8 个点，任

22、意三点不共线求证：总有某三个点为顶点的三角形面积小于8模拟试题七联赛模拟题一、填空题：1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为. 2. 在圆4cos上有两点A，B，它们的极角分别是2,55；由极点向直线AB 作垂线，垂足为H，则H 点的极坐标是. 3. A , B 为锐角，则cos 2 A + cos 2 B = 47)(sinBA成立的充要条件是. 4. 一 含 有 五 项 的 等 比 数 列 ， 每 一 项 都 是 小 于100 的 正 整 数 ， 这 五 项 和 为211， 则 这 个 数 列 中 为 完 全

23、 平 方 数 的 项 之 和为. 5. 锐角ABC中，AD是高线，4ABAC217=17，4517,BCADABC的面积为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页6对任意实数k，曲线x 4 + k x 3 y6 x 2 y 2k x y 3 + y 4 = 0 总可把圆x 2 + y 2 = 1 分成等分 . 7. 数 N = 20101(21)kk的末三位数是. 8. 已知方程 x37x2+1=0 的最大实根为t，则 t2000 被 7 除的余数 _. 二、解答题：9. 已知三棱锥BCD 在顶点A 处的三个面角即

24、 BAC ， CAD ，DAB 分别为 75，90，105；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高. 10用 1，2，3 这三个数字构造n 位数，但不允许两个1 相邻，能构造多少个这样的n 位数？11. 已知抛物线C 1 : y = x 2 + 2 x 和 C 2 : y = x 2 + a .如果直线l 同时是 C 1和 C 2 的切线，称l 是 C 1和 C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段. a 取什么值时， C 1和 C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 假设 C 1和 C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 加试模拟题1. 设 ABC

25、 中， E、F 是 AC、AB 边上的任意点， O、O分别是 ABC、 AEF 的外心， P、Q 是 BE 、CF 上的点，满足BPPEFQQC22BFCE. 求证： OO PQ .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页OPQOCBAFE2. 求证：ln(1)n111231n1ln n, n=1,2, ;3. 对于给定的正整数k ，以 f 1 ( k ) 表示k 的各位数字之和的平方；并设f n + 1 ( k ) = f 1 f n ( k ) ，n = 1 , 2 , 3 , ; 试求 f 2010 ( 2 20

26、09 ) 的值 . 4某种彩票的对奖号是个三位数000 999 ，开出的中奖号也是个三位数买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同例如中奖号为123，对奖号为423 或 183 或 125 等则中二等奖为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？模拟试题八2010 年数学奥林匹克协作体夏令营试题人大附中陈维兵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页一试一、 填空题：1 求方程22 sin()10 xxxy的实数解 _ 2 已知数列na满足*11212,()46nnn

27、aaanNa，则2010a_ 3 两位数)0,0(baab假设满足1),(baab，则称ab为好数，则好数共有_个。4 两相同的正四棱锥组成如下图的几何体，可放棱长为1 的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_个。5 假设a是12b与1 2b的等比中项，则22abab的最大值为。6 已知抛物线xy42及其上的一点P, 焦点)01( ，F和)225( ，A，则22PAPF的最小值为。7 有 6 个相同的红球和5 个相同的白球放入一排1 至 100 标号的盒子里， 其中红球和白球间隔放置即从左到右必须1 红 1 白间隔放

28、，并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_种放置方案。8 设常数 k 使得方程222250 xyxyxyk在平面直角坐标系xOy中表示两条相交直线， 交点为P. 假设点,A B分别在这两条直线上，且1PAPB，则PAPB?_ . 二、解答题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页9 已知Rwzyx，,，求222232wzyxzwyzxyM的最大值。10 数列na定义如下：21142,2nnaaa，而数列nb定义为nb*1,2Nnann（1）求na的通项公式（2）证明：*1,.nnbbnN（3）证明：*7,.nbn

29、N11 已知椭圆)0(12222babyax，其长轴为AA1，P是椭圆上不同于AA ,1的一个动点，直线1, PAPA分别与同一条准线l交于1, MM准线两点，试证明：以线段1MM为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、在等腰 ABC 中, AB=AC ,D 是边 AC 的中点 , E 是点 D 在 BC 上的投影 , F 是 DE 的中点 . 证明 : BF 垂直于 AE 的充要条件是 : ABC 是正三角形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页2、 设 ABC 的三边分别是a, b, c，且 a+b+c=3

30、. 求证：2934313222abccba. 3、设正整数 n 大于 1，它的全部正因数为d1，d2，dk，满足 1=d1d2dk = n。再设 D = d1d2d2d3 dk1dk。(i) 证明： D0) 的值域为 1,(, g(x)=log2(kx2- 2ax+2)的定义域为A,集合 B=21,1,假设 AB ,则实数 k 的取值范围是_; 2.已知 :设 a,b 为正实常数 ,为参变量 ,则满足 xsin-ycos=22yx且2222221cossinyxba的点 (x,y)的轨迹方程是_；3.使得n21(n2)为整数的最小正整数n=_; 精选学习资料 - - - - - - - - -

31、 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 45 页4.如图 ,已知 C 的圆心 C 在抛物线x2=2py 上(p0) 运动 ,且 C 过定点 A(0,p), 点 M,N 为 C 与 x 轴的交点 .如果xANAM|.则函数 f(x)=xx1的值域是_; 5.对于所有自然数n,使得 a(9 2010n+1) 2010n+(b -1) 2010n+1=(c 2010n+1)2恒成立 ,且 b 取最大值的实数组(a,b,c)等于_；6.用红蓝两种颜色给排成一行的10 个方格染色， 每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么， 所有染色方法的种数是_. 7.设 OAB

32、C 是边长为1 的正四面体， E、F 分别为 AB 与 OC 的中点 .则异面直线OE 与 BF 的距离是_. 8.非负实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1.则 f(x,y,z)=x+y+z -2 xyz 的最大值是_. 三.解答题 (此题共 3 道总分值 44 分) 9.(14 分)如图 ,已知 A,B 是椭圆)0(12222babyax的左右顶点 ,P,Q 是该椭圆上不同于顶点的两点,假设直线 AP,QB 相交于点 M, 直线 PB, AQ 相交于点 N. ()求证 :MN AB; ()假设弦 PQ 过椭圆的右焦点F2,试求直线 MN 的方程 .10.(15 分)设 a,bR, 点

33、集 A=(n,na+b)|n Z ,B=(m,m2+17)|mZ , C=(x,y)|x2+2y2 66.试求出所有的整数n,使得 存在实数 a,b 满足 AB且 (a,b)C. 11.(15 分)设定义域 ,值域都是实数集R 的非常数函数f(x),g(x), 满足对任意xR,都有 f(g(x)=f(x),g(f(x)=g(x). (1)求 f(x),g(x); (2)定义数列 an:a1=3,a2=7,f( an2)+g(5)=f( an-1)g(an+1)(n2). x y M N A C?O A B C O E F P x y F1F2 A B O Q M N 精选学习资料 - - -

34、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 45 页二试题(此题共 4 道小题每题50 分 ,总分值 200 分) 一.(50 分)如图 ,半径分别为r,R 的两圆1,2相交于 A,B 两点 ,过点 B 的一条直线分别交圆1,2于点 C,D,过点 B 的另一条直线分别交圆1,2于点 E,F.如果劣弧AC 与劣弧 AF 长度之比为r R.求证 : ()CD=EF; ()圆 AEF 与圆 ACD 的一个交点在线段FD 上 . 二.(50 分)设数列 xn满足 :x1=2011,nxxxnnn) 1(211,n=2,3,.其中 x 表示不超过x 的最大整数 .求

35、数列 xn的通项 xn. 三.(50 分)给定素数 p,q,r.求证 :对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得 pn+qn+rn- 1, pn+qn+rn- 2,pn+qn+rn- k 均为合数. 四.(50 分)设正整数a1,a2,a2010满足 : 1ai211(i=1,2,2010), 2任意连续假设干项之和211. 求 min20101iia. 模拟试题十一全国高中数学竞赛模拟卷湖南师大附中周正安第一试一、填空题 (每题 8 分，共 64 分) A B C D E F 12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页

36、，共 45 页1已知不等式2256xxxa的解集 A 满足1A，则a。2求值tan18tan36tan36tan54tan54tan72tan144tan162。3在等差数列na中，33,mnanam，则m na。4某底面是单位圆的圆锥具有性质：在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为。5设非零复数, ,a b c满足aabc，3abc，1c，20002000()()ncabab则n。6用 1、2、3 这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出个不同的六位数。7已知0a，如果函数22()( )1xaf xx在 1,1上为增函数，则a的取值集合为。8

37、将 2 个相同的白球，3 个相同的红球，4 个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有种。二、解答题 ( 共 56 分) 9(16 分) 已知数列na满足：121 (15)1 (6)nnnnaa aan记2221212nnnbaaaa aa。(1)求数列nb的通项公式；(2)求出所有的正整数n，值得212nnnbbb。10(20 分) 定义( , )(1) , ,(0,)yF x yxx y(1) 设322( )(1,log (1)g xFxaxbx的图象为曲线C，假设存在实数b使得曲线C 在0 xx0(1,4)x处有斜率为 -8精选学习资料 - - - - - - - - -

38、名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页的切线，求a的取值范围；(2) 当,x yN且xy时，求证：( ,)( , )F x yF y x。11(20 分) 已知点 B1，0 ，C1，0 ，P 是平面上一动点，且满足| |.PCBCPB BC1求点 P 的轨迹 C 对应的方程；2已知点 Am,2在曲线C 上，过点A 作曲线 C 的两条弦 AD ，AE ，且 AD ，AE 的斜率 k1、k2满足 k1 k2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点。第二试一、(40 分) 已知ABC的内心为123,IOOO分别过 B、C，A、C和 A、B且与I直交。1O与2O相交于另

39、一点C，同理可得点B和点A。求证：A B C的外接圆半径等于I半径的12。二、 (40 分) 设1, ,xyx yR，求证：111111xyyxxyyxxyxy。三、 (50 分) 已知 P 为质数n，m均是正整数，试求方程38npm的所有解。四、(50 分) 证明：在任意22n个人中，可以找到两个人A、B ，使得其余2n个人中，至少有n个人他们中的每一个，或者都认识A、B；或者都不认识A、B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 45 页模拟试题十二高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：本大题共8 小题，每题8 分，共 6

40、4 分把答案填在横线上1对于任意的x，都有12coscosxbxa，则ba的最大值是。2对于任意实数a，b，不等式max, 2010ababbC恒成立，则常数C 的最大值是 注：max,x y z表示 x，y，z中的最大者3已知每条棱长都为3 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中， BAD =60 ，长为 2 的线段 MN 的一个端点M 在 DD1上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则MN 中点 P 的轨迹与该直平行六面体外表所围成的几何体中较小的体积值为_4已知四个整数dcba,都是偶数，且dcba0，90ad，假设cba,成等差数列，dcb,成等比数列，则dcba的值等

41、于5 已知椭圆221164xy的左右焦点分别为1F与2F， 点 P 在直线 l：382 30 xy上. 当12F PF取最大值时，12PFPF的值为6已知数列na的前 n 项之和为nS，且2210nnnnSSa S，1,2,3,n，则nS的表达式为 _7已知定义在R 上的偶函数( )f x的图象关于直线1x对称，且当01x时，2( )2 1f xx，假设直线yxa与曲线( )yf x恰有三个交点，则实数a的取值范围为 _8某食品厂制作了4 种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4 种不同的卡片，便可获得奖品 . 小明一次性购买该种食品6 袋，那么小明获奖

42、的概率是_二、解答题：本大题共3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 本小题总分值16 分已知抛物线xy42的焦点为 F，过 F 作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦 AB、CD 的中点分别为M、N.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 45 页( 1 )求证：直线MN 必过定点；( 2)分别以弦 AB 和 CD 为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点. 2 本 小 题 总 分 值20 分 设 函 数2( )f xxaxb 其 中,a b为 实 常 数 ， 数 列na和nb定 义 为 ：112a

43、，12()15nnaf a，12nnba1,2,3,n ，已知不等式2( )2430f xxx对任意实数x均成立， 数列nb的前n项的和记为nS1求实数a、b的值；2假设数列nb的前n项的乘积记为nT，证明：对任意正整数n，12nnnTS为定值；3证明：对任意正整数n，都有42 125nnS3 本小题总分值20 分设12,nx xx为 n 个正实数2,nnN ，且121nxxx，将1211212,111nnxxxxxxxxx中最大的数记为S (1)令121kkyxxx，1,2,kn，求证：121nyyyS；(2)对于给定的正整数n，2n，求S 的最小值，并求出S 取最小值时12,nx xx的值

44、第二试一、 本小题总分值40 分如图，已知两圆1O与2O内切，另四个圆3O、4O、5O、6O均与1O内切，与2O外切，且连心线43OO、65OO与21OO的夹角相等，求证：点3O、4O、5O、6O共圆O3 O4 O5 O6 O2 O1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 45 页二、 本小题总分值40 分设4,10 ,ixi=1,2,3,n试求下面式子的最大值与最小值：111nniiiiiixSxxx,其中，11nxx三、 本小题总分值50 分正整数m，n 均大于 1，已知12n nnnm刚好有 3 个不同的质因子，求所有

45、满足要求的数组 m，n 四、 本小题总分值50 分甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋， ，如此进行下去 如果在棋盘上横着或竖着连出5 个黑棋，那么甲获胜，如果连出5 个白棋，那么乙获胜请问：分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜？说明理由模拟试题十三高中数学竞赛模拟试卷- 大连市第 24中学李振权一试一、填空题1给定数列 xn ，x1=1，且 xn+1=nnxx313，则20051nnx= 2、一个七位数a，其各位数字相

46、加得到b，已知ab仍为一个七位数，且ab各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为。3z1、z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z1-z2|=2 恒定，而z3=z1(1+i)-z2i ，则 |z3| 的最大值为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 45 页4. 在椭圆192522yx中，F是左焦点，点C是左准线上一点，过C点的直线l交椭圆于A、B两点，连结FA、FB、FC，且50FAB，20FBA，则FCA_。5我们注意到6!=8 910，试求能使n! 表示成 (n-3)

47、个连续自然三数之积的最大正整数n 为_. 6对每一实数对(x, y)，函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。假设 f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_. 7. 设有足够的铅笔分给7 个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1 支，最多者得到12 支，则有种不同的分法。8、已知斜四棱柱1111ABCDA B C D的底面是边长为1的菱形，侧棱长为x，60BAD，1145A ABA AD，当x_时，1AC平面1A BD二、解答题9、 已知ABC中， AC=2AB. 过点 C、A 分别作ABC外接圆的切线，切点分别为C和 A，假设两条切线相交于点

48、P。直线 BP交圆于点 D. 求证：直线BP平分BAC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 45 页10已知 a, b, cR+，且满足cbakabc(a+b)2+(a+b+4c)2，求 k 的最小值。11已知 a0，函数 f(x)=ax-bx2, 1当 b0 时，假设对任意xR都有 f(x)1，证明： a2b；2当 b1 时，证明：对任意x0, 1, |f(x)|1 的充要条件是： b-1 a2b12、已知数列na满足1aa，1(46)41021nnnanan判断数列221nan是否是等比数列，假设是等比数列，请给出证明

49、，假设不是，请说明理由；当1a时，求数列na的前n项和为nS；在的条件下，证明当3n时，34111110nSSS二试一、 50 分已知Q为以AB为直径的圆上的一点，QA, B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D证明CD平分线段QH二、 50 分设ncbxaxxxfn,)(2为自然数，已知9)2(, 6)1 (,0)1(fff，119)6(,4)3(ff，求)(xf三、 50 分是否存在1000000 个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？四、 50 分设 |X| 为子集SX中元素的个数；又为XS，是X的补集；iC是i

50、a对k个参赛选手有相同的判决，证明.21bbak精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 45 页模拟试题十四一.填空题1.已知111( ),( )( ),( )( )2nnxf xnNfxf xfxffxx对于定义,假设1331( )( ),fxfx则16( )fx的解析式为 _. 2.设, , , , ,abcdx y z ta b c d若变量是的某一个排列 ,那么表达式2222( , , )()()()()n x y z txyyzzttx可以取 _个不同的值 . 3.设nS是集合1111,22nA含有 3 个元素的所有