2022年多元函数的概念教案-山西大同大学 .pdf

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1、第八章多元函数8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，, ，自变量有n一个的函数就称为 n元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数， 但是在实际问题中， 所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积hrV231，它有两个独立的变量r 、h。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。1二元函数的概念定义设有两个独立的变量x与y在一定范围D内取值，任取一组数值时，第三

2、个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z 称为变量 x与y的二元函数。记作),(yxfz其中 x与y称为自变量，函数z称为因变量，自变量x与y取值范围称为函数的定义域，一般记为D。二元函数在点),(00yx所取得的函数值记作00yyxxz，),(00yxz或),(00yxf类似地，可定义二元函数、四元函数、, 、 n 元函数等多元函数。2二元函数的定义域与一元函数相同， 决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，

3、共 31 页对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个xy坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域D(开域或闭域 )中任意两点之间的距离都不超过某一常数M， 则称D为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称D为无界区域。如同区间可用不等式表示一样， 区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域D

4、通常表示为)()(21xyyxybxa或)()(21yxxyxdyc两种形式，前者称为X型区域，后者称为Y型区域。最简单的区域有矩形域,:),(dycbxayxD和圆形域:),(22ryxyxD，如图 81 所示。例 1 求yxz的定义域解该函数的定义域为 0,:),(2yyxyxD图 81例 2 求下列函数的定义域D，并画出D的图形。（1）3arcsin2arcsinyxz（2）1142222yxyxz解 （1） 要使得3arcsin2arcsinyxz有意义， 则需1312yx，即3322yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

5、页，共 31 页故函数的定义域 33,22:),(yxyxD，此区域是一个矩形域。（2）要使得1142222yxyxz有意义，则需01042222yxyx即4122yx故函数的定义域 41:),(22yxyxD，此区域是一个圆环。3二元函数的几何解释),(yxP是二元函数),(yxfz定义域D内的任意一点，则相应的函数值是),(yxfz，有序数组),(zyx确定了空间一点),(zyxM，当P在D内变动时，对应的点M就在空间变动，即对应P 点的轨迹就是函数),(yxfz的几何图形，它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影。因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。8.2

6、二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数),(yxfz同样可以讨论当自变量x与y趋向于有限数值0 x 与0y 时，函数 z的变化趋势，即二元函数的极限。x 、y趋 于0 x 、0y 可 看 作 成 点),(yxP趋 向 点),(000yxP， 记 作0PP或),(),(00yxyx。若0PP， 即2020200)()()(zzyyxxPP， 则0就 可 表 示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页),(),(00yxyx。在平面xoy上，),(yx趋于),(00yx的方式可以时多种多

7、样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于),(00yx的某一去心邻域的一个二元函数),(yxf与一个确定的常数A，当点),(yx以任意方式趋向点),(00yx时，),(yxf总是趋向于一个确定的常数A，那么就称A是二元函数),(yxf当),(yx),(00yx时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定义 1 设函数),(yxfz在点),(000yxP的某一邻域内有定义（点),(000yxP除外） ， 若点),(yxP无限地趋于点),(000yxP时， 恒有APf)(（是任意小的正数），则称A为函数),(yxfz当),(),(00yxyx时的二重极限，记

8、为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或AyxfPP),(lim0。用语言严格给出定义1 的二重极限的定义如下定义 2 对任意给定的正数，无论怎样小，总存在一正数，当满足2202020)()()(0zzyyxx的一切),(yx恒有APf)(成立，则常数A称为函数),(yxf当),(),(00yxyx时的二重极限。例 1函数0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf当),(yxP沿 x轴趋于)0 , 0(时，即00 xy，000limlim22)0 ,0(),(22)0 ,0(),(xxyxxyyxyx当),(yxP沿y轴趋于)0 , 0(时，即00yx，00limlim22)

9、0,0(),(22)0, 0(),(yxyyxxyyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页当),(yxP沿着kxy直线趋于)0 ,0(时，22222)0, 0(),(22)0, 0(),(1limlimkkxkxkxyxxyyxyx，随着k的取值不同，21kk的值不同，所以22)0,0(),(limyxxyyx不存在。注一元函数)(xfy的极限，点 x只沿 x轴趋于 0，但二元函数的极限要求点),(yxP沿以任意方式趋向点),(00yx，若),(yxP沿 x轴或沿y轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于),(

10、00yx时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当),(),(00yxyx时，Ayxf),(，Byxg),(则(1)BAyxgyxf),(),(2)BAyxgyxf),(),(3)BAyxgyxf),(),(，其中0B例 2求极限22)()cos(1lim2222)0,0(),(yxyxeyxyx解0021)()co s(1l i m)()c o s(1l i m22222222222)0, 0(),(2222)0 ,0(),(yxyxyxyxeyxyxyxeyxyx三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来

11、给出二元函数连续的概念1二元函数连续的概念定义 1 如果当点),(yx趋向点),(00yx时，函数),(yxf的二重极限等于),(yxf在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页点),(00yx处的函数值),(00yxf，则称函数),(yxf在点),(00yx处连续。如果),(yxf在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得

12、到的可用一个式子表示的多元函数）。如果二元函数连续，又),(00yx在其定义域D内时，当在定义域D内求函数在),(),(00yxyx的极限，可把用直接代入计算二元函数在点),(00yx的函数值，即为其极限。例 3求极限1)cos(2lim2222)0, 0(),(yxyxyx解3100)00c o s (21)c o s (2lim22222222)0,0(),(yxyxyx2多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1 在有界的闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且取得最大值与最小值。性质（介值定理） 2 在有界的闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

13、。性质（一致连续性定理） 3 在有界的闭区域D上的多元连续函数，必定在D上一致连续性。3二元函数间断性定义 2 如果函数),(yxfz在),(00yx不满足连续的定义，那末我们就称),(00yx是),(yxf的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页例 4 求函数xyz1sin的间断线解0 x与0y都是函数xyz1sin的间断线。8.3 偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。 对于二元函数同样要研

14、究它的 “变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在xoy平面内， 当变点由),(00yx沿不同方向变化时，函数),(yxf的变化快慢一般说来时不同的， 因此就需要研究),(yxf在),(00yx点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点),(yx只沿着平行于 x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时， 函数),(yxf有变化率。则其变化率叫做偏导数。1函数在点的偏导数定义 1 设有二元函数),(yxfz，点),(00yx是其定义域D内一点，把y固定在0y ，而让 x在0 x 有增量x，相应地函数),(yxfz有增量 (称为对 x的偏增量 ) ),(),(0000yxfyxxfzx如

15、果zx与x之比当0 x时的极限存在，则此极限值称为函数),(yxfz在),(00yx处对 x的偏导数，记作精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页),(00yxfx或),(00yxxf注函数),(yxfz)在),(00yx处对 x的偏导数，是把y固定在0y ， 实际上就是把y看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数),(0yxfz在0 x 处的导数。同样，把 x固定在0 x ，让y有增量y，如果极限存在，则此极限称为函数),(yxfz在),(00yx处对y的偏导数，记作),(00yxfy或),(00yxyf2函数的偏

16、导函数当函数),(yxfz在),(00yx的两个偏导数),(00yxxf与),(00yxyf都存在时，则称),(yxf在),(00yx处可导。如果函数),(yxf在域D的每一点均可导，那末称函数),(yxf在域D可导。此时，对应于域D的每一点),(yx，必有一个对 x (对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为),(yxf对 x(对y)的偏导函数。简称偏导数。定义 2如果函数),(yxfz在区域D内每一点),(yx处对x的偏导数都存在， 且是yx、的函数，则称它为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，简称为偏导数，记作xzxfxz,或),(yxfx类似地，可以定义函数),(yx

17、fz对自变量y的偏导函数，记作yzyfyz,或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页),(yxfy3偏导数的求法求xf时，只要把其它自变量看成常数而对x求导数即可；求yf时，只要把其它自变量看成常数，对y求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之。例 1 求yxzsin2的偏导数解把y看作常量对 x 求导数，得yxxzsin2把 x 看作常量对y求导数，得yxyzcos2例 2 求zxyyxu22的偏导数。解根据二元函数的偏导数的求法来做。把y和 z看成常量对 x求

18、导，得zyyxxxu22把 x 和 z看成常量对y求导，得zxyxyyu22. 把 x 和y看成常量对 z求导，得2zxyzu例 3 求函数2223yxyxz在点)1 ,2(处的两个偏导数解 yxxz32，yxyz4311322)1 ,2(xz，21423)1 ,2(yz例 4设)0(xxzy，求证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页zyzxxzyx2ln1证明1yyxxz，xxyzylnyzxxzyxln1yx1yyx+xln1xxylnzxxyy2例 5设222zyxu，求证1)()()(222zuyzxu证明u

19、xzyxxzyxzyxxux222222222)(21同理uyyu，uzzu222)()()(zuyzxu1222uzyx例 6函数0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf，求)0, 0(xf和)0, 0(yf解000lim)0,0()0,0(limlim)0, 0(000 xxfxfxzfxxxxx同理0)0 ,0(yf注（1）偏导数符号xz、yz是一个整体的记号，不能认为是z与x、z与y的商。（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值（3）对二元函数),(yxfz)在),(00yx处的偏导数存在， 但不能保证函数在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

20、总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页该点的极限存在，如例6。（4）二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。（5）函数在某点处两个偏导数都存在，但函数不一定可微连续。如0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处的两个偏导数都存在，但函数点)0,0(处不连续。4导数的几何意义设),(,(00000yxfyxM为曲面),(yxfz上的一点，过0M作平面0yy，截此曲面得一条曲线，此曲线在平面0yy上的方程为),(0yxfz，则导数0),(0 xxyxfdxd，即二元函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数),(00yxfx的几

21、何意义就是这曲线在点0M处的切线对 x轴的斜率；同样地， 偏导数),(00yxfy的几何意义就是这曲线在点0M处的切线对y轴的斜率。二、高阶偏导数设函数),(yxfz在区域D内具有偏导数),(yxfxzx，),(yxfyzy，那么在D内),(yxfx、),(yxfy都是yx、的函数，若这两个偏导函数的偏导函数也存在，则称它们的偏导数是函数),(yxfz二阶偏导数。即如果二元函数),(yxfz的偏导数),(yxfx与),(yxfy仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为),(yxfz的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个),()(22yxfxzxzxxx；),()(2yxfyxzxzyxy；精

22、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页),()(2yxfxyzyzxyx；),()(22yxfyzyzyyy. 其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。类似地，可定义三阶、四阶、, 、以及n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数，而把),(yxfx与),(yxfy称为一阶偏导数。定理如果函数),(yxfz的两个混合偏导数xyz2与yxz2在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。注（1）该定理说明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。（2）),(yxfxy与),(yxfyx的区别在于：

23、前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导例 7 求函数3233yxyxz的二阶偏导数 . 解32266yxyxz，yxyz22218，xyzxyxyxz22221838.4 全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。1全微分的概念这里我们以二元函数为例。定义 如果二元函数),(yxfz在点),(00yx处的全增量z可以表示为yBxAz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页其中A、B与x、y无关的常

24、数，是22)()(yx的高阶无穷小，即0lim0，则称yBxA为函数),(yxfz在点),(00yx处的全微分，记为dz。即yBxAdz此时称函数),(yxfz在点),(00yx处可微。若函数),(yxfz在区域D内每一点都可微，则称函数),(yxfz在区域D内可微。定理 1（可微的必要条件）如果函数),(yxfz在点),(00yx处可微， 则函数),(yxfz在点),(00yx处偏导数xz、yz存在，且),(),(0000,yxyxyzBxzA证明因为函数),(yxfz在点),(00yx处可微，则函数的全增量为yBxAz其中A、B与x、y无关，0lim0（0lim0）当0y时，函数对x的偏增

25、量为xAzx此时x，于是有AxAxzxxx000limlimlim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页故),(00yxxzA同理),(00yxyzB由定理 1 可知，函数),(yxfz在点),(00yx处可微时，则yyzxxzdzyxyx),(),(0000规定dyydxx,，分别称为自变量x、y的微分，则函数),(yxfz在点),(00yx的全微分为dyyzdxxzdzyxyx),(),(0000函数),(yxfz的全微分为dzdyyzdxxz2可微一定连续若函数),(yxfz在点),(00yx处可微，所以yBx

26、Az且0lim0（0lim0）则0lim)(limlim00000yBxAzyxyx故函数),(yxfz在点),(00yx处连续。定理 2 如果函数),(yxfz在点),(00yx处可微，则函数),(yxfz在点),(00yx处连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页例 1 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf0)0, 0()0,0(yxff均存在，但),(yxf在)0,0(点不可微，且),(lim00yxfyx不存在，即),(yxf在)0 ,0(点不连续。例 2 22),(yxyxf，这是上半圆锥

27、，显然在)0,0(点连续，)0, 0(0),(lim00fyxfyx但0, 10, 1|)0 ,0()0 ,(2xxxxxxxfxf故)0 , 0(xf不存在。由yx,的对称性，)0,0(yf不存在。从而，),(yxf在)0,0(点不可微（否则，)0 ,0(xf，)0, 0(yf均存在）。3可微与可导的关系一元函数在某点导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数则不同。当函数的各偏导数都存在时， 虽然能形式地写成yyzxxz，但它与z之差并不一定是较高阶的无穷小，因为它不一定是函数的全微分。即各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。定理 1 也说明了函数可微，则函数在某点处两

28、个偏导数都存在；但反之不成立，即函数在某点处的两个偏导数都存在，但函数不一定可微。如0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在点)0, 0(处的两个偏导数都存在，但函数点)0,0(处不可微。这是与一元函数的区别（一元函数可微与可导是等价的）。例 3：0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页01sinlim)0, 0()0,(lim)0, 0(2200 xxxxfxffxxx，由yx,的对称性，0)0 ,0(yf。22)0 ,0()0,0()0

29、,0(),(yxyfxffyxfyx2222221sin)(yxyxyx01sin2222yxyx（00yx）故),(yxf在)0 ,0(点可微。且)0, 0(dfdxfx)0 ,0(0)0, 0(dyfy0,00,1cos21sin2),(2222222222yxyxyxyxxyxxyxfx取点列),(nnnyxP，nxn21，0ny，显然)(0 , 0(),(nyxPnnn)(2cos22),(nnnyxfnnx故),(lim00yxfxyx不存在，从而),(yxfx在)0,0(点不连续。由yx,的对称性，),(yxfy在)0 ,0(点也不连续。对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导

30、 。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在 ，反之未必。应特别引起注意。4可微的充分条件定理 3（可微的充分条件）如果函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内处偏导数xz、yz连续，则函数),(yxfz在点),(00yx处可微。注意 在找函数相应的全增量时，为了使z与偏导数发生关系，我们把由),(00yx变到),(00yyxx的 过 程 分 为 两 部 ： 先 由 点),(00yx变 到 点),(00yyx， 再 变 到 点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页),(00yyxx，其过程如下图

31、所示。或者先由点),(00yx变到点),(00yxx，再变到点),(00yyxx。例 1 求)sin(yxezx的全微分解由于)cos(),cos()sin(yxezyxeyxezxyxxx所以dyyxedxyxyxezdxx)cos()cos()sin(例 2 求函数yxz2的全微分解由于xxyzyxxzyyln2,2212所以xdyxdxyxdzyyln22212例 3 求函数yzarvyxutan2sin2的全微分解由于2222,2cos21,2zyyzuzyzyyuxxu所以dzzyydyzyzyxdxdu2222)2cos21(25全微分形式的不变性设函数),(vufz具有连续的偏导

32、数，则全微分为dvvzduuzdz. 如果u、v又是x、y的函数，即),(yxu、),(yxv，且这两个函数具有连续的偏导数， 则复合函数),(),(yxyxfz的全微分为dyyzdxxzdz， 将xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz代入得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页dyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdz)()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuz)()(dvvzduuz由此可见，无论z在自变量u、v的函数还是中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的步变性。8

33、.5 多元复合函数的求导法在一元函数中，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：一全导数（复合函数的中间变量均为一元函数的情形）由 二 元 函 数),(vufz和 两 个 一 元 函 数),(yxu，)(yv复 合 起 来 的 函 数)(),(yyxfz是x的一元函数。此时复合函数的导数就是一个一元函数的导数dxdz，称为 全导数定理1 如果一元函数)(xu与)(xv在点x处均可导，二元函数),(vufz在点x的对应点),(vu处有一阶连续偏导数uz，vz。则复合函数)(),(xxfz在对x的导数存

34、在，且dxdvvzdxduuzdxdz证明给x以增量x，则vu,相应的增量为vu,，从而),(vufz的全增量为),(),(vufvvuufz由于已知函数),(vufz在点),(vu处有一阶连续偏导数，因此可微。vvzuuzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页且0lim0，其中22)()(vu又一元函数u与v均可导，所以u与v连续，则0lim0 x故0)()(lim)()()(limlim)(lim)(lim2222022202202222020dxdvdxduxvuxxxxx因此0lim0 xx，从而有dxdv

35、vzdxduuzxvvzxuuzxzdxdzxxxx0000lim)(lim)(limlim用同样的方法可把定理推广到复合函数的中间变量多余两个的情形。比如，由),(vufz，)(xu，)(xv，)(x构成的复合函数)(),(),(xxxfz，在与定理相类似的条件下，则复合函数)(),(),(xxxfz在点x可导，且有dxdzdxdvvzdxduuzdxdz. 例 1若1,2sin,2xvxuuzv，求dxdz解由于uuvzvuuzvvln,1，1,2cos22xxdxdvxdxdu所以)1)2ln(sin2cot12()2(sin1ln2cos2221212xxxxxxxxuuxvudxdv

36、vzdxduuzdxdzxvv注全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。二多元复合函数的求导法1复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x及对y的偏导数，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz在点),(yx偏导数存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页在，且有xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz. 类似用同样的方法，设),(yxu、),(yxv及),(yx都在点),(yx具有

37、对x及对 y 的偏 导 数 ， 函 数)(),(),(tttfz在 对 应 点),(vu具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数),(),(),(yxyxyxfz在点),(yx的两个偏导数都存在，且有xzxvvzxuuzxz，yzyvvzyuuzyz. 例 2若yxvxyuvezu2,cos，求yzxz,解由于vevzveuzuusin,cos，1,2,yvxyuxvyxu所以)2sin()2cos()2sin(2)2cos(yxyxxeyvvzyuuzyzyxyxyexvvzxuuzxzxyxy注定理 2 在求xz时，将 y 看作常量，因此中间变量u及v仍看作一元函数而应用定理1，

38、但由于复合函数),(),(yxyxfz以及),(yxu和),(yxv都是x、y的二元函数，所以应把定理1 中的d改成，再把t同时换成x或同时换成y 即得定理2. 2复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3 如果函数),(yxu在点),(yx具有对x及对 y 的偏导数，函数)(yv在点y可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)(),(yyxfz在点),(yx的两个偏导数都存在，且有xuuzxz，dydvvzyuuzyz定理 3 的特例设函数),(yxufz具有连续的偏导数，而),(yxu具有偏导数，则复合函数,),(yxyxfz具有对x及对 y 的偏

39、导数，且xfxuufxz，yfyuufyz注 定 理3是 定 理2 的 特 例 ； 这 里xz与xf是 不 同 的 ，xz是 把 复 合 函 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页,),(yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数，xf是把),(yxuf中的u及y看作不变而对x的偏导数。yz与yf也有类似的区别。例 3若)sin,2,(xyyxxyfz，求yzxz,解设xywyxvxyusin,2,则),(wvufz由于xywyvxyuxyxwxvxyxusin, 2,1cos, 1,2所以32132122sin21

40、coscos1)(f xffxyzfxyffxyxyffxyfxzwvu例 4若),(yxyxxyfz，求yzxz,解)(),()11(),(2121ffxyyxyxyfffxyyxyxyfxz)(),()1(1),(2121ffxyyxyxxfffxyyxyxxfyz8.6 隐函数的求导一隐函数的简介一个二元方程0),(yxF可以确定一个一元隐函数)(xyy；一个三元方程0),(zyxF可以确定一个二元隐函数),(yxzz； 由方程组),(vuyxF=0、),(vuyxG=0 可确定一个二元函数。二 一元 隐函数的求导将)(xyy代入方程0),(yxF得精选学习资料 - - - - - -

41、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页0)(,xyxF对x求导得0dxdyFFyx若0yF时，则yxFFdxdy隐 函 数 存 在 定理1 设函 数),(yxF在 点),(00yxP的 某一 邻域 内具 有连 续偏 导数 ，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yx的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00 xfy，并有yxFFdxdy。例 1 设xyx222，求dxdy解设xyxyxF2),(22，得yyxFxyxFyx2),(,22),(所以yxFFdxdyyx1三 二元 隐

42、函数的求导设方程0),(zyxF确定了二元隐函数),(yxzz，若zyxFFF,连续，且0zF。将),(yxzz代入方程0),(zyxF得0),(,yxzyxF两端分别对x和y求导得0 xzFFzx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页0yzFFzy因为0zF，所以zxFFxz，zyFFyz隐函数存在定理2 设函数),(zyxF在点),(000zyxP的某一邻域内具有连续偏导数，而且0),(000zyxF，0),(000zyxFz，则方程0),(zyxF在点),(000zyx的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续

43、偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz. 例 2 设zxyz，求dz解设zxyzyxF),(，得yyxzFzyFzzFzxzzyxxln,ln11所以yyxzzyFFyzyyxzzzFFxzzxxzyzxxzxln,lnln111故dyyyxzzydxyyxzzzdzzxxzxxlnlnln111例 3 设432222zyx，求yxzyzxz2,解设432),(222zyxyxF，得zFyFxFzyx6,4,2故zxFFxzzx3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31

44、页zyFFyzzy32392)(zxyxzy例4 设0),(bzcyazcx， 证 明cyzbxza， 其 中cba,为 常 数 ，可 微（021ba） 。证明两端分别对x求导0)()(21xzbxzac得211bacxz同理212bacyz所以cyzbxza隐函数存在定理3 设函数),(vuyxF、),(vuyxG在点),(0000vuyxP的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),(0000vuyxF，0),(0000vuyxG， 且偏导数组成的函数行列式（即雅可比（jacobi） 式）vGuGvFuFvuGFJ),(),(在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组),(vuyx

45、F=0、),(vuyxG=0 在点),(0000vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页),(yxuu),(,yxvv，它满足条件),(000yxuu，),(000yxvv，并有vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),(),(1vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv),(),(1。8.7 多元函数的极值在一元函数中我们看到，

46、利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。一二元函数极值1二元函数极值的概念定义 1 如果在),(00yx的某一去心邻域内的一切点),(yx恒有等式),(),(00yxfyxf成立，那末就称函数),(yxf在点),(00yx处取得 极大值),(00yxf如果恒有等式),(),(00yxfyxf成立，那末就称函数),(yxf在点),(00yx处取得 极小值),(00yxf。极大值与极小值统称极值 .使函数取得极值的点(x0,y0)称为 极值点2二元函数在),(00yx取得极值的必要条件定理二元可导函数在),

47、(00yx取得极值的条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页0),(, 0),(0000yxfyxfyx注意： 此条件只是取得极值的必要条件。定义2 凡是使0),(, 0),(0000yxfyxfyx的点),(yx称为函数),(yxf的 驻点 。可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。3二元函数极值判定的方法定理 设),(00yx是函数),(yxfz的驻点，且函数),(yxfz在),(00yx的某一邻域内有连续的二阶偏导数。令ACByxfCyxfByxfAyyxyxx2000000),(),(),(则（

48、 1）当0,0 A时，),(00yxf是极大值当0,0 A时，),(00yxf是极小值（2）当0时，),(00yxf不是极值（3）当0时，),(00yxf可能是极值，也可能不是极值。列表如下ACB2),(00yxf 0 A0 时取极大值A0 时取极小值 0 非极值=0不定4二元函数极值判定的方法（1）求一、二阶导数和偏导数（2）求驻点（3）计算,CBA（4）确定极值。例 1：求xyyxz333的极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页解：xyzyxzyx33,3322yzzxzyyxyxx6, 3,6解方程组03

49、303322xyyx，得驻点 (1,1),(0,0) 对于驻点 (1,1)有6)1 , 1(, 3) 1 , 1 (, 6) 1 , 1(yyxyxxzzz，故027,0A因此，xyyxz333在点 (1,1)取得极小值1) 1 , 1(f对于驻点 (0,0)有0)0, 0(, 3)0 ,0(, 0)0, 0(yyxyxxzzz，故09因此，xyyxz333在点 (0,0)不取得极值二多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。（1） 根据实际问题建立函数关系

50、，确定其定义域；（2） 求出驻点；（3） 结合实际意义判定最大、最小值. 例 2 在平面2643zyx求一点，使它与坐标原点的距离最短。解（1）先建立函数关系，确定定义域求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方222zyxu最小的问题。但是P点位于所给的平面上，故2643yxz。把它代入上式便得到所需的函数关系222)2643(yxyxu，yx,（2）求驻点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页解0,0yuxu得唯一驻点4, 3 yx。由于点P在所给平面上，故可知1z（3）结合实际意义判定最大、最小值由问