2022年高中数学立体几何知识点与解题方法技巧 .pdf

《2022年高中数学立体几何知识点与解题方法技巧 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学立体几何知识点与解题方法技巧 .pdf（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、立体几何知识点& 例题讲解一、知识点常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行 . 3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直 . 4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂

2、直. 5证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7. 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则 cosa，b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 8异面直线所成角：cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy y

3、z za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）9. 直线AB与平面所成角：sin|AB marcABmuuu r u ruu u ru r(mu r为平面的法向量 ). 10、空间四点A、 B 、C、P共面OCzOByOAxOP，且 x + y + z = 1 11. 二面角l的平面角cos|m narcmnu r ru rr或cos|m narcmnu r ru rr（mu r，nr为平面，的法向量） . 12. 三余弦定理：设AC是内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为1，

4、AB与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 13. 空间两点间的距离公式若 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB ABuuu ru uu r uu u r222212121()()()xxyyzz. 14. 异面直线间的距离：|CD ndnuu u r u u rr (12,l l是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离 ). 15. 点B到平面的距离：|AB ndnuuu r u u rr（nr为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 16. 三个向量和的平方公式：222

5、2()222abcabca bb cc arrrrrrr rr rr r2222 | |cos,2 | | cos,2 | | cos,abcaba bbcb ccac arrrrrr rrrr rrrr r17. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 18. 面积射影定理cosSS.( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的). 精选学习资料 - - - - - - - -

6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 47 页19. 球的组合体 (1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）二提示：1. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成

7、的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线 线线 面面 面判 定线 线线 面面 面性 质线 线线 面面 面线面平行的判定：abbaa ，面 ，面a b 线面平行的性质：面 ，面 ，bab三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO面 ，为在 内射影，面 ，则aaOAaPOaPOaAO； a P O 线面垂直：abacbcbcOa ， ， ，a Ob c 面面垂直：aa面 ，面面 面 ， ll

8、aaaalabab面 ， 面面 ，面 aaa b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角，0 90（2）直线与平面所成的角，0 90时， 或0bob（ ）二面角：二面角的平面角 ，30180loo（三垂线定理法：A作或证AB于 B，作BO棱于 O，连 AO ，则 AO棱l， AOB 为所求。 ）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，

9、三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1 如图，正三棱柱111ABCA B C的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1AA DB的大小；（）求点 C 到平面1ABD的距离考查目的： 本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程 ：解法一：（）取 BC 中点 O，连结AOA B

10、 C D 1A1C1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页ABCQ为正三角形，AOBCQ正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1BO，在正方形11BB C C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB 平面1A BD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1A BD中，作1GFAD于F，连结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4

11、 55AF，又1122AGABQ，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1A BD中，11152 26A BDBDA DA BS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1A BD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSdgg，1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22解法二：（）取BC中点 O，连结AOABCQ为正三角形，AOBCQ在正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC平面11BCC B，AD 平面11BCC B取11B C中点1O，以 O为原点，

12、OBuuu r，1OOu uuu r，OAuu u r的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ， ，( 11 0)D， ，1(0 23)A， ，(0 03)A ， ，1(12 0)B，1(123)ABu uu r， ，( 210)BDuuu r， ，1( 123)BAuu u r， ，A B C D 1A1C1BO F z A C D 1A1CO F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页12200AB BDu uu r uuu rQg，111 430AB BAuu ur uu u rg，1

13、ABBDu u uru u u r，11ABBAuu uruu u r1AB 平面1A BD （）设平面1A AD的法向量为()xyz， ，n( 113)ADuuu r， ，1(0 2 0)AAuuu r， ，ADuuu rQn，1AAuuu rn，100ADAAuuu rguuu rg，nn3020 xyzy，03yxz，令1z得(3 01)， ，n为平面1A AD的一个法向量由（）知1AB 平面1ABD，1ABuuu r为平面1A BD的法向量cosn，11133642 2 2ABABABuuuruuurguuurggnn二面角1AA DB的大小为6arccos4（）由（） ，1ABuuu

14、r为平面1A BD法向量，1( 2 00)(123)BCABu u u ruuu rQ， ， ，点 C 到平面1A BD的距离112222 2BC ABdABuuu r uuurguuur小结 ：本例中（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面1AMB的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点 2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.

15、 例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD 与 SE 间的距离 . 思路启迪 ：由于异面直线CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程 ：如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页EF为BCD的中位线，EFCDCD,面SEF, CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离. 又线面之间的距离可转化为

16、线CD上一点 C 到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是AB、BC、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故 CD 与 SE 间的距离为332. 小结 ：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程. 考点 3 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3 如图，

17、在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 O 平面11DGB的距离 , 1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA, 又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1, 作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离 . B A C D O G H 1A1C1D1B1O精选学习资料 - - - - - - -

18、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页在OGO1中，222212111AOOOSOGO. 又362,23212111OHOHGOOHSOGO. 即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 解析二BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B 平面11DGB的距离 . 设点 B 到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV, ,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的

19、每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点 . 例 4、如图， 在 RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小思路启迪 ： （II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程 ：解法

20、1： （I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOOQI，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则，DEAOOCADBEOCADBxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页CDE 是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOE又132DEAO在 RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3解法 2： （I）同解法1（I

21、I）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(0 0 0)O，(0 0 2 3)A ， ，(2 0 0)C， ，(013)D， ，(0 0 2 3)OAuuu r，( 213)CDu uu r， ，cosOA CDOA CDOACDuuu r uuu ruuu r uuu rguuu ruuu rg，6642 3 2 2g异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos4小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面

22、直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0. 考点 5 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容 . 例 5. 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD已知45ABCo，2AB，22BC，3SASB（）证明SABC ；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小考查目的： 本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程：

23、 解法一：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABCo，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，DBCASODBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SDSAB的面积22111222SABSAABg连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB ADog设D到平面SAB的距离为h，由于DSABS ABDVV，得121

24、133h SSO Sgg，解得2h设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因为SASB，所以AOBO又45ABCo，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，( 2 0 0)A， ，(02 0)B， ，(02 0)C，(0 01)S，( 2 01)SAuu r， ，(0 2 2 0)CBu uu r，0SACBuu r uu u rg，所以SABC（）取AB中点E，22022E，连结S

25、E，取SE中点G，连结OG，22 1442G，22 1442OG，22122SE，(22 0)AB， ，0SE OGg，0AB OGg，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直所以 OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余(2 2 2 0)D，(2 221)DS，DBCASOEGyxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页22cos11OG DSOGDSgg，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1

26、）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解 .二面角是高考的热点，应重视. 例 6如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAPo，直线CA和平面所成的角为30o（I）证明BCPQ；（II）求二面角BACP的大小命题目的 ：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引 ：

27、（I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB因为，PQI，所以CO，又因为CACB，所以OAOB而45BAOo，所以45ABOo，90AOBo，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC，故PQBC（II）解法一：由（I）知，BOPQ，又，PQI，BO，所以BO 过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（ I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAOo，A B C Q P A B C Q P O H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

28、 47 页不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAOo在RtOAB中，45ABOBAOo，所以3BOAO，于是在RtBOH中，3tan232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2解法二： 由（I）知，OCOA，OCOB，OAOB，故可以O为原点，分别以直线OBOAOC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为COa，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAOo不妨设2AC，则3AO，1CO在RtOAB中，45ABOBAOo，所以3BOAO则相关各点的坐标分别是(0 0 0)O，( 3 0 0)B， ，(03 0)A ， ，(0 0 1)C，所以( 33 0)ABuu

29、 u r，(031)ACuuu r，设1nu rxyz， ，是平面ABC的一个法向量，由1100n ABn ACu r u uu rgu r u uu rg，得33030 xyyz，取1x，得1(11 3)nur， ，易知2(10 0)nuu r， ，是平面的一个法向量设二面角BACP的平面角为，由图可知，12n nur uu r，所以121215cos5|51n nnnuru u ru ru u rg故二面角BACP的大小为5arccos5小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确

30、定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. A B C Q P O x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 47 页考点 7 利用空间向量求空间距离和角众所周知， 利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性. 例 7如图，已知1111ABCDA

31、B C D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD， ，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力过程指引 ：解法一：（1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND因为AEDN，1NDCF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而EN

32、AD，1FDCN又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE因此，1EBFD， ，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFBgg23132BCBGCFg因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB平面11BCC B，所以EM 平面11BCC B（3）如图，连结EH因为MHBF，EMBF，所以BF 平面EMH，得EHBF于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFBgg22223311332BCBMBCCFg，tan13EMMH

33、解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BEu uu r， ，(0 3 2)BFuuu r， ，1(3 33)BDuu uu r， ，CBAGHMDEF1B1A1D1CNB1A1D1Cz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 47 页所以1BDBEBFuu uu ruuu ru uu r，故1BDuuu u r，BEuuu r，BFuuu r共面又它们有公共点B，所以1EBFD， ，四点共面（2）如图，设(0 0)Mz，则203GMzuuu u r，而(0 3 2)BFuu u r， ，由题设得23203GM BFzu

34、 uu u r uuu rggg，得1z因为(0 01)M，(3 01)E，有(3 0 0)MEuu ur， ，又1(0 0 3)BBuuu r，(0 3 0)BCuu u r， ，所以10ME BBu uu r uu u rg，0ME BCu uu r uu u rg，从而1MEBB，MEBC故ME 平面11BCC B（3）设向量(3)BPxyuu u r， ， 截面1EBFD，于是BPBEu uu ruuu r，BPBFuu u ruuu r而(3 01)BEuu u r， ，(0 3 2)BFu uu r， ，得330BP BExuuu r uu u rg，360BP BFyuuu r

35、uuu rg，解得1x，2y，所以( 12 3)BPuu u r， ，又(3 0 0)BAuu u r， ， 平面11BCC B，所以BPuu u r和BAuu u r的夹角等于或（为锐角）于是1cos14BP BABPBAu uu r uu u rgu u u ruu u rg故tan13小结 ： 向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角； 点面距离一般转化为AB在面 BDF 的法向量n上的投影的绝对值. 考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例 8 . 如图（ 1） ，将边长

36、为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线 折 起 ， 做 成 一 个 无 盖 的 正 六 棱 柱 容 器 ， 当 这 个 正 六 棱 柱 容 器 的 底 面 边 长 为时容积最大 . 思路启迪 设四边形一边AD ，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD 长度即可 . 解答过程：如图（2）设 AD a，易知 ABC 60，且 ABD 30AB3a . BD2a正六棱柱体积为V . Vaa360sin212162）（aa22129）（NMCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 47 页a

37、aa4)21)(21(8933289）（ . 当且仅当1 2a4aa61时，体积最大，此时底面边长为12a126132 . 答案为61 . 考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积 V 等于31Sh 其中 S 是底面积， h 是棱锥的高 . 典型例题例 9 . （2006 年全国卷）已知圆O1是半径为R 的球 O 的一个小圆，且圆O1的面积与球O 的表面积的比值为92，则线段OO1与 R 的比值为 . 命题目的：球截面的性质；球表面积公式. 过程指引：依面积之比可求得Rr

38、，再在 RtOO1A 中即得解答过程：设小圆半径为r，球半径为R则92422Rr92422Rr322Rr cos OAO1322Rr而31981sin1ROO故填31选择题辨析注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（） （可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线a、b 异面， a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内 . 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等 .（） （并非是从平面外

39、一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面. 注：直线a与平面内一条直线平行，则a. （） （平面外一条直线）直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交 . （） （平面外一条直线）若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行 . （） （不是任意一条直线，可利用平行的传递R r A O1O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47 页性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （） （可能在此平面内）平行于同一直线的两个平

40、面平行.（） （两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行. （） （两直线可能相交或者异面）直线 l 与平面、所成角相等，则.（） （、可能相交）注 ：垂直于同一平面的两个平面平行. （）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个平面平行. （） （一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行. （）注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（） 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（） （斜四面体的两个平行的

41、平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（） （只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱 柱棱 柱3VShV注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面

42、都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 注：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证： ABCD ，AC BD BCAD. 令bACcADaAB,得cacbADBCcADabABACBC,，已知0,0cabbca0cbca则0ADBC. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC中点O ，则ACACOBACoo,平

43、面FGHBOACBOO90易知 EFGH 为平行四边形EFGH 为长方形 . 若对角线等，则EFGHFGEF为正方形 . 注：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 . （） 当0b时，不成立 向量cba,共面即它们所在直线共面. （） 可能异面 若 a b ，则存在小任一实数，使ba. （） 与0b不成立 若 a 为非零向量，则00 a. （） 这里用到)0(bb之积仍为向量 立体几何题型与方法(理科 ) 1平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。BCDAabcFEHGBCDAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

44、 -第 15 页，共 47 页（1）. 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据： 由点在线上， 线在面内，推出点在面内） ， 这样可根据公理2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线 . （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不

45、同在任一平面内，无公共点 注 ：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. （）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系是平行或相交若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直线的图形一定是直线. （）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（） （并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面. 异面直线判定定理： 过平面外一点与平面内

46、一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. （不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角90,0）（向量与向量所成角)180,0推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 注 ：21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点

47、在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 47 页（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 . （ “线线平行线面平行”） 注 ：直线a与平面内一条直线平行，则a. （）（平面外一条直线）直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交. （）（平面外一条直线）若直线a与平面平行，则内必存在无

48、数条直线与a平行 . （） （不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （） （可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行. （）（两直线可能相交或者异面）直线 l 与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （ “线面平行线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA，a AO，得a PO （三垂线定理）

49、，三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面 . （ “线线垂直线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. （5）.a. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短 . 注 ：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线. （） b

50、. 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4. 平面平行与平面垂直. （1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. （2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ “线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注 ：一平面内的任一直线平行于另一平面. （3）. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（ “面面POAa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -