2022年初二数学下归纳总结 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载平移一、一周知识概述1、平移在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一位置，这样的图形运动叫做平移2、平移作图（1）平移作图的依据是图形平移的特征，对应线段、对应角相等，对应点连线平行且相等（2）平移作图的条件是平移的方向，平移的距离（3）平移作图的关键是确定关键点平移后的位置. （4）平移作图的关键点有线段的两端、线段与线段的交点、圆心及能够确定圆弧半径的点二、重难点知识归纳1、对平移的理解（1）把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动得到的，这两个点是对应点（3）连接各组

2、对应点的线段平行且相等2、运用平移的性质画图（1）平移的关键是平移方向和平移距离（2）首先确定平移后各顶点的位置，再连结各顶点画出平移后的图形，或利用平移前后两个图形对应线段都相等画出平移后的图形（3）在找对应点、对应线段和对应角时，注意一一对应，对应线段一定要画得平行且相等3、知识归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载三、典型例题剖析例 1、如图， ABC 沿射线 XY 的方向平移一定距离后成为DEF找出图中存在平行且相等的线段和相等的角例 2、如图，经过平移，四边形的顶点A 移到了点 E，作

3、出平移后的四边形EFGH例 4、如图所示，ABC 关于直线 l 对称的图形为 ABC ，把 ABC 沿垂直于轴l 的方向平移到ABC，你能说出 ABC与 ABC之间有何关系吗？例 5、有两个村庄A 和 B 被一条河隔开，现在要架设一座桥MN，使由 A 到 B 的路程最短，请你设计桥应架在什么地方（河岸是平行的，桥垂直于两岸）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载旋转一、知识概述1、图形的旋转图形旋转实质是图形的旋转运动，它由旋转中心和旋转角度所决定，是指在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转

4、动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角如图， ABC 是将 ABC 绕点 O 顺时针旋转 度后所得的图形2、旋转的特征某个图形经过旋转，图形上每一点都绕着旋转中心，沿着相同的方向转动了相同的角度，所以，图形旋转的特征是：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等，即对应角相等，对应边相等例如，在上图中有：OA=OA ，OB=OB ，OC=OC ； AOA = BOB = COC ； ABC ABC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35

5、 页优秀学习资料欢迎下载3、旋转图形的画法根据旋转图形的特征，我们像平移作图一样，对于旋转作图，可以先确定图形的“ 关键点 ” ，以局部带动整体进行旋转旋转作图的一般步骤是：确定旋转中心、旋转方向及旋转角；找出表示图形的关键点，一般是图形的“ 拐点” ，对于三角形来说，就是它的三个顶点；将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到关键点的对应点；按原图形顺序连结这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形二、典型例题讲解例 1、画出 ABC 绕点 O 顺时针旋转120 后得到的 ABC 例 2、如图，已知P 为正三角形ABC 内的一点， APB=113 ， APC

6、=123 。求证：以 AP、BP、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形各内角的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 3、在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为 (1,0)，将点 P0绕着原点 O 按逆时针方向旋转30 得到点P1，延长 OP1到 P2，使 OP2=2OP1；再将点 P2绕着原点 O 按逆时针方向逆转30 得到点 P3，延长 OP3到P4，使 OP4=2OP3；如此继续下去求： (1)点 P2的坐标； (2)点 P2003的坐标例 4、如图所示的正方形的面积为1

7、6，观察如下的操作并回答：(1)连结对角线，把正方形分成两个三角形，如图(1)，则每个三角形的面积是多少？(2)再画另一条对角线， 两对角线将正方形分成了四个小三角形，如图(2)，那么这四个小三角形的面积是多少？这四个小三角形之间是什么关系？(3)将这两条互相垂直于O 点的直线绕O 点旋转形成四个四边形，如图(3)，这四个四边形间有何关系？其面积是多少？(4)将与正方形ABCD 同样大小的一个正方形OEFG 的一个顶点放在O 点，并将其旋转，如图(4)，在旋转过程中两正方形重叠部分的面积怎样变化？中心对称与中心对称图形图案的设计与欣赏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

8、结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载、一周知识概述1、中心对称把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。(1)中心对称是指两个图形的关系，成中心对称的两个图形只有一个对称中心，并且一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反过来，另一个图形上的所有点关于这个中心的对称点都在这个图形上；(2)如图， ABC 绕着点 O 旋转 180 ，和 ABC 能够完全重合，则这两个三角形关于点O 对称，点 O 叫对称中心， A 与 A

9、 ，B 与 B ，C 与 C 叫关于 O 的对称点。2、中心对称的特征及识别方法(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等形；(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分， 那么这两个图形关于这点成中心对称。(4)中心对称的特征揭示了其图形的特征如上图所示，如果ABC 与ABC 关于点 O 成中心对称，则： A，O，A ；B，O，B ；C，O，C 均三点共线，且OA=OA ，OB=OB ，OC=OC ； ABCABC；(5)如果已知 ABC 与ABC 关于某点成中心对称，则点O 必为 AA 、BB 、

10、CC 的中心，且它们是同一点，故也可以连结AA 、BB ，则其交点即为对称中心。3、中心对称图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。(1)由中心对称图形的定义可知，中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它旋转的角度是180 ，它们之间的关系是：；(2)中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，中心对称图形是对一个图形来说的，它指的是某一个图形所具有的性质，即这个图形绕它本身的中心旋

11、转180 后能与自身重合； 而中心对称则是对两个图形而言的， 它描述的是两个图形的一种位置关系，即将一个图形绕某一点旋转180 后，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形。4、关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P(x，y)。理解关于原点对称的点的坐标的特征时，要结合图形理解记忆，要善于将点的位置关系转化为点的坐标的数量关系和将点的坐标的数量关系转化为点的位置关系。二、重难点知识重点：正确地认识中心对称和中心对称图形的特征难点：能快速识别中心对称和中

12、心对称图形，并能进行有关作图1、理解中心对称的定义要抓住以下三个要素：（1）有一个对称中心 点；（2）图形绕中心旋转180 ；（3）旋转后两图形重合2、中心对称图形和旋转对称图形的关系中心对称图形是特殊的旋转对称图形，因此中心对称图形都属于旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形. 3、中心对称与中心对称图形之间的关系中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形

13、. （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上. 联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形. 三、典型例题讲解例 1、如图所示，请在网格中画出四边形ABC D ，使它与原四边形ABCD 关于点 O 成中心对称。例 2、(1)已知点 P(a1，a29)在 x 轴的负半轴上，求P 点关于原点对称的点的坐标；(2)已知点 A 与点 B(1， 6)关于 y 轴对称，求点A 关于原点的对称点C 的坐标；(3)若点 P(12a，2a4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数值是多少？例

14、3、如图，四边形ABCD 中，ADBC，DF=CF，连结 AF 并延长交 BC 延长线于点E. （1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？（2）四边形 ABCD 的面积与图中哪个三角形的面积相等？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载（3）若 AB=AD BC， B=70 ，试求 DAF 的度数 . 例 4、如图中的花边的图案是以正方形为基础，由圆弧或圆构成，仿照例图，请你为班组黑板报设计一条花边。要求：(1)只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需配文字；(2)以所给正方形为基础，用圆

15、弧或圆画出；(3)图案应有美感；(4)与例图不同。变量与函数函数关系的表示法一、一周知识概述1、常量和变量在事物的变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，而数值始终保持不变的量叫做常量常量与变量必须存在于一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：看它是否在一个变化的过程中，看它在这个变化过程中的取值情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载2、函数一般地，在一个变化过程中，有两个变量x 与 y，如果给定 x 一个确定的值，就能确定y 的一个值，那么，我们就说y 是 x 的函数，其中x

16、 叫做自变量如果当x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自变量的值为a时的函数值3、函数自变量的取值范围的确定自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义自变量的取值范围的确定方法：首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；当

17、函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义4、函数的图象（1）图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象（2）由函数解析式画其图象的一般步骤：列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来5、函数的表示方法（1）解析法：两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示方法叫做解析法（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y

18、 的对应值列成一个表格来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法二、重难点知识归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载1、变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程，在不同研究过程中，作为变量与常量的“ 身份 ” 是可以相互转换的2、理解函数的概念应扣住下面三点：（1）函数的概念由三句话组成：“ 两个变量 ” ，“x 的每一个值 ” ，“y 有唯一确定的值 ” （2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要地是看对于x 的每一个

19、确定的值。 y 是否有唯一确定的值和它对应（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系3、自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有的是单独一个（或几个）数的；在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分4、利用函数的图象解决实际问题，其关键是正确识别横轴和纵轴的意义，正确理解函数图象的性质，正确地识图、用图5、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系由图象的定义可知图象上任意一点P（x，y）中的 x，y 是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上通常判定点是否在函数图象上的方法是：将这

20、个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上，反之亦然例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？（1）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S(m)2与一边长 x（m）之间的关系式；（2）购买单价是0.4 元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔数n（支）的关系；（3）运动员在400m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）某种活期储蓄的月利率为0.16%，存入 10000 元本金， 按国家规定， 取款时，应缴纳利息部分20%

21、的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y（元）与所存月数x 之间的关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 2、函数中自变量 x 的取值范围是例 3、已知等腰三角形的周长为10cm，求底边长 y(cm)与腰长 x(cm)之间的函数关系式及自变量x 的取值范围例 4、在一次流感传播期内，班上有20%同学感冒，小明周三早晨得流感并开始发烧，但小明吃了些药后坚持来上课（ 37.5为发烧温度），请根据下列图表指出：（1）周三小明是几时开始发烧的？（2）最高烧到多少度？（3）用药后什么时候退

22、烧？（见图）例 5、已知一水池中有600m3的水，每小时抽50m3（1）写出剩余水的体积Q（m3）与时间 t(h)之间的函数关系式；（2）写出自变量t 的取值范围；（3）8h 后，池中还有水多少立方米？（4）几小时后，池中还有水100m3？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 6、如图，表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9 点离开家， 15 点回家，请根据图像回答下列问题：（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离

23、家多远？（4）11：00 到 12：00 她骑了多少千米？（5）她在 9：0010：00 和 10：0010：30 的平均速度各是多少？（6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？（7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？函数的应用一、一周知识概述在现实世界中，到处都有变化的量函数是表达现实世界中数量之间变化规律的一种重要的数学模型在日常生活中有着广泛的应用，在经济和科学技术中的应用也很广泛函数知识充分体现了“ 数” 与“ 形” 的结合二、重难点知识归纳1、函数模型的理解和体会；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

24、第 13 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载2、体会函数的三种表示方法间的关系，根据函数解析式画出函数图象3、会根据函数图象解答变量之间的对应关系三、典型例题讲解例 1、根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x 值为，则输出的结果是（）ABCD例 2、甲、乙两同学开展“ 投球进筐 ” 比赛，双方约定：比赛分6 局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8 次，若 8次投球都未进，该局也结束；计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若 8 次都未投进，该局得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6 局比赛的总得分

25、高者获胜. (1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；(2) 若两人 6 局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“”表示该局比赛 8次投球都未进 )：第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲5 4 8 1 3 乙8 2 4 2 6 根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 3、一个

26、弹簧，不挂重物时长为10cm，挂上物体时，弹簧会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量如下表所示，在弹性限度内，所挂物品的质量不能超过10kg所挂物品质量（ kg）1 2 3 4 5 6 弹簧总长度（ cm）10.5 11.0 11.5 12 12.5 13 （1）求在弹性限度内弹簧的总长y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，并画出函数的图象（2）在弹性限度内，弹簧的最大长度是多少？例 4、小刚、爸爸和爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等每个人的行走路程与

27、时间的关系是图中所示的三个图象中的一个，走完一个往返问：（ 1）三个图象中哪个对应小刚、爸爸、爷爷？（2）离家所去的地点多远？（3）小刚与爷爷骑自行车的速度各是多少？三人步行的速度各是多少？例 6、我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节约用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的，某市规定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过6 米3时，水费按 a元/米3收费；超过 6 米3时，未超过的部分仍按a元/米3收费，超过部分按c 元/米3收费，该市某户今年 3、4 月份的用水量和水费如下表所示月份用水量（米3）水费（元）3 5 7.5 4 9 27 精选学习资料

28、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载设该户用水量为x（米3）；应交水费为y（元）（1）求 a，c的值，并求出用水量不超过6 米3和超过 6 米3时，y 与 x 之间的函数关系式；（2）若该户 5 月份的用水量为8 米3，求该户 5 月份的水费是多少元？平行四边形一、一周知识概述1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“ ABCD ” ，读作 “ 平行四边形ABCD ” 连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线如图，在 ABCD 中，AB 与 CD，AD 与 BC 分别

29、为 ABCD 的两组对边， A 与 C，B 与D是两组对角 AC、BD 是平行四边形的两条对角线2、平行四边形的性质平行四边形的性质较多，按“ 边、角、对角线” 分类去研究易于理解和应用(1)边：平行四边形对边平行、对边相等；(2)角：平行四边形对角相等，邻角互补；(3)对角线：平行四边形的对角线互相平分对角线是将四边形转化为三角形的桥梁，平行四边形中也常利用“ 对角线互相平分 ” 这一性质解决问题（4）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3、平行四边形的判定方法平行四边形判定方法除它的定义外，还有如下几种方法：(1) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；精选学习资料

30、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判定一个四边形是平行四边形需两个条件，这两个条件必须对应，若已知一组对边平行，可证另一组对边平行或这组对边相等；若已知一组对边相等，可证这组对边平行或另一组对边相等；若已知一条对角线被一点平分，则需证另一条对角线也被此点平分但要注意一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形特别说明的是：平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定5、三角形中位线三角形中位线的定义： 连接三角

31、形两边中点的线段叫做三角形的中位线一个三角形有三条中位线，并且它们又重新组成了一个新的三角形，要注意与三角形中线的区别三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半如图， D、E 分别是 ABC 边 AB 、AC 的中点，则，且 DEBC它说明三角形中位线与第三边的位置和大小关系也是我们将来解决线与线之间平行关系和倍分关系的一种重要方法三角形的中位线定理是三角形的重要定理，一般地，若已知三角形的中点，就要联想运用三角形的中位线定理. 二、重难点知识归纳1、理解平行四边形的性质和判定的区别和联系通过比较不难发现，平行四边形的判定与性质是互逆的这一点可以与平行线的判定与性质进

32、行比较学习可以用下图说明平行四边形判定与性质的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载2、通过平移或旋转，构造平行四边形根据判定 “ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” ，平移线段或旋转图形就可以得到一个平行四边形如证明三角形中位线定理时，可以运用旋转的方法3、等积变换如图， l1l2，你知道 ABC 与 DBC 的面积为什么相等吗？其实只要分别过点A、D 作出 ABC 和 DBC 边上的高 AE 和 DF 就可以了因为AEDF，且AD EF，由平行四边形的判定(定义)知四边形 AEFD

33、是平行四边形， 故 AE=DF( 平行四边形的性质)这样两个三角形是同底等高了，当然它们的面积就相等用同样的方法，我们还可以找到面积相等的三角形，请大家试试看！三、典型例题剖析例 1、如图，在 ABCD中， EFAB，GHAD ，图中有多少个平行四边形？例 2、如图，四边形ABCD 和四边形 AECF 都是平行四边形，证明BAE= DCF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 3、如图，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上，AF=CE，EF

34、 与对角线 BD 相交于点 O求证：点O 是 BD 的中点例 4、(1)有四边形 ABCD 和下列条件： AB CD； AD BC； AB=CD ；AD=BC 从上面 4 个条件中选出两个，能说明四边形ABCD 是平行四边形的有_；(2)如图， BD 是 ABCD 的对角线，点E、F 在 BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 _(填上你认为正确的一个即可)例 5、如图， BD、CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A 作 AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接 FG，延长 AF、AG 与直线 BC 相交，易证：，若：(1)BD 、CE 分别是 ABC 的内角

35、平分线 (如图 )；(2)BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为 ABC 的外角平分线 (如图 )则在图、两种情况下，线段FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载矩形菱形一、一周知识概述1、矩形(1)矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是一种特殊的平行四边形(2)矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质；矩形的对角线相等；矩形的四个角都是直角；矩形是轴对称图形，它有两条对称轴特别地有：直角三角形斜边

36、上的中线等于斜边的一半矩形的这些性质是学习的重点，尤其是矩形所特有的性质对角线相等、内角都是直角在解题中应用非常广泛(3)矩形的判定方法1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、对角线相等的平行四边形是矩形；3、有三个角是直角的四边形是矩形也可以用下面的方法进行判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形用定义识别矩形是探究矩形识别方法的出发点，也是最基本的判定方法，理解矩形的判定方法时要注意分清是在一个平行四边形上再加上什么条件，还是在四边形上加上什么条件才可以变成矩形另外，还要注意矩形的性质与判定方法的区别矩形的对角线将矩形分成两对全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形2、菱形(1)菱形

37、的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形也是一种特殊的平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载(2)菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的两条对角线将菱形分成两对全等的等腰三角形，四个全等的直角三角形菱形的面积除了用平行四边形的面积公式计算外，还可以用对角线的积来计算，如图，即菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴要特别注意：在菱形中，由于对角线的互相垂直平分，会出现四个全等的直角三角形，因此可

38、运用勾股定理，另外计算题大多在面积上做文章，这是由菱形面积的两种求法而决定的，在中考试题中出现的频率较高(3)菱形的判定方法：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法 )；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形也可以借助于下面的方法进行判定，即对角线互相垂直平分的四边形是菱形与矩形的判定一样，要识别一个四边形是菱形，一般先判断是平行四边形，或者这个四边形前提就是平行四边形，再加上一个什么条件就是菱形二、重难点知识归纳矩形、菱形的判定和性质的综合运用是重点；矩形、菱形的判定方法的恰当选择是难点三、典型例题讲解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

39、纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 1、如图，在口ABCD 中，AC、BD 交于 D，AEBC 于 E，EO 交 AD 于 F，求证：四边形AECF 是矩形例 2、如图，矩形ABCD 中， AC、BD 相交于点 O，AE 平分 BAD 交 BC 于 E若 CAE=15 ，求BOE 的度数例 3、已知，如图所示的 ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，EFAC，O 是垂足， EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，且求证： ABCD 是矩形例 4、如图，在 ABCD 中， BC=2AB ，AE=AB=BF ，且点 E、F 在直线 AB 上求证

40、： CEDF例 5、如图在菱形ABCD 中， E 是 AB 的中点，且 DEAB ，AB=4 ，求：（1）ABC 的度数；（2）对角线 AC 的长；（3）菱形 ABCD 的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 6、已知：如图，ABC 中， BAC90 ，ADBC 于点 D，BE 平分 ABC，交 AD 于点 M，AN平分 DAC，交 BC 于点 N. 求证：四边形AMNE 是菱形正方形梯形一、一周知识概述1、正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、正方形

41、可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形正方形既是矩形，又是菱形因此既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，正方形是轴对称图形，有4 条对称轴被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形3、几种四边形之间的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形；正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形因此我们可用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关内容平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含

42、关系如图所示4、正方形的判定识别一个四边形是正方形，先要证明它是菱形(或矩形 )，再说明一个角是直角（或一组邻边相等）即可从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形5、梯形的定义和判定一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，梯形中夹在两底之间的垂线段叫做高根据梯形的定义，要判定是否是梯形应满足三个条件：（1）是四边形；（ 2）一组对边平行；（3）另一组对边不平行在判断一个四边形是梯形时，不能只看有一组对边平行，必须有另一组对边不平行，但证明

43、不平行比较困难；通常是证一组对边平行且不相等6、等腰梯形的性质与判定(1)性质：等腰梯形的两腰相等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载等腰梯形同一底上的两角相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线(2) 等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“ 两腰相等 ” 或“ 同一底上的两个角相等” 或“ 对角线相等 ” 来判定它是等腰梯形7、梯形中的常见辅助线作法梯形问题常转化为三角形和平行四边形问题，因此需添辅助线，常见的方法如图，这种方法不必

44、死记，应平时加强总结，解题时才能灵活运用梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线二、重难点知识归纳掌握正方形和梯形的性质和判定，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的关系是重点正确选择几种特殊的平行四边形的判定方法，运用性质进行证明和计算，常用辅助线的作法和化归思想是难点三、典型例题讲解1、利用正方形对角线的性质解题例 1、如图，正方形ABCD 的对角线交于点O，E 是 OA 上任一点， CFBE 于点 F，CF 交 OB 于点 G求证： OE=OG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

45、纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载2、利用正方形的轴对称性解题例 2、已知，如图，在正方形ABCD 中，点 E 在 AC 上（1）求证： BE=DE；（2）你能将上面的命题用文字概括为一个命题吗？（3）你能用这个命题证明下面这道题吗？请写出证明过程如图，点P 在正方形 ABCD 的对角线AC 上，PEAB ，PFBC，E、F 是垂足求证： EF=PD3、利用旋转法解决有关正方形问题例 3、如图，点 M、N 分别在正方形ABCD 边 BC、CD 上，已知 D MCN 的周长等于正方形ABCD的周长的一半求MAN 4、构造正方形解题精选学习资料 - -

46、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载例 4、 如图，RAAB ， QBAB ， P 是 AB 上一点，RP=PQ=a， RA=h ， QB=k， RPA=75 ， QPB=45 求AB 的长5、直接利用等腰梯形的性质或判定解题例 5、如图，已知四边形 ABCD 中，AB=DC ，AC=DB ，AD BC求证：四边形 ABCD 是等腰梯形6、梯形辅助线的作法例 6、如图所示，在梯形ABCD 中， AD/BC ，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上如果 E、F 分别是AB 、CD 的中点，试问： EF 与 AD

47、、BC 有怎样的位置关系和数量关系? 例 7、 如图， 在等腰梯形ABCD 中， ADBC ， AB=DC ， 且 ACBD ， AF 是梯形的高，梯形的面积是49cm2 求梯形的高例 8、如图，已知在等腰梯形ABCD 中， ADBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载(1)若 AD=5 ，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；(2)若 AD=a，BC=b，梯形的高是h，梯形的周长为C，则 C=_；(请用含 a,b,h 的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明) (3)若 AD=3 ，BC

48、=7，求证： ACBD多边形的内角和与外角和平面图形的镶嵌一、一周知识概述1、多边形有关概念（1）多边形定义：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形. 这里所指的多边形是指凸多边形（2）多边形的边、顶点、内角、外角、对角线多边形有几条边就叫几边形，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，与三角形类比知多边形的边、顶点、内角和外角意义2、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形. 研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题3、多边形内角和定理n 边形的内角和等于(n2) 180 （n3的正整数），可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1 条边，内角

49、和增加180 . 4、多边形外角和定理（1）多边形外角和定义：在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 35 页优秀学习资料欢迎下载（2）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360 . 注意： n 边形的外角和恒等于360 ，它与边数的多少无关. 5、（1）用一种或几种形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺。（2）用相同的正多边形铺地板. 对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面

50、图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360 时，就铺成一个平面图形. 事实上，正边形的每个内角为，要求个正边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样有，由此导出：，而为整数，所以只能为 3，4，6. 结论：用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）；而正五边形、正八边形都不能铺满地面。（图 2）；任意三角形、任意四边形也可以镶嵌成一个平面图案（3）用两种或两种以上的正多边形拼地板精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第