2022年高中数学必修一函数概念与基本初等函数精品教学案 .pdf

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1、- 1 - 函数概念与基本初等函数一函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念, 会求一些简单函数的定义域和值域.2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大小值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大小值.6会运用函数图像理解和研究函数的性质.二指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念，会求与指数

2、函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。三对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3知道对数函数是一类重要的函数模型.4了解指数函数与对数函数互为反函数。四幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数的图像，了解它们的变化情况。五函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.六函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增

3、长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 42 页- 2 - 定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质根据考

4、试大纲的要求，结合2009 年高考的命题情况，我们可以预测2010 年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、 集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题. 在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新. 以基本函数为模型的

5、应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象. 函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点. 考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第 1 课时函数及其表示一、映射1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合 B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2象与原象： 如果f:AB是一个 A到 B的映射， 那么和 A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。精选学习资料 -

6、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 42 页- 3 - 二、函数1定义：设A、B 是，f:AB 是从 A 到 B 的一个映射，则映射f:AB 叫做 A 到 B的，记作 .2函数的三要素为、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有、。例 1. 以下各组函数中，表示同一函数的是.A. 1,xyyx B. 211,1yxxyxC. 33,yxyx D. 2|,()yxyx解： C变式训练1：以下函数中，与函数y=x 相同的函数是A.y=xx2B.y=(x)2 C.y=lg10 x D.y=x2log2解： C例 2. 给

7、出以下两个条件： 1 f(x+1)=x+2x;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 .解： 1令 t=x+1,t 1， x=t-1 2.则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即 f(x)=x2- 1,x 1，+).2设 f(x)=ax2+bx+c (a 0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.22444baa，11ba，又 f(0)=3c=3, f(x)=x2-x+3.变式训练2：1已知 f 12x=lgx ，求 f x；2已知 f x是一次函

8、数，且满足3f x+1-2f x-1 =2x+17，求 f x；3已知 f x满足 2f x+f x1=3x，求 f x.解： (1) 令x2+1=t ，则 x=12t，f t =lg12t，f x=lg12x,x (1,+ ).2设 f x=ax+b，则3f x+1-2f x-1 =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17 ，a=2， b=7，故 f x=2x+7.32f x+f x1 =3x，把中的x 换成x1，得 2f x1+f x=x3典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 42 页-

9、4 - 2- 得 3f x=6x-x3，f x =2x-x1.例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，BAD=45 ，作直线MN AD交 AD于 M ，交折线ABCD于 N，记 AM=x ，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域 .解： 作 BH AD ， H为垂足， CG AD ， G为垂足，依题意，则有AH=2a， AG=23a.1当 M位于点 H的左侧时， NAB ，由于 AM=x ，BAD=45 .MN=x.y=SAMN=21x20 x2a.2当 M位于 HG之间时，由于AM=x ，MN=2a，BN=x-2a.y=S

10、 AMNB =221 ax+x-2a =21ax-).232(82axaa3当 M位于点 G的右侧时，由于AM=x ，MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(221222222axaaaxxxaxaaxaaaa综上： y=aaxaaxxaaxaaxaxx2 ,2345221.23,28212,0212222变式训练3：已知函数f(x)=.0,1, 0, 1,0,2xxxxx1画出函数的图象；2求 f(1) ，f(-1),f)1(f的值 .解： 1分别作出f(x)在 x0,x=0,x 0 段上的图象，如下图，作法略.2f(1)=12

11、=1,f(-1)=-, 111f)1(f=f(1)=1.1了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性2函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法或凑配法、解方程组法使用换元法时，要注意研究定义域的变化3在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域假设函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示小结归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 42 页- 5 - 第 2 课时函数的定义域和值域一、定义域：1函数的定义域就是使函数式的集合 .2常见的三种题型确定定义域

12、： 已知函数的解析式，就是 . 复合函数f g(x) 的有关定义域，就要保证内函数g(x) 的域是外函数f (x) 的域.实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数yf (x) 中，与自变量x的值的集合 .2常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法又分为法和法例如：形如y221x，可采用法；y)32(2312xxx，可采用法或法；yaf (x)2bf (x) c，可采用法；yxx1，可采用法；yx21x，可采用法；yxxcos2sin可采用法等. 例 1.求以下函数的

13、定义域：1y=xxx|)1(0; (2)y=232531xx; (3)y=11xx.解： 1由题意得,0|01xxx化简得,|1xxx即.01xx故函数的定义域为x|x 0 且 x -1.2由题意可得,050322xx解得.553xx故函数的定义域为x|-5x5且 x3.3要使函数有意义，必须有,0101xx即,11xxx1, 故函数的定义域为1，+ .变式训练1：求以下函数的定义域：1y=212)2lg(xxx+(x-1)0 ; (2)y=) 34lg(2xx+(5x-4)0; (3)y=225x+lgcosx;基础过关典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

14、- - - - - - -第 5 页，共 42 页- 6 - 解： 1由01,012022xxxx得1, 432xxx所以 -3x2 且 x1.故所求函数的定义域为-3 ，1(1,2).2由045, 134034xxx得54,2143xxx函数的定义域为).,54()54,21(21,433由0cos0252xx, 得,)(222255Zkkxkx借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5例 2.设函数 y=f(x)的定义域为 0，1，求以下函数的定义域.1y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31xfx; (4)y=f(x+a)+f(x

15、-a).解： 103x1, 故 0 x31,y=f(3x)的定义域为0, 31.2仿 1解得定义域为1，+).3由条件， y 的定义域是f)31(x与)31(x定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310 xxxxx故 y=f)31()31(xfx的定义域为32,31. 由条件得,111010axaaxaaxax讨论：当,11,1aaaa即 0a21时，定义域为a,1-a ;当,1,aaaa即-21a0 时，定义域为-a,1+a .综上所述：当0a21时，定义域为a，1-a ；当 -21a0 时，定义域为-a ， 1+a.变式训练2： 假设函数 f(x)的定义域是 0，

16、 1 ， 则 f(x+a) f(x-a)0a21 的定义域是A. B.a，1-a C. -a ，1+a D. 0，1解：B 例 3.求以下函数的值域：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 42 页- 7 - 1y=;122xxxx (2)y=x-x21; (3)y=1e1exx.解： 1方法一配方法y=1-,112xx而,4343)21(122xxx0,34112xx.131y值域为1 ,31. 方法二判别式法由 y=,122xxxx得(y-1). 0)1(2yxyxy=1 时 ,yx,1. 又xR，必须=(1-y)2-4y(

17、y-1)0.131y, 1y函数的值域为1 ,31. 2方法一单调性法定义域21| xx，函数 y=x,y=-x21均在21,上递增，故 y.21212121函数的值域为21,. 方法二换元法令x21=t, 则 t 0，且 x=.212ty=-21t+1 2+121t 0 ,y - ，21.3由 y=1e1exx得 ,ex=.11yyex 0, 即yy110, 解得 -1 y1.函数的值域为y|-1y1.变式训练3：求以下函数的值域：1y=521xx; (2)y=|x|21x.解： 1( 别离常数法 )y=-) 52(2721x，)52(27x0,y -21. 故函数的值域是 y|y R,且y

18、-21.(2) 方法一 ( 换元法 )1-x20, 令 x=sin, 则有 y=|sincos|=21|sin2|,故函数值域为0，21 . 方法二y=|x| ,41)21(122242xxxx0y,21即函数的值域为21, 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 42 页- 8 - 例 4假设函数f x=21x2-x+a 的定义域和值域均为1，b b1，求 a、b 的值 .解： f x=21(x-1)2+a-21. 其对称轴为x=1，即 1，b为 f x的单调递增区间. f xmin=f 1=a-21=1 f xmax=f

19、 b=21b2-b+a=b 由解得.3,23ba变式训练4：已知函数f(x)=x2- 4ax+2a+6 (x R).1求函数的值域为0，+) 时的 a 的值；2假设函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域 .解： (1 函数的值域为0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a- 3=0a= -1 或 a=23. 2对一切x R，函数值均非负 , =8(2a2-a- 3)0- 1a23, a+3 0,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+23)2+417(a23, 1). 二次函数f(a)在23, 1上单调递减，f amin=f)23(=-419，f am

20、ax=f -1 =4，f(a) 的值域为4,419. 1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式如例1，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式如例2，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域； 三是实际问题， 此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义 . 2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法. 第 3 课时函数的单调性一、单调性1定义：如果函数yf (x) 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2

21、，当x1、0). (2) 性质：aann)(； 当n为奇数时，aann； 当n为偶数时，nna_) 0()0(aaaa2指数：(1) 规定： a0(a0) ； a-p；(0,mnmnaaam.(2) 运算性质：aaaasrsr, 0(a0, r、sQ) aaasrsr,0()(a0, r、sQ) rbababarrr,0,0()(a0, r、sQ) 注：上述性质对r 、sR均适用 . 3指数函数： 定义： 函数称为指数函数， 1) 函数的定义域为；2) 函数的值域为；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数 . 函数图像：基础过关小结归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

22、纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 42 页- 17 - 1) 过点，图象在；2) 指数函数以为渐近线 (当10a时，图象向无限接近x轴，当1a时，图象向无限接近x轴) ；3)函数xxayay与的图象关于对称 . 函数值的变化特征：10a1a时0 x时0 x时0 x时0 x时0 x时0 x例 1.已知 a=91,b=9. 求：1;315383327aaaa2111)(abba. 解： 1原式 =3127a.3123a a21)38(21315a= 2167a)2534(=a21.a=91，原式 =3.2方法一化去负指数后解.1111)(111baababbaabbaabbaa=

23、,9,91ba+b=.982方法二利用运算性质解.11)(11111111111ababbabbaaabbaa=,9,91ba+b=.982变式训练1：化简以下各式其中各字母均为正数: 1;)(65312121132bababa2.)4()3(6521332121231bababa解： 1原式 =.100653121612131656131212131bababababa2原式 =-.4514545)(45)2(2523232123313612331361abababbababababa例 2. 函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)

24、与 f(cx) 的大小关系是A.f(bx) f(cx) B.f(bx) f(cx) C.f(bx) f(cx解： A 典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 42 页- 18 - 变式训练2：已知实数a、b 满足等式ba)31()21(，以下五个关系式：0ba; ab 0; 0ab; ba0; a=b.其中不可能成立的关系式有A.1 个 B.2个C.3 个解： B例 3.求以下函数的定义域、值域及其单调区间：1f(x)=3452xx;2 g(x)=-(5)21(4)41xx. 解： 1依题意x2-5x+4 0,解得 x

25、4 或 x1,f x的定义域是- ， 1 4，+ .令 u=,49)25(4522xxxx - ， 1 4，+，u0，即452xx 0，而 f(x)=3452xx30=1,函数 f(x) 的值域是 1，+ .u=49)25(2x, 当 x - ， 1时， u 是减函数，当 x 4，+时， u 是增函数 . 而 3 1, 由复合函数的单调性可知，f x=3452xx在 -， 1上是减函数，在4，+上是增函数.故 f x的增区间是4，+，减区间是- ， 1.2由 g(x)=-(, 5)21(4)21(5)21(4)412xxxx函数的定义域为R，令 t=()21x (t 0), g(t)=-t2+

26、4t+5=-(t-2)2+9,t 0, g(t)=-(t-2)2+99, 等号成立的条件是t=2,即 g(x) 9, 等号成立的条件是(x)21=2，即 x=-1 ， gx的值域是 - ， 9.由 g(t)=-(t-2)2+9 (t 0), 而 t=(x)21是减函数，要求g(x) 的增区间实际上是求g(t) 的减区间，求 g(x) 的减区间实际上是求g(t)的增区间 .gt 在 0，2上递增，在2，+上递减，由 0t=(x)212, 可得 x -1,由 t=(x)212, 可得 x-1.gx在 -1 ， +上递减，在- ， -1 上递增，故 g(x) 的单调递增区间是- ， -1 ，单调递减

27、区间是-1 ，+ .变式训练3：求以下函数的单调递增区间：1y=(226)21xx;(2)y=262xx.解： 1函数的定义域为R.令 u=6+x-2x2, 则 y=(u)21.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=41,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 42 页- 19 - 在区间41，+上， u=6+x-2x2是减函数，又函数 y=()21u是减函数，函数 y=(226)21xx在41， +上是增函数.故 y=(226)21xx单调递增区间为41，+ .2令 u=x2-x-6,则 y=2u,二次函数u=x2-x-6

28、的对称轴是x=21, 在区间21，+上 u=x2-x-6是增函数 .又函数 y=2u为增函数，函数 y=262xx在区间21，+上是增函数.故函数 y=262xx的单调递增区间是21，+ . 例 4设 a0,f(x)=xxaaee是 R上的偶函数 .1求 a的值；2求证： f(x)在 0，+上是增函数.1解：f x是 R上的偶函数，f -x =f x，,eeeexxxxaaaa a-)e1e)(1xxa=0 对一切 x 均成立，a-a1=0，而 a0, a=1. 2证明在 0，+) 上任取 x1、x2，且 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=1ex +1e1x-2ex-2e1x=)ee(1

29、2xx ().1e121xxx1x2, ,ee21xx有. 0ee12xxx10,x2 0, x1+x20, 21exx1, 21e1xx-1 0. f(x1)-f(x2) 0, 即 f(x1) f(x2), 故 f(x)在 0,+ 上是增函数. 变式训练4： 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2， 且当 x(0,1) 时，f(x)=142xx. 1求 fx) 在 -1，1上的解析式；2证明： f(x)在 0，1上是减函数 .1解：当 x(-1,0)时， -x (0,1).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 42

30、页- 20 - f x是奇函数，f x=-f -x =-.142142xxxx由 f(0)=f(-0)=-f(0)，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间 -1 ，1上，有f x=1 ,0 ,10)0, 1(142) 1 ,0(142xxxxxxx(2) 证明当 x (0,1) 时， f(x)=.142xx设 0 x1x2 1,则 f(x1)-f(x2)=,) 14)(14() 12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx0 x1x21, 1222xx0，221xx-10, f(x1)-f(x2) 0, 即

31、 f(x1) f(x2),故 f(x)在 0，1上单调递减 . 1bN a，abN，logaNb(其中 N0，a0，a 1) 是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算. 在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底. 2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3 含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类 . 4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数( 特别是二次函数) 形成的函数问题，与方程、不等

32、式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合 . 第 6 课时对数函数1对数：(1) 定义：如果Nab) 1, 0(aa且，那么称为，记作，其中a称为对数的底，N称为真数 . 以 10 为底的对数称为常用对数，N10log记作 _ 以无理数)71828.2(ee为底的对数称为自然对数，Nelog记作 _(2) 基本性质： 真数 N为 (负数和零无对数) ；01loga；1logaa； 对数恒等式：NaNalog(3) 运算性质： loga(MN)_ ；基础过关小结归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，

33、共 42 页- 21 - logaNM_ ； logaMn (nR). 换底公式： logaN (a0，a1，m0，m1，N0) logmnaanbbm .2对数函数： 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数xyalog与函数) 1,0(aaayx且互为反函数 . 1) 图象经过点 ( )， 图象在； 2) 对数函数以为渐近线 ( 当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴) ；4) 函数ylogax与的图象关于x轴对称 函数值的变化特征：10a1a时1x时1x时10 x时1x时1x时1

34、0 x例 1 计算： 1)32(log3222(lg2)2+lg2lg5+12lg)2(lg2;321lg4932-34lg8+lg245.解： 1方法一利用对数定义求值设)32(log32=x,则(2+3)x=2-3=321=2+3-1, x=-1.方法二利用对数的运算性质求解)32(log32=32log321=32log(2+3)-1=-1.2原式 =lg22lg2+lg5 +12lg2)2(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg2+(1-lg2)=1.3原式 =21lg32-lg49 -34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-342lg23+21

35、(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2 5)= 21lg10=21.典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 42 页- 22 - 变式训练1：化简求值 .1log2487+log212-21log242-1;2(lg2)2+lg2 lg50+lg25;3(log32+log92) (log43+log83).解： (1) 原式 =log2487+log212-log242-log22=log2.232log221log2424812723222原式

36、=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.3原式 =(.452lg63lg53lg22lg3)2lg33lg2lg23lg( )3lg22lg3lg2lg例 2 比较以下各组数的大小.1log332与 log556;2log 与 log0.7;3已知 log21blog21alog21c, 比较 2b,2a,2c的大小关系 .解： 1 log332log31=0,而 log556log51=0, log332log556.(2) 方法一00.7 1,1.1 1.2,02. 1log1. 1log7.00.7,2 .1log11.1log17 .07.0,即由换

37、底公式可得log log0.7.方法二作出 y=logx 与 y=logx 的图象 .log0.7.(3) y=x21log为减函数，且cab212121logloglog,bac, 而 y=2x是增函数， 2b 2a 2c.变式训练2：已知 0a1,b 1,ab 1，则 logabbbba1log,log,1的大小关系是abbbba1loglog1B.bbbbaa1log1loglogC.bbbaba1log1loglog D.bbbaablog1log1log解： C 例 3 已知函数 f(x)=logax(a 0,a 1) ，如果对于任意x 3，+都有 |f(x)|1 成立，试求 a的取

38、值范围 .解： 当 a1 时，对于任意x 3，+，都有f(x)0.所以， |f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在 3，+上为增函数，对于任意x 3，+，有f(x)loga3. 因此，要使 |f(x)|1 对于任意x 3，+都成立 .只要 loga31=logaa 即可， 1a3. 当 0 a1 时，对于x 3，+，有f(x)0, |f(x)|=-f(x). f x=logax 在 3，+上为减函数，-f x在 3， +上为增函数.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 42 页- 23 - 对于任意x 3，+都有

39、|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使 |f(x)|1 对于任意x 3，+都成立，只要 -loga31 成立即可，loga3-1=logaa1, 即a13, 31a1.综上，使 |f(x)| 1对任意 x 3，+都成立的a 的取值范围是：(1 ， 331，1 . 变式训练3：已知函数f x=log2(x2-ax-a)在区间 - ,1-3上是单调递减函数. 求实数 a的取值范围 .解： 令 g(x)=x2-ax-a, 则 g(x)= x-2a2-a-42a,由以上知 g(x 的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x) 的底数 21,在区间 - ,

40、1-3上是减函数，所以 g(x)=x2-ax-a在区间 - ,1-3上也是单调减函数，且g(x) 0.0)31()31(3220)31 (2312aaaga，即解得 2-23a2.故 a 的取值范围是a|2-23a2 . 例 4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B两点，分别过A、B作 y 轴的平行与函数 y=log2x 的图象交于C、D两点 .1证明 : 点 C、D和原点 O在同一直线上；2当 BC平行于 x 轴时，求点A的坐标 .1证明设点 A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21, 则点 A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为 A 、B

41、在过点 O的直线上，所以228118loglogxxxx点 C、D的坐标分别为(x1,log2x1) 、 (x2,log2x2),由于 log2x1=2loglog818x=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=118112log3logxxxx,OD的斜率为,log3log2282222xxxxk由此可知k1=k2, 即 O、C、 D在同一直线上 .2解：由于 BC平行于 x 轴，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1=31log2x2,x2=x31,代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1, 由于 x11,

42、知 log8x10, 故 x31=3x1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 42 页- 24 - 又因 x11, 解得 x1=3, 于是点 A的坐标为3，log83). 变式训练4：已知函数f(x)=log211xx+log2(x-1)+log2(p-x).1求 f(x) 的定义域； 2求 f(x) 的值域 .解： 1f(x)有意义时，有,0,01,011xpxxx由、得x1, 由得 xp, 因为函数的定义域为非空数集，故p1,f(x)的定义域是 (1,p). 2f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2- x-2

43、1p2+4) 1(2p (1 x p),当 121pp，即 p3 时，0-(x-4)1(4) 1()21222ppp,log24) 1()21(22ppx2log2(p+1)-2.当21p1，即 1p3 时，0-(x-),1(24)1()2122ppplog24) 1()21(22ppx1+log2(p-1).综合可知：当 p3 时， f(x)的值域是 - ,2log2(p+1)-2 ;当 1p3 时，函数f(x)的值域是 (- ,1+log2(p-1). 1处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，

44、要到达熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析. 3含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1 或小于 1 分类 . 4含有指数、 对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数 ( 特别是二次函数 ) 形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合. 第 7 课时函数的图象基础过关小结归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 42 页- 25 - 一、基本函数图象特征作出草图1一次函数为；2二次函数为；

45、3反比例函数为；4指数函数为，对数函数为 . 二、函数图象变换1平移变换：水平变换：yf(x ) yf(xa) (a0) y f(x) yf(x a) (a0) 竖直变换： yf(x) y f(x)b (b0) yf(x) y f(x) b (b0) 2对称变换： yf(x)与 yf(x) 关于对称 y f(x)与 yf(x) 关于对称 y f( x)与 y f(x) 关于对称 yf -1(x)与 yf(x) 关于对称 y|f(x)|的图象是将yf(x) 图象的 yf(|x|) 的图象是将yf(x) 图象的3伸缩变换： y Af (x) (A0) 的图象是将yf(x) 的图象的. y f (a

46、x) (a0) 的图象是将y f(x)的图象的. 4假设对于定义域内的任意x，假设 f (ax)f (ax) (或 f (x) f (2ax) ，则 f (x) 关于对称，假设f (ax)f (ax)2b (或 f (x) f (2ax)2b)，则 f (x) 关于对称 . 例 1作出以下函数的图象.1y=21(lgx+|lgx|);2 y=112xx;3y=)21(|x|.解： 1 y=).1(lg).10(0 xxx2由 y=112xx, 得 y=11x+2.作出 y=x1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2 个单位得 y=11x+2 的图象 .3作出 y=21x的图象，

47、保留y=21x图象中 x0 的部分，加上y=21x的图象中x0 的部分关于y 轴的对称部分，即得y=21|x|的图象 . 其图象依次如下：变式训练1：作出以下各个函数的图象：1 y=2-2x； 2y=|log21 1-x | ；典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 42 页- 26 - 3y=112xx.解： 1由函数y=2x的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2 个单位，可得y=2-2x的图象 . 如图甲 .2由 y=log21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log21-x 的图象，再将图

48、象向右平移1个单位，即得到 y=log21(1-x).然后把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到 y=|log211-x | 的图象 . 如图乙 .3y=132112xxx.先作出 y=-x3的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1 个单位，向上平移2 个单位，即得到所求图象. 如图丙所示的实线部分. 例 2 函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 的图象如图 , 则函数 y=f(x)g(x) 的图象可能是解：A变式训练 2： 设 a1, 实数 x,y 满足 |x|-logay1=0, 则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( ) 解：B例 3 设函数 f(x)=x2-2|x

49、|-1 (-3x3).1证明： f(x)是偶函数；2画出函数的图象；3指出函数f(x) 的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；4求函数的值域.1证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即 f(-x)=f(x),f(x)是偶函数 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 42 页- 27 - 2解：当 x0 时， f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当 x0 时， f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即 f(x)=,)03(2) 1() 30(2) 1(

50、22xxxx根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图. 3解：函数 f(x) 的单调区间为-3 ，-1 ， -1 ，0， 0，1， 1，3. f x在区间 -3， -1 和 0，1上为减函数，在-1，0， 1，3上为增函数 . 4解：当 x0 时，函数f(x)=(x-1)2-2 的最小值为 -2, 最大值为f(3)=2;当 x0 时，函数f(x)=(x+1)2-2 的最小值为 -2, 最大值为f(-3)=2;故函数 f(x) 的值域为 -2 ，2. 变式训练3：当 x(1,2) 时, 不等式 (x-1)2logax 恒成立 , 则 a 的取值范围为 .解： (1,2 1作函数图象的基本方法是