数列通项公式和前 n 项和求解方法(5页).docx

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1、-数列通项公式和前 n 项和求解方法-第 5 页数列通项公式和前n项和求解方法(有专题一：数列通项公式的求法n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， （2）1,公式法1：特殊数列公式法2： 知sn利用公式 an=2,31,22,K5s1,n=1Sn-Sn-1,n2例2：已知数列an的前n项和Sn的公式Sn=n2+n-1，求an的通项公式.1例3：已知数列an的前n项和为Sn，Snan1)(nN*) 3(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列【型如an+1=an+f(n)的递推关系】简析：已知a1=a,an+1-an=f(n)，其中

2、f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。 例： 若在数列an中，a1=3，an+1=an+2n，求通项an例4：已知数列an满足a1=3，an=an-1+1(n2)，求此数列的通项公式. n(n-1)【 形如an+1=f(n)an型】（1）当f(n)为常数，即：an+1，此时数列为等比数列，an=a1qn-1. =q（其中q是不为0的常数）a

3、n（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例5：在数列an中，a1 =1, (n+1)an+1=nan ，求an的表达式.an+1=can+d,(c0,其中a1=a)型】（1）若c=1时，数列an为等差数列; （2）若d=0时，数列an为等比数列;（3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设an+1+l=c(an+l),得an+1=can+(c-1)l,与题设an+1=can+d,比较系数得l=d,(c0)， c-1ddd为首项，以c为公比的等比数列. d构成以所以：an+=c(an-1+),即a1+an+c-1c-1c-1c-1例6：已知

4、数an的递推关系为an+1=2an+1，且a1=1求通项an.例7：（1）数列an满足a1=0,且a1+a2+L+an-1+an=2(n-1),求数列an的通项公式.解析：由题得 a1+a2+L+an-1+an=2(n-1)Ln2时，a1+a2+L+an-1=2(n-2)L0,n=1. 由-得a=n2,n2数列an满足a1=1,且a1a2Lan-1an=n2，求数列an的通项公式。专题二：数列求和方法1、等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)n(a2+an-1)n(a3+an-2)n(n-1)=L=na1+d 2222(q=1)na1n 2、等比数列求和公式：S=a(1-q)a-aq1n1n

5、=(q1)1-q1-q方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an、 bn分别是等差数列和等比数列.例1 求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)xn-1(x1)解析：由题可知，(2n-1)xn-1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn-1的通项之积：设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xn得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xn-1-(2n-1)xn （错位相减）1-xn-1再利用等比数列的求和公式得：(1-x)Sn=1+2x-(2n-1)xn. 1-x(2n-1)xn+1-(

6、2n+1)xn+(1+x) Sn=. (1-x)2例2 设数列bn，且bn=n2n-1,求数列bn的前n项和Sn方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)，然后再除以2得解.数列通项公式、前n项和求解方法2o2o2o2o2o 例3 求sin1+sin2+sin3+sin88+sin89的值 . 答案：S44.5方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组；例4

7、已知正项等比数列an中，a1a26，a3a424.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bn=log2an，求数列anbn的前n项和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）an=f(n+1)-f(n) ； （2）an=1+n+1=n+1-n； （3）a=n111 =-n(n+1)nn+1例5 已知数列an中，a13，an14an3.(1)试写出数列an的前三项；(2)求证：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bn=log2(an+1)，求数列1的前n项和为Tn。 bnbn+1